第2章 一元二次函数、方程和不等式章末复习与总结-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

即原不等式的解集为{xlx≤-1或x>3} (2不梦式3可政写为30.即2 x+1 +1<0 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x-1<x<1. 例2：方法一：设方程两根分别为x,x2,则x1+x2= m-1 -7 81 因为两根均大于1，所以x1-1>0,x21>0, r4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 故有(x1-1)+(x2-1)>0, (x-1)(2-1)>0, 〔(m-1)2-32(m-7)≥0， 即g20, m-7m-1 (88+1>0, rm≥25或m≤9， 解得m>17 所以m≥25.故实数m的取值范围是{mlm (mER, ≥25}. 方法二：令y=8x2-(m-1)x+ m-7,则方程两实根大于1，等 价于二次函数与x轴公共点 都在x=1右侧，如右图，则 4=(m-1)2-32(m-7)≥0， -(m-1 2×8 >1, 8-(m-1)+m-7>0, 解得m≥25，·.实数m的取值范围是mlm≥25}. 跟踪训练2：{al-2<a<1}方法一：设两根为x>1,x2<1,则x1- 1>0,x2-1<0, .-1)(-1)<0即[-(+)+1<0， 4>0, 4=(a2-1)2-4(a-2)>0, 即a-2+(a2-1)+1<0, 1(a2-1)2-4(a-2)>0, 解得-2<a<1. 方法二：由题意得12+(a2-1)+a-2<0,即a2+a-2<0,解得-2< a<1. 例3：当a2-1=0时，a=±1， 若a=1,则原不等式可化为-1<0，显然恒成立； 若a=-1,则原不等式可化为2x-1<0不是恒成立，所以a=-1 舍去； 当a2-1≠0时，因为(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R, 所以只需-1<0， 3 l4=(a-1)2+4(a2-1)<0, 解得-方a<1: 综上，实数▣的取植范围为。了。 跟踪训练3：因为x>0,所以不等式x2+mx+9>0可化为-m<x ×9 t, 9 9 /. 而当x>0时，x+一≥2 -=6, 9 当且仅当x=,即x=3时等号成立， ∴.-m<6,解得m>-6,所以实数m的取值范围是{mlm>-6} 例4：设税率调低后“税收总收人”为y元 2n1+26).(g-)%=2(r+2-400≤8 3 依题意，得y≥2400m×8%×78%, 即-)2n(+42x-40)≥2400mx8%x783 整理，得x2+42x-88≤0，解得-44≤x≤2. 根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2 .x的范围是{x10<x≤2}. 跟踪训练4：由题意可得s=-2x+ ≥25， 化简得x2-36.x-405≥0，解得x≥45或x≤-9， 又.x≥0，..x≥45. ∴.这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h. 随堂检测重反馈 1.{x1<x<3,xeR}原不等式转化为(x-1)(x-3)<0,解得1< x<3,所以原不等式解集为{x1<x<3,xeR. 2.xI2<x<3}由不等式ax2+5x+1≤0的解集为 「1 {2≤x≤3}，可知方程am+5x+1=0有两根x=-子 11 1 放a6则不等式子0即白0等价于3 1 x-3 2)(x-3)<0,不等式3(x-2)(x-3)<0的解集为xI2<x<3}, 则不等式3x-<0的解集为x2<x<3. x-3 3.{k1-3<k≤1}(1)当k-1=0,即k=1时，-1<0恒成立，符合 题意.(2)当k一1≠0时，由题意可知 fk-1<0, 解得-3<k<1.综上可知-3<k≤1. 4=(k-1)2+4(k-1)<0, 4.4设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y= (80000-2.5×2000x,整理得)y=-200002+13000x,因 0.1 为要使提价后的销售总收人不低于20万元，所以y=-20000x2 +13000x≥200，解得≤x≤4，所以要使提价后的箱售总 收人不低于20万元，则定价的最大值为4元. 章末复习与总结 例1：作差，得 -(1-x)=1 +x 1+x 1 ①当x=0时，1t=0,… -=1-x 当1中x<0,即x<-1时，0，…」 ③当1+>0且x0,即-kx<0或0时+01中>1-x 例2：a+(1-a)x-1>0可得(a+)(x-1)>0,即(+后）(-l) <0. 当<1时，即a<1时，不等式的解集为列<l: 当->1时，即-1<a<0,不等式的解集为1<a} 11 当-=1时，即a=-1时，不等式的解集为空集. 