2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

题型探究提技能 例1：(1)方程2x2+5x-3=0的两实根为1= 、1 -3,x221 作出函数y=2x2+5x-3的图象，如图①. 由图可得原不等式的解集 为{x-3<2} 11 (2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.△=36-4×3×2=12>0， _3-√33+5 解方程3x2-6x+2=0,得x1=3= 3 作出函数y=3x2-6x+2的图象，如图②， 由图可得原不等式的解集为≤35或≥ _3-5 3+3 0 ③ (3):方程42-4x+1=0有两个相等的实根x==2 作出函数y=4x2-4x+1的图象如图③. 由图可得原不等式的解集为} (4)原不等式可化为x2-6x+10<0, :4=36-40=-4<0,.方程x2-6x+10=0无实根， 函数y=x2-6x+10的图象在x轴上方，与x轴无交点 .原不等式的解集为⑦ 跟踪训练1：不等式-2x2+x+3<0可化为2x2-x-3>0. 因为4=(-1)2-4×2×(-3)=25>0， 所以方程2x2-x-3=0的两根为x=-1,名=2 3 又二次函数y=2x2-x-3的图象开口向上， 所以不等式-2x2+x+3<0的解集是{ 例2：①当a=0时，原不等式即为-x+1<0,解得x>1. ②当a<0时，原不等式化为(）(-1>0，解得<亡或： >1. 1 ③若0<a<1,原不等式化为x- ·(x-1)<0.解得1<x< a 综上可知，当a<0时，原不等式的解集为x×。或1： 当a=0时，原不等式的解集为xx>1}: 当0ka<1时，原不等式的解集为le} 跟踪训练2：原不等式可化为(x-a)(x-2)<0; 方程x2-(a+2)x+2a=0的两根为x1=2,x2=a 又函数y=x2-(a+2)x+2a的图象开口向上， 则当a=2时，原不等式的解集为⑦： 当a>2时，不等式的解集为{x2<x<a, 当a<2时，不等式的解集为{xla<x<2. 所以x1=号与=了是方程p+9=0的辆个实数根. 1 r11 1 [p= 32 61 由根与系数的关系得 1 解得 9=-6 所以不等式gx2+px+1>0即为- 6 6x+1>0, 整理得x2-x-6<0,解得-2<x<3. 即不等式gx2+px+1>0的解集为{xl-2<x<3}. 跟踪训练3：因为不等式ax2+bx+c≤0的解集为xlx≤-3或x≥ 4}, 所以a<0,且-3,4是方程ax2+bx+c=0的两根. -3+4=-6 a 由根与系数的关系可得 即fis-a, -3X4= lc=-12a a 所以不等式bx2+2ax-c-3b≥0可化为-ax2+2ax+15a≥0， 即x2-2x-15≥0，解得x≤-3或x≥5， 故所求不等式的解集为xlx≤-3或x≥5}. 随堂检测重反馈 1.AD由于2+F+1<0,2+3+1<0不符合一元二次不等式的 x 定义，只有x2+2x<-1,x2+1<0是一元二次不等式，故选AD. 2.A因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为xl1<x<2},所以1 和2为方程(x-a)(x-6)=0的两个银则有8或 {8子所以ah=1+2-3,即a+6的值为3 3D因为不等式am-60的解朱是xl>1,所以0>0，名=1， 所以(ax+b)(x-3)>0等价于a(x+1)(x-3)>0,其解集应为 {xlx>3或x<-1},故选D. 4.C 由-3》(+2≤0可得3(x+2)≤0，则可得-2≤≤ x≠0. 3且x≠0，故不等式的解集为x-2≤x<0或0<x≤3}.故选C 第2课时二次函数与一元二次 方程、不等式的应用 题型探究提技能 例1：(1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,-1<<2 故原不等式的解集为x - (2)原不等式可化为，-1 3+5s0, T(x-10(3x+5)≤0： 3≤x≤1， 即 3x+5≠0. 5 3xs1. x≠-3 5 故原不等式的解集为x-3<x≤1： (3)原不等式可化为 x+2 1>0, -1-+20,即 x+2 x+20,则x<-2 故原不等式的解集为{x|x<-2}. 限踪训练1：(1)不等式号≥0可转化成不等式 组[》20， 解得x≤-1或x>3. 19 即原不等式的解集为{xlx≤-1或x>3} (2不梦式3可政写为30.