1.3 第2课时补集及综合运用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

012 第2课时补集及综合运用 新课程标准解读 学科核心素养 在具体情境中，了解全集的含义及其符号表示 数学抽象 理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集， 数学抽象、数学运算 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概，念的作用. 数学运算、直观想象 教材梳理明要点 ●情境导入 我们学校高一年级所有同学组成的集合记为P,喜欢数学的同学组 [提示] 成的集合记为M,不喜欢数学的同学组成的集合记为N,那么这三个集合 集合M和集合N都是 有什么关系呢？ 集合P的子集；集合 P[提示] N是由集合P中不属 于集合M的元素构成 曰新知初探 的集合；集合M是由 知识点一全集 集合P中不属于集合 般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 元素，那么就称 N的元素构成的集合 这个集合为 ,记为 知识点二补集 [知识点反思] 对于一个集合A,由全集U中 集合A的所有元 正确理解全集、补集 文字语言 素组成的集合称为集合A 全集U的补集，简称 的概念 为集合A的补集，记作 1.全集是一个相对概 念，因研究问题的不 定义 符号语言 CuA= 同而变化； 2.补集既是集合之间 的一种关系，也是集 图形语言 合之间的一种运算补 集是相对于全集而言 的，它与全集不可分 (1)Cu ACU; (2)CU= ,CvO=U; 性质 割，同一个集合在不 (3)C(CA)= (4)AU(CA)= An(G A)= 同的全集中的补集也 不相同； ·[知识点反思] 3.A和CA都是全集 目预习自测 U的子集.若xeU,则 x∈A或x∈mA,二者 1.（2025·天津卷)已知集合U={1,2,3,4,5},A=1,3},B={2,3,5},则 必居其一 Ci(AUB)= ( A{1,2,3,4 B.{2,3,4 C.{2,4} D.{4} 2.已知集合A={xlx<-5或x>7},则[A= A.{xl-5<x<7 B.{x|-5≤x≤7 C.{xlx<-5}U{x|x>7} D.{xlx≤-5}U{xlx≥7} 013 题型探究提技能 题型一补集的基本运算 例1.(1)已知全集为0，集合4=1,35,7，dA=24,61,B=1,4 6,则集合B= [方法总结1] (2)(2025·上海卷)已知全集U={x2≤x≤5，x∈R},集合A={xI2≤ 求集合的补集的方法 1定义法：当集合中 x<4,x∈R},则CA= ●[方法总结1] 的元素较少时，可利 》跟踪训练1 用定义直接求解； Z.Venn图法：借助Venn (1)(2025·新高考I卷)设全集U={x|x是小于9的正整数}，集合A= 图可直观地求出全集 {1,3,5},则CA中元素个数为 及补集； A.0 B.3 C.5 D.8 3数轴法：当集合中 (2)已知U={x|x>0},A={x12≤x<6},则CA= 的元素连续且无限 题型二交集、并集、补集的综合运算 时，可借助数轴求 例2已知全集U=l≤4，集合A=-2<<3引，B=x-3≤x≤2，求 解，此时需注意端点 问题. A∩B,(CA)UB,A∩(CB). ·[方法总结2] [方法总结2] 解决交集、并集、补 集运算的技巧 )》跟踪训练2 集合的交集、并集、 (1)设U=R,A={xx>0},B={xx>1},则A∩(CB)= 补集运算是同级运算， A.{x10≤x<1} B.{xI0<≤1} 因此在进行集合的混 C.xlx<0 D.xlx>1 合运算时，有括号的先 (2)已知集合U={1,2,3,4},A={1,3,B={1,3,4},则AU(CB)= 算括号内的，再按照从 题型三与补集相关的参数值的求解 左到右的顺序进行 例3已知全集U=R,设集合A=x+m≥01，B=-2<<4. 计算 CuA={xlx<-m},借助 (1)若(CuA)∩B=②，求实数m的取值范围；数抽分析CA与B的关 [方法总结3] (2)若CA)门B,求实数m的取值范围秀做布移主m的取位 由集合的补集求解参 数的方法 [方法总结3] 1.若集合中元素个数 有限时，可利用补集 定义并结合集合知识 求解； 2.若集合中元素有无 限个时，一般利用数 轴分析法求解」 〉跟踪训练3 (1)设全集U={2,3,a2+2a-3},A={12a-11,2},CA={5},则实数a的值为 (2)设U=R,A={x|a≤x≤b},若A={xlx<3或x>4},则a+b= 014 随堂检测 重反馈 1.已知全集U={0,1,2},且CA={2},则A= A.0 B.{1 c.0 D.{0,1} 2.已知全集U=R,集合A={yly=x2+3,xeR},B={x-2<x<4,则图中阴U 影部分表示的集合为 ( A.