故当a<-1时，不等式的解集为 -<x<1 当-1<a<0时，不等式的解集为{x I<x<- 当a=-1时，不等式的解集为空集. 20 例3：(1)①若m=0,原不等式可化为-1<0，显然恒成立： ②若m≠0，则不等式mx2-mx-1<0恒成立台 fm<0, 。解得-4<m<0. L4=m2+4m<0," 综上可知，实数m的取值范围是{m-4<m≤0. (2)令y=mx2-mx-1, ①当m=0时，y=-1<0显然恒成立； ②当m>0时，若对于x∈{x11≤x≤3}不等式恒成立， 只需当x=1时y<0且x=3时y<0即可， 所以1<0， '9m-3m-1<0,解得m< 1 ,所以0<m<6 ③当m<0时，函数y的图象开口向下，对称轴为x=2, 1 若x∈{xl1≤x≤3}时不等式恒成立， 结合函数图象（图略）知只需当x=1时y<0即可，解得 mER. 所以m<0,符合题意 综上所述，实数m的取值范围是{mm<6} 11 (3)令u=mx2-mx-1=(x2-x)m-1, 若对满足Iml≤2的一切m的值不等式恒成立，则只需 当m=-2时u<0且当m=2时，u<0, 即52x)10解得-5x<+ 12(x2-x)-1<0, 2 所以实数x的取俏范围是2<x<+3] 2 侧4：(1)设每件的售价为1元，依题意得8-25x0.2）≥25 1 ×8, 整理得t2-65t+1000≤0，解得25≤t≤40. 所以要使销售的总收入不低于原收入，每件的售价最高为 40元 (2)依题意得，当x>25时，不等式ax≥25x8+50+ 6(x2-600) +兮有解。 等价于当x>25时，4≥150， +5有解。 /150x 1因为150+三2入Jx6=10, 当且仅当0名，即=30时等号成立，此时0名写 x65 10.2,所以a≥10.2 故当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能 使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品 每件售价为30元 第三章函数的概念与性质 3.1 函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念 第1课时 函数的概念（一） 教材梳理明要点 新知初探 知识点 实数集任意一个数x确定唯一确定取值范围A 函数值{f(x)Ix∈A} 预习自测 1.D函数值只有-1,0,1三个数值，故值域为{-1,0,1}. 3 2.{xlx<4}由4-x>0,解得x<4,所以原函数的定义域为 xlx<4 题型探究提技能 例1：(1)B(2)C 【解析】(1)对于A项，x2+y2=1可化为y=±√1-x2,显然 对任意x∈A,y值不唯一，故不符合；对于B项，符合函数的定 义：对于C项，2∈A,但在集合B中找不到与之相对应的数， 故不符合；对于D项，-1∈A,但在集合B中找不到与之相对 应的数，故不符合. (2)由函数定义可知，任意作一条直线x=a,则与函数的图象 至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的 函数. 跟踪训练1：ABDABD均满足函数的定义，C选项，同一个分 数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x,都有唯一的y 与其对应，故C选项错误.故选ABD. 例2：(1)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 00.即{解得<0，且≠-2 1Ix|-x≠0， 故原函数的定义域为x|x<-2或-2<x<0}. (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 8 1x-1≠0， 故原函数的定义域为x|x<1或1<x≤4}. 跟踪训练2：C要使函数y= 二有意义，应满足x+1>0, /x+1 之-1，“函数)y=1的定义域为x2-1. /x+1 11 例3：(1)f(x)=1+xf(2)=1+23 又：g(x)=x2+2,g(2)=2+2=6. (2)g(3)=32+2=11,…f[g(3)]=f11)=1+2 跟踪训练3：（1/3)23-1，g(3)=-3+2-7 1 1 1 (2)[g(2)]=2-g(2)2-(-2+2)4 随堂检测重反馈 1.B图①不满足定义域M=xI0≤x≤2；图③不满足集合N ={y10≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x=1时对应两个 不同的y值；②符合函数定义，定义域为M,值域也恰为N,故 只有一个表示集合M到集合N的函数关系，选B. 2.C函数的对应关系中，可以多个不同的自变量对应同一个 函数值.故选C. 3.