即2 x+1 +1<0 可将这个不等式转化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1. 所以原不等式的解集为{x-1<x<1. 例2：方法一：设方程两根分别为x,x2,则x1+x2= m-1 -7 81 因为两根均大于1，所以x1-1>0,x21>0, r4=(m-1)2-32(m-7)≥0， 故有(x1-1)+(x2-1)>0, (x-1)(2-1)>0, 〔(m-1)2-32(m-7)≥0， 即g20, m-7m-1 (88+1>0, rm≥25或m≤9， 解得m>17 所以m≥25.故实数m的取值范围是{mlm (mER, ≥25}. 方法二：令y=8x2-(m-1)x+ m-7,则方程两实根大于1，等 价于二次函数与x轴公共点 都在x=1右侧，如右图，则 4=(m-1)2-32(m-7)≥0， -(m-1 2×8 >1, 8-(m-1)+m-7>0, 解得m≥25，·.实数m的取值范围是mlm≥25}. 跟踪训练2：{al-2<a<1}方法一：设两根为x>1,x2<1,则x1- 1>0,x2-1<0, .-1)(-1)<0即[-(+)+1<0， 4>0, 4=(a2-1)2-4(a-2)>0, 即a-2+(a2-1)+1<0, 1(a2-1)2-4(a-2)>0, 解得-2<a<1. 方法二：由题意得12+(a2-1)+a-2<0,即a2+a-2<0,解得-2< a<1. 例3：当a2-1=0时，a=±1， 若a=1,则原不等式可化为-1<0，显然恒成立； 若a=-1,则原不等式可化为2x-1<0不是恒成立，所以a=-1 舍去； 当a2-1≠0时，因为(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集为R, 所以只需-1<0， 3 l4=(a-1)2+4(a2-1)<0, 解得-方a<1: 综上，实数▣的取植范围为。了。 跟踪训练3：因为x>0,所以不等式x2+mx+9>0可化为-m<x ×9 t, 9 9 /. 而当x>0时，x+一≥2 -=6, 9 当且仅当x=,即x=3时等号成立， ∴.-m<6,解得m>-6,所以实数m的取值范围是{mlm>-6} 例4：设税率调低后“税收总收人”为y元 2n1+26).(g-)%=2(r+2-400≤8 3 依题意，得y≥2400m×8%×78%, 即-)2n(+42x-40)≥2400mx8%x783 整理，得x2+42x-88≤0，解得-44≤x≤2. 根据x的实际意义，知x的范围为0<x≤2 .x的范围是{x10<x≤2}. 跟踪训练4：由题意可得s=-2x+ ≥25， 化简得x2-36.x-405≥0，解得x≥45或x≤-9， 又.x≥0，..x≥45. ∴.这辆汽车刹车前的车速至少为45km/h. 随堂检测重反馈 1.{x1<x<3,xeR}原不等式转化为(x-1)(x-3)<0,解得1< x<3,所以原不等式解集为{x1<x<3,xeR. 2.xI2<x<3}由不等式ax2+5x+1≤0的解集为 「1 {2≤x≤3}，可知方程am+5x+1=0有两根x=-子 11 1 放a6则不等式子0即白0等价于3 1 x-3 2)(x-3)<0,不等式3(x-2)(x-3)<0的解集为xI2<x<3}, 则不等式3x-<0的解集为x2<x<3. x-3 3.{k1-3<k≤1}(1)当k-1=0,即k=1时，-1<0恒成立，符合 题意.(2)当k一1≠0时，由题意可知 fk-1<0, 解得-3<k<1.综上可知-3<k≤1. 4=(k-1)2+4(k-1)<0, 4.4设定价为x元，销售总收入为y元，则由题意得y= (80000-2.5×2000x,整理得)y=-200002+13000x,因 0.1 为要使提价后的销售总收人不低于20万元，所以y=-20000x2 +13000x≥200，解得≤x≤4，所以要使提价后的箱售总 收人不低于20万元，则定价的最大值为4元. 章末复习与总结 例1：作差，得 -(1-x)=1 +x 1+x 1 ①当x=0时，1t=0,… -=1-x 当1中x<0,即x<-1时，0，…」 ③当1+>0且x0,即-kx<0或0时+01中>1-x 例2：a+(1-a)x-1>0可得(a+)(x-1)>0,即(+后）(-l) <0. 当<1时，即a<1时，不等式的解集为列<l: 当->1时，即-1<a<0,不等式的解集为1<a} 11 当-=1时，即a=-1时，不等式的解集为空集. 故当a<-1时，不等式的解集为 -<x<1 当-1<a<0时，不等式的解集为{x I<x<- 当a=-1时，不等式的解集为空集. 