2.2 第2课时基本不等式的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

【解析】(1)6和8的几何平均数为4√3 (2)a2+1≥2a等价于(a-1)2≥0，等号成立的条件是a=1. (3)当a<0时，a+。是负数. (4当00时.(o)(日）是三 4 4 /4 24:>0,年>0，y=x+≥2√x·是=4，当且仅当x= x 兰即2时，等号成立放4 题型探究提技能 例1：(1)B(2)C 【解析】(1)方法一：因为0<a<b,所以0<√a<b,所以a< 瓜同料由0a6得号<分所以.由基本不等式可 得历上瓜<h 方法二：因为c,所以a6,排膝A.C两项.又而 a=√a(√b-√a)>0,即√ab>a,排除D项 方法三取a=2.6=8,则瓜=4,25，所以a瓜 <b. (2)选项A中，+4≥（当且仅当x= 时，2+1 1 选项A不正确：选项B中，+≥2(>0)，+≤-2(x<0), 1 故选项B不正确；选项C中，x2-21xl+1=(1x-1)2≥0(x∈ R),故选项C正瑰；选项D中，+1≥1，则0< 1≤1，故选 项D不正确. 跟踪训练1：A对于A,符合基本不等式的三个条件“一正，二 定，三相等”；对于B,忽视了验证等号成立的条件，即x=文 则x=士1，均不满足x≥2：对于C,当>0,6>0时，√a6≤0， 2 当且仅当a=b时取等号，故C错误；对于D,由基本不等式得 a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号，故D错误.故选A 0.（10是0，o0242 1 2.4x=85. 当且仅当2=4，即x=3时取最小值85， 当0时是的最小值为8厅 2y0.0则-4)≥2g(-40=85. 当且仅当2=-4时，即x=-5时取等号。 一 只4红≤8厅当0时，号的最大值为-8瓦 限踪训练2：（)3识 (2)2 【解析】（1)由0<x<1知3-2x>0,故√x(3-2x)= √2 /2x(3-2x)≤ ·2x+(3-2x)=32,当且仅当x=4时，等 2 号成立所以风2丽的装大位为识 3 2)周为-2，所以20.(+29≥2+2· x+2 16 8,当且仅当+2=2即x=2时取等号，…+2+ +2(x>-2) 取最小值时，x的值为2. 例3：(1)1(2)2 、9 【解析】（1)<至5-4>0，y-2+,1 4x-5 -(54)3≤-243-1，当且仅当5-5 1 -,即x=1 时，上式等号成立，故当x=1时，ym=1. 3 (2)因为0<x<2,所以3-2x>0,所以y=4r(3-2x)= 23-21≤2292]-号收当23-2 =子时，等号成立.周为子e(0,子)所以y=4(3-2) 3 3/ (0)的最夫位为号 .9 跟踪训练3：-1因为<2，所以1-2x>0, 因为221-(1-2小 1 2x-1 1 1 又因为1-2x+1-2≥2√1-2x)·1-2x=2(当且仅当x=0 时，等号成立) 2x-下-241=-1，即最大值是-1 1 所以2x+ 随堂检测重反馈 C由装本不等式知当a>60时，历<营瓜<学故 选C. 2.D由于ab>0,可知a与b同号，显然当a<0,b<0时，选项A, B中的不等式不成立，所以选项A,B错误：由b>0,得>0， 80,所以日 ≥2√合·6=2，选项C错误：显然，Ya, b a b a a b beR,a2+b2≥2ab,选项D正确.故选D. 3.≥ +2=+)1=++ ≥2.当且仅当 x+1√2+1 √x2+I x2+1= 1,即x=0时取“=”， /x+1 4.20x+y≥2/y=2√/100=20（当且仅当x=y=10时取等号）. 第2课时基本不等式的应用 题型探究提技能 例1：1y= 2+7x+10(x+1)2+5(+1)+4=（+1)+ x+1 x+1 4+5,因 + 为1，所以+1>0所以≥2√+1)·有 +5=9,当且 x+1 仅当x+1=4 中即x=1时，等号成立，故x=1. 跟踪训练1：6-1y=x+3x+8(+)2+(+)+6 x+1 x+1 1 一，因为x>-1,所以x+1>0,所以y≤ (x+1) 6 +1 x+1 =26-,当且仅当x+1=,,即 6 1+2√6 2√(+1) +1 x+1 x=√6-1时，等号成立 0325因为+6=1，所以。+2-（日2）er6=名 ra+b=1, b.20+3=3+22,当且仅当{b2a即a=万 L a b -1,b=2-√2时，等号成立 1.9 跟踪训练2：x>0,y>0,xy=9x+y,∴. =1 x y =(+）*=02+=102子 y x Ny x =16, 当且仅当告-即=4，=12时，等号成立 即x+y的最小值为16. 例3：因为a>0,6>0,所以2a+b>0,所以要使2+1 恒 。+6≥2a+ 成立， 其活m2(合)度立。 2a0(名)-4会4+1a549, b 当且仅当a=b时，等号成立，所以m≤9. 所以m的最大值为9. 跟踪训练3：因为0，所以+2，当且仅当=1时取等号。 1 11 所以有2+3x+1 1 即的最大值为行，故≥行 .1 x2+3x+1 例4：(1)设每间虎笼长xm,宽ym, 则由条件知：4x+6y=36,即2x+3y=18. 设每间虎笼面积为S,则S=xy 方法一：由于18=2x+3y≥2√2x·3=2√6xy, 所u2网≤18，得5号即55号当且仅当2x=时。 27 等号成立 1·￥得化5， y=3. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. 方法二：由2x+3y=18,得x=9-3 因为>0，所以9-3 八0， 所以y6,sy=(9)少=26yy 3 3.「(6-y)+y1227 因为0<6，所以6-y>0,所以S≤2·2 -21 当且仅当6-y=y即y=3时等号成立，此时x=4.5. 故每间虎笼长4.5m,宽3m时，可使面积最大. (2)设每间虎笼长xm,宽ym, 由条件知S=y=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y. 方法一：因为2x+3y≥2√2x·3y=2√6xy=24, 所以l=4x+6y=2(2x+3y)≥48.当且仅当2x=3y时，等号 成立. 3 2=3解得x=6, 1xy=24, Ly=4. 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 方法二：由y=24,得x=24 所以1=4x+6y=96+6y=616 y 6y=48. (y+y)≥6x2√ 当且仅当y即)=4时，等号成立，此时=6 故每间虎笼长6m,宽4m时，可使钢筋网总长最小 跟踪训练4：58每台机器运转x年的年平均利润为】=18 ()且0，放≤18-2历=8，当且仅当=5时等 号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元 随堂检测重反馈 1c因为心则0所以a2品(a号）++号 a-2 22)于当组仅当a( 11 a-- 2 ）时，即当a=弓时，等号成立，故a+2品的最小值为 3 故选C. 9 4 xty=4,.. ）又00，期2 .