- 88 .f(x)= 1-…f(3)=-9 8 ..f(-2)= 1 1 9 1--23/-2]=f(3） -( 8 4.②对①，0∈P,但101Q,所以对应关系f不能构成集合P 上的函数.对②，Hx∈P,都有且只有唯一元素y在集合Q中 与之对应，所以能构成集合P上的函数.对③，P中的元素不 是数，而函数是非空数集到非空数集的对应关系.故填②. 第2课时 函数的概念（二） 教材梳理 明要点 新知初探 知识点 1.[a,b](a,b)[a,b)(a,b] 2.(-∞，+0）[a,t0）(a,+o）(-0,a](-∞，a） 知识点二 定义域对应关系 知识点三 a>0a<0●047 章末复习与总结 知识体系构建 厂不等关系与不等式的概念 等式性质 和不等式 等式性质 性质 不等式的基本性质 比较实数的大小（比较法） 一基本不等式的变式与拓展 若a+b=S(定值)，则当a=b 二 基本不等式 最值定理 时，b取得最大值S Vab≤艺 (a>0,b>0) 求最值的常用方法 函数 若ab=P(定值).则当a=b时】 方程 (a>0,b>0 a+b取得最小值2P 和 等式 求实际应用问题的最值 基本不等 式的应用 比较实数的大小 证明不等式 元二次不等式的概念 二次函数与 一元二次方 三个“二次”（一元二次方程的根、一元二次函数 程 不等式 的零点、一元二次不等式的解集)之间的关系 一元二次不 利用三个“二次” 不合参数的一元二次不等式的解法 等式的解法 之间的关系 含参数的一元二次不等式的解法 核心考点培优 考点一 比较大小 [方法总结1] 比较大小的常用方法 例1.设xeR且≠-1，试比较+与1=x的大小 ·[方法总结1] 1作差法：①作差；②变 形；国定号；④结论.其 中关键是变形，常采用 配方、因式分解、有理 化等方法把差式变成积 式或者完全平方式.当两 个式子都为正数时，有 考点二解不等式 时也可以先平方再 作差； 例2解关于x的不等式：ar2+(1-a)x-1>0(a<0. 2作商法：①作商；②变 形；③判断商与/的大 小；④结论； 求出方程(ax+1)(x-1)=0的根，分类讨论比 3特值法：若是选择题、 较大小，然后结合二次函数图象可得结论 填空题可以用特值法比 较大小；若是解答题， ·[方法总结2] 可先用特值探究思路， 再用作差或作商法判断」 注意：用作商法时要注 意商式中分子与分母的 正负，否则极易得出相 反的结论. 048 [方法总结2] 考点三不等式恒成立问题 一元二次不等式可结 例3.已知不等式m-m-1<0“己知设有说明是-元二次不等 合二次函数图象求 入式，故需讨论二次项系数是否为零 解，一是注意开口方 (1)若x∈R时不等式恒成立，求实数m的取值范围； 向，二是分清含参数 (2)若x∈{x|1≤x≤3}时不等式恒成立，求实数m的取值范围； 两根的大小 (3)若满足ImI≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取 值范围。 令u=mx2-mx-1=(x2-x)m-1可看作是关于m的一次函数 ·[方法总结3] [方法总结3] 不等式恒成立求参数 范围的方法 |数形结合法：利用不 等式与函数的关系将 恒成立问题通过函数 图象直观化； 2.分离参数法； 3变更主元法：根据实 考点四不等式的实际应用 际情况的需要确定合 适的主元，一般知道 例 4.北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会， 某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次 取值范围的变量看作 评估.该商品原来每件的售价为25元，年销售量为8万件. 主元. (1)据市场调查，价格每提高1元，年销售量将相应减少2000件，要 使销售的总收入不低于原收入，问该商品每件的售价最高为多 [方法总结4] 少元？ 基本不等式通常用来 (2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决 求最值，一般用a+b 定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高售价 ≥2√ab(a>0,b>0)解 “定积求和，和最 到x元公司拟投入。(：-600)万元作为技改费用，投人50万元 小”问题，用b≤ /t612 作为固定宣传费用，投入；万元作为活动宜传费用试问：当该商 解“定和求 ↓27 品改革后的销售量α至少达到多少万件时，才可能使改革后的销 积，积最大”问题.一 售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件的售价为 定要注意适用的范围 和条件：“一正、二 多少元？ ·[方法总结4] 定、三相等”特别是 利用拆项、添项、配 凑、分离变量、减少 变元等，构造定值条 件的方法和对等号能 否成立的验证 素养等级测评 请同学们认真完成考案（二）