3.1.1 第1课时函数的概念(一)-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

●049 第三章 函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 新课程标准解读 学科核心素养 在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关 数学抽象 系刻画函数，建立完整的函数概念 体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用. 数学抽象、数学建模 了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域 数学抽象、数学运算 3.1.1 函数的概念 第1课时 函数的概念（一） 教材梳理明要点 ●情境导入 利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时 [提示] 刻的指标值，据此可以描绘出心电图.医生会根据 集合M中的任意一个 心电图图形的整体形态来给出心脏健康状况的诊 元素t,在集合N中都 断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）. 有唯一的元素v与之 对应 如果测量时的每一个时间t构成的集合记为 [知识点反思] M,测量的每一个指标值v构成的集合记为N,那么集合M中的元素t与 1.函数的定义中有 集合N中的元素v有什么关系呢？ P[提示] “三性”：任意性、 存在性、唯一性，即 白新知初探 对于非空数集A中的 知识点 函数的概念 任意一个（任意性）数 般地，设A,B是非空的 ,如果对于集合A中的 x,在非空数集B中都 有（存在性）唯一（唯一 函数概念 按照某种 的对应关系∫，在集合B中都有 的数y 性)的数y与之对应， 和它对应，那么就称∫：A→B为从集合A到集合B的一个函数 这三性只要有一个不 符号表示 y=f(x),x∈A 满足便不能构成函数」 2y=x)仅是函数的一 定义域 x叫做自变量，x的 叫做函数的定义域 个符号，不表示“ 等于于与x的乘积”， 值域 与x的值相对应的y值叫做 ,函数值的集合 叫做 除于(x)外，还常用 函数的值域 9x),F(x),G(x)等来表 示函数 D[知识点反思] 050 目预习自测 1.下表表示y是x的函数，则函数的值域是 x<2 2≤x≤3 x>3 y -1 0 1 A.{yl-1≤y≤1} B.R C.{yl2≤y≤3 D.{-1,0,1 2.函数f(x)= 的定义域是 √4-x 题型探究提技能 题型一 函数概念的理解 例 1.(1)下列对应关系式中是从集合A到集合B的函数的是 A.A∈R,B∈R,x2+y2=1 B.A={1,2,3,4},B={0,1},对应关系如图： 1 C.A=R,B=R,f:xy=- -2 [方法总结1] D.A=Z,B=Z,f:xy=V2x-1 判断一个对应关系是 (2)设M={xl-2≤x≤2}，N={yI0≤y≤2}，函数y=f(x)的定义域为 否是函数的方法 M,值域为N,对于下列四个图形，不可作为函数y=f(x)的图象的 依据函数定义中的任 是 意性、存在性、唯一 性逐一验证判断，这 三性只要有一个不满 足便不能构成函数。 D [方法总结1] [方法总结2] 》跟踪训练1 求函数的定义域的 (多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是 方法： A.x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温 如果仅有函数解析式 而没有特别说明，则 B.x表示年份，y表示对应的某地区的GDP(国内生产总值)》 函数定义域就是使解 C.x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考 析式有意义的自变量 试号 的集合，可依据①分 D.x表示某人的月收入，y表示对应的个税 式的分母不为0； 题型二求函数的定义域 ②偶次根式的被开方 数非负；③y=x°要求 例 .求下列函数的定义域： x≠0等限制条件列出 (1)y= (x+2)0 (2))4 1xI-x ◆[方法总结2] 不等式组解得；如果 是实际问题，还需要 考虑自变量的实际含 义的限制 ●051 )跟踪训练2 函数y= 的定义域是 x+1 A.{xlx≥-1} B.{x|-1≤x≤0 C.{xlx>-1} D.{xl-1<x<0} 题型三 求函数值 [方法总结3] 例3已知十xER,且≠-D,()=+2(xER 求函数值的方法 (1)求f(2),g(2)的值； fa)表示当x=a时，函 (2)求f[g(3)]的值. P[方法总结3] 数x)的值，是一个常 量，已知x)的解析式 时，只需用a替换解 析式中的x即得fa)的 值；求儿g(a]的值应遵 循由里往外的原则. )跟踪训练3 特别要注意替换x的 已知到)2e)+2 数a必须是函数定义 域内的值，否则求值 (1)求f(3),g(3)的值； 无意义. (2)求f[g(2)]的值. 随堂检测重反馈 1.设M={x10≤x≤2，N={y10≤y≤2，给出下列四个图形： Y 2A 1 V 012元 012x 012x 0 12x ⊙ ② ③ ④ 其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3 2.对于函数f:A→B,若a∈A,b∈A,则下列说法错误的是 A.f(a)∈B B.f(a)有且只有一个 C.若f(a)=f(b),则a=b D.若a=b,则f(a)=f(b) 1 3.若f(x)=1-则f(3) f[f(-2)]= 4.下列对应关系是从集合P到集合Q上的函数的是 ①P=Z,Q=N*,对应关系人：对集合P中的元素取绝对值与集合Q中的元素相对应； ②P={-1,1,-2,2},Q={1,4},对应关系fx→y=x2,x∈P,y∈Q; ③P={三角形}，Q={xlx>0},对应关系f:对P中的三角形求面积与集合Q中的元素对应 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[16]例3：(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0，显然恒成立： ②若m≠0，则不等式mx2-mx-1<0恒成立台 fm<0, 。