=4(当且仅当 x y x y 时取等号），则≥(5+4= 9 x y 4 1 11+4y121当且仅当x=4y=2时 36y=4x4y≤4（2）=16 取等号. 4160设池底一边长为xm,则另一边长为m,总造价为y 元.则y=4×120+22x+2×4 ）×80=320(+） +480(x> 4. 4 0).因为x+一≥ =4，当且仅当x=4即x=2时取 2x·x 等号，所以ymm=480+320×4=1760(元)： 2.3二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 一个2 知识点二 实数x零点 预习自测 1.-1或3由y=0得x2-2x-3=0,即x=-1或x=3.即函数的 零点为-1和3. 2.{xlx<-1或x>3}方程x2-2x-3=0的两根是x1=-1,x2=3. 函数y=x2-2x-3的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个 交点(-1,0)和(3,0)，如图所示. 观察图象可得不等式的解集为xx<-1或x>3}. 8●039 第2课时基本不等式的应用 题型探究提技能 题型一基本不等式的变形应用 角度1构造法求最值 例1.=+7+10 [方法总结1] x>-1)取最小值时的x值为 x+1 构造法求最值就是将 已知数学表达式变形， ●[方法总结1] 构造出和或积为定值 )跟踪训练1 的形式 x+1 Y=- x>-1)取最大值时的x值为 x2+3x+8 角度2巧用“1”的代换求最值 [方法总结2] 12 常数代换法解题的关 例2.若a,b是正实数且a+b=1,则。+6的最小值为 键是通过代数式的变 形，构造和式或积式 P[方法总结2] 为定值的式子，然后 》跟踪训练2 利用基本不等式求解 若x>0,y>0,y=9x+y,求x+y的最小值. 最值.应用此种方法求 解最值时，应把“1” 的表达式与所求最值 的表达式相乘求积或 相除求商. [方法总结3] 恒成立问题常采用分 题型二利用基本不等式求参数范围 离参数的方法求解， 例3E知o00若不等式行产2扣成立，求m的被大值 若a≤y恒成立，则 a≤ym;若a≥y恒成 P[方法总结3] 立，则a≥yn将问题 转化为求y的最值问 题，可能会用到基本 不等式 040 》跟踪训练3 若对任意>0，，x 'x2+3x+1 ≤a恒成立，求a的取值范围. 题型三基本不等式的实际应用 例4如图所示动物园要用成相同面积的长方形虎笼四间， 面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成 己知a+b为定值，可用基本不等式求ab的最大值 [方法总结4] (1)现有可围36长网的材料，问每间虎笼的长、宽各设计为多少 应用基本不等式解决 时，可使每间虎笼面积最大？己知ab为定值，可用基本 实际问题的思路 了不等式求a+b的最小值 1先认真审题，设出变 量，将实际问题抽象成 (2)要使每间虎笼面积为24m2,问每间虎笼的长、宽各设计为多少 数学问题： 时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 2建立相应的关系式， P[方法总结4] 利用基本不等式求解； 3.根据实际背景写出 答案. 〉》跟踪训练4 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得 的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y=-x2+18x -25(x∈N*),则当每台机器运转 年时，年平均利润最大，最大值 是 万元 041 随堂检测 重反馈 1.已知a心则a*2 2 ,的最小值为 C.2 D.3 14 2.设x>0,y>0,x+y=4,则二+一的最小值为 x Y 3.已知x>0,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为 4.建造一个容积为8m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为120元/m2, 80元/m,那么水池的最低总造价为 元 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[13] 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 新课程标准解读 学科核心素养 经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式 的现实意义， 数学抽象 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不 数学抽象、数学运算 等式的解集 借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的 直观想象、逻辑推理 联系 能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式模型，并加以解决 数学建模、数学运算 第1课时二次函数与一元二次方程、不等式 教材梳理明要点 一情境导入 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长 度是24m,围成的矩形区域的面积要大于20m,问这个矩形的边长要满 [提示] 足什么条件？ P[提示] 设这个矩形的一条边 长为xm,则另一条边 曰新知初探 长为(2-x)m由题意， 知识点一一元二次不等式的概念 得(12-x)x>20,其中x 只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式不等 ∈{x10<x<12}.整理 式，称为一元二次不等式.其一般形式是：ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中 得x2-12x+20<0,x∈ a,b,c均为常数，a≠0. {xI0<x<12}. 知识点二二次函数的零点 一般地，对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，我们把使ax2+bx+c=0的 叫做二次函数y=ax2+bx+c的