20044 随堂检测 重反馈 1.(多选)下列不等式是一元二次不等式的是 A.x2+2x<-1 B.x2+x+1<0 c.E+3+1<0 D.x2+1<0 2.若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为x1<x<2},则a+b的值为 A.3 B.1 C.-3 D.-1 3.关于x的不等式ax-b>0的解集是{xlx>1},则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是() A.{xl-1<x<3 B.{x1<x<3 C.{xlx<1或x>3 D.{xlx<-1或x>3 4.不等式x-3)(x+2) ≤0的解集是 A.{xl-2≤x≤3 B.{xx≥3或x≤-2 C.{x|-2≤x<0或0<x≤3} D.{x|x>3或x<-2 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[14] 第2课时 二次函数与一元二次方程、不等式的应用 题型探究提技能 题型一解简单的分式不等式 [方法总结1] 例1解下列不等式： 分式不等式的解法 利用“两数相除同 0:235≥0：3 *21 ·[方法总结1] 号得正异号得负”和 “两数相乘同号得正 异号得负”把比较简 单的分式不等式，直 接转化为一元二次不 等式或一元二次不等 式组求解，但要注意 等价变形，保证分母 不为零 )跟踪训练1 2.对于不等号右边不 解下列不等式： 为零的较复杂的分式 不等式，先移项再通 (1)*1 a0(2a 分（不要去分母），使之 转化为不等号右边为 零的形式，然后再用 上述方法求解 ●045 题型二一元二次方程根的分布 例2已知方程8x-(m-I)x+m-7=0有两实根，如果两实根都大于1，求实 [方法总结2] 方程ax2+bx+c=0(a≠0) 数m的取值范围。 ●[方法总结2] 的根的分布问题得 解法 1.把问题转化为两根 积与两根和的表达 式，利用韦达定理得 到系数的关系式，再 进一步求解； 2.结合函数图象，利 用根的判别式和特殊 自变量函数值的正负 构造不等式组来解决。 》跟踪训练2 要使关于x的方程x2+(a2-1)x+a-2=0的一根比1大且另一根比1小，则 实数a的取值范围是 题型三一元二次不等式恒成立问题 例3关于的不等式(a-1)-(a-1x-1<0的解集为R,求实数u的取 值范围。 讨论二次项系数a2-1是否为0 》跟踪训练3 当x>0时，不等式x2+mx+9>0恒成立，求实数m的取值范围. 046 题型四一元二次不等式的实际应用 例4.国家原计划以240元/吨的价格收购某种农产品m吨按规定，农户 向国家纳税为：每收入100元纳税8元（称作税率为8个百分点，即 8%).为了减轻农民负担，制定积极的收购政策.根据市场规律，税率 降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点.试确定x的范围，使税 率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. ●[方法总结3] [方法总结3] 求解一元二次不等式 应用问题的步骤 阅读理解、认真 审题，把握问题 中的关键量，找 准不等关系 将文字语言转化 为符号语言，用 建】 不等式表示不等 )】跟踪训练4 关系，建立相应 某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离（刹车距离是指汽车刹车后由于 的数学模型 惯性往前滑行的距离)sm和汽车刹车前的车速xk/h有如下关系：s=-2x+ 1 解不等式，得到 1令二.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于2.5m,那么这辆汽 解 数学结论，要注 意数学模型中元 车刹车前的车速至少为多少？ 素的实际意义 回归实际问题， 将数学结论还原 为实际问题的结 果 随堂检测重反馈 1.(2025·上海卷)不等式-1 x-3<0的解集为 2若不等式a25+1s0的解第为水日车后 ,则不等式3x-<0的解集为 x-3 3.若关于x的不等式(k-1)x+(k-1)x-1<0恒成立，则实数k的取值范围是 4.某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，杂志的单价每提高0.1元， 销售就可能减少2000本.要使提价后的销售总收入不低于20万元，则定价的最大值为 元 夯基提能作亚业 请同学们认真完成练案[15]