解得-4<m<0. L4=m2+4m<0," 综上可知，实数m的取值范围是{m-4<m≤0. (2)令y=mx2-mx-1, ①当m=0时，y=-1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于x∈{x11≤x≤3}不等式恒成立， 只需当x=1时y<0且x=3时y<0即可， 所以1<0， '9m-3m-1<0,解得m< 1 ,所以0<m<6 ③当m<0时，函数y的图象开口向下，对称轴为x=2, 1 若x∈{xl1≤x≤3}时不等式恒成立， 结合函数图象（图略）知只需当x=1时y<0即可，解得 mER. 所以m<0,符合题意 综上所述，实数m的取值范围是{mm<6} 11 (3)令u=mx2-mx-1=(x2-x)m-1, 若对满足Iml≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 当m=-2时u<0且当m=2时，u<0, 即52x)10解得-5x<+ 12(x2-x)-1<0, 2 所以实数x的取俏范围是2<x<+3] 2 侧4：(1)设每件的售价为1元，依题意得8-25x0.2）≥25 1 ×8, 整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为 40元 (2)依题意得，当x>25时，不等式ax≥25x8+50+ 6(x2-600) +兮有解。 等价于当x>25时，4≥150， +5有解。 /150x 1因为150+三2入Jx6=10, 当且仅当0名，即=30时等号成立，此时0名写 x65 10.2,所以a≥10.2 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能 使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品 每件售价为30元 第三章函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第1课时 函数的概念（一） 教材梳理明要点 新知初探 知识点 实数集任意一个数x确定唯一确定取值范围A 函数值{f(x)Ix∈A} 预习自测 1.D函数值只有-1,0,1三个数值，故值域为{-1,0,1}. 3 2.{xlx<4}由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域为 xlx<4 题型探究提技能 例1：(1)B(2)C 【解析】(1)对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-x2,显然 对任意x∈A,y值不唯一，故不符合；对于B项，符合函数的定 义：对于C项，2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数， 故不符合；对于D项，-1∈A,但在集合B中找不到与之相对 应的数，故不符合. (2)由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象 至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的 函数. 跟踪训练1：ABDABD均满足函数的定义，C选项，同一个分 数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有唯一的y 与其对应，故C选项错误.故选ABD. 例2：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 00.即{解得<0，且≠-2 1Ix|-x≠0， 故原函数的定义域为x|x<-2或-2<x<0}. (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 8 1x-1≠0， 故原函数的定义域为x|x<1或1<x≤4}. 跟踪训练2：C要使函数y= 二有意义，应满足x+1>0, /x+1 之-1，“函数)y=1的定义域为x2-1. /x+1 11 例3：(1)f(x)=1+xf(2)=1+23 又：g(x)=x2+2,g(2)=2+2=6. (2)g(3)=32+2=11,…f[g(3)]=f11)=1+2 跟踪训练3：（1/3)23-1，g(3)=-3+2-7 1 1 1 (2)[g(2)]=2-g(2)2-(-2+2)4 随堂检测重反馈 1.B图①不满足定义域M=xI0≤x≤2；图③不满足集合N ={y10≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x=1时对应两个 不同的y值；②符合函数定义，定义域为M,值域也恰为N,故 只有一个表示集合M到集合N的函数关系，选B. 2.C函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个 函数值.故选C. 3.- 88 .f(x)= 1-…f(3)=-9 8 ..f(-2)= 1 1 9 1--23/-2]=f(3） -( 8 4.②对①，0∈P,但101Q,所以对应关系f不能构成集合P 上的函数.对②，Hx∈P,都有且只有唯一元素y在集合Q中 与之对应，所以能构成集合P上的函数.对③，P中的元素不 是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系.故填②. 第2课时 函数的概念（二） 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 1.[a,b](a,b)[a,b)(a,b] 2.(-∞，+0）[a,t0）(a,+o）(-0,a](-∞，a） 知识点二 定义域对应关系 知识点三 a>0a<0