{xl-2≤x≤3} B.{xl-2<x<3 C.{x|-2<x≤3} D.{xl-2≤x<3 3.(2022·北京卷改编)已知全集U={x1-3<x<3},集合A={x1-2<x≤1}， 则CA= A.{xl-2<x≤1} B.{x-3<x<-2或1≤x<3 C.{xl-2≤x<1 D.{x|-3<x≤-2或1<x<3} 4.设全集U={n∈NI1≤n≤10，A={1,2,3,5,8,B={1,3,5,7,9,则(CmA)∩B= 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[5] 1.4充分条件与必要条件 新课程标准解读 学科核心素养 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系 1.4.1 充分条件与必要条件 教材梳理明要点 P情境导入 在右图所示电路图中，闭合开关K,与 [提示1] 灯泡L亮是有关系的.甲图中K闭合时，灯 K 若开关K,闭合，则灯 泡L一定亮，但灯泡L亮时K不一定闭合； 泡L亮. 乙图中K闭合时，灯泡L不一定亮，但灯泡 甲 [提示2] 亮时K一定闭合 数学中常用充分条 问题： 件、必要条件和充要 1.把K闭合作为条件，灯泡L亮看作结论，如何用命题的形式表示出 条件来刻画条件与结 来呢？ 论的不同关系 2.在数学中如何描述条件与结论的这种不同关系呢？ P[提示]1.3集合的基本运算 第1课时并集与交集 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 或并集AUBA并B{xlx∈A,或x∈B 知识点二 且交集A∩BA交B xlx∈A,且x∈B 预习自测 1.DMUN={0,1,2}U{2,4}=0,1,2,4}. 2.DB={xlx3=x}={0,-1,1},故AnB={0,1},故选D. 题型探究提技能 例1：(1)A={-1,2},B={x1x2-2x=0}={0,2},AUB= -1,0,2}. (2)在数轴上表示出集合A与B,如图所示： A☐B -3 256 .AUB={x|-3<x≤5}Ux|2<x≤6}={xI-3<x≤6} 跟踪训练1：(1)B(2)C 【解析】(1)因为A=1,2,3},B=0,1,2,所以AUB={0 1,2,3}.故选B. (2)因为集合A=xI1≤x≤3}，B={xI2<x<4},所以AUB= {x|1≤x<4{.故选C. 例2：(1)D（2)D 【解析】(1)因为M=xl2x-1>5={xlx>3;,所以M∩N= O,故选D. (2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B={x|-2≤x <-1},故选D. 跟踪训练2：(1)A(2)A 【解析】(1)首先解集合B中的方程E=x(需满足x≥0)： x=x→x(x-1)=0=→x=0或x=1,所以B=0,1}.求交集得： A∩B={0,1,3,6,9}∩0,1}=0,1}.故选A (2)A=xlx<2},B={x0<x≤3}，.A∩B=x10<x<2}.故 选A. 例3：(1)由MUN=M得NCM,当N=0时，2t+1≤2-t,即t≤ ,此时MUN=M成立. 1 当N≠⑦时，由数轴可得 r2-t<2t+1, 2-121+1 2t+1≤5. 2-t≥-2， 解得写≤2综上可知，实数：的取值范周是1≤2。 (2)由x2-2x=0,得x=0或x=2..A=0,2}. ①.A∩B=B,.BCA,即B=☑，0}，2}，{0,2} 当B=☑时，A=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴.a<0: 当B={0}时， a2-a=0，六a=0: l4=4a=0, 当B={2}时， 4-4a+a2-a=0,无解： l4=4a=0 r2a=2, 当B={02}时. △=4a>0,得a=1.综上所述，得a的取值范 a2-a=0, 围是ala=1或a≤0}. 3 ②.AUB=B,.ACB. A={0,2},而B中方程至多有两个根，.A=B,由①知a=1. 跟踪训练3：(1)O因为AnB=⑦，所以a≥-：解得-1≤4≤ 1a+3≤5. 2.所以a的取值范围为al-1≤a≤2}. ②因为AUB=B,所以ACB,所以a>5或a+3<-1, 即a的取值范围为{ala>5或a<-4}. (2)①由题意得M=2}. 当m=2时，N={xlx2-3x+2=0}=1,2}, .M∩W=2},MUN={1,2}. ②：MnN=M,.M≤N,M={2},.2eN, .∴.2是关于x的方程x2-3x+m=0的解，即4-6+m=0,解得m=2 随堂检测重反馈 1.A因为集合A=-1,0,1,2},集合B={xI-2<x≤1}，所以 A∩B=-1,0,1}.故选A. 2.C图中阴影表示AUB,又因为A=2,4,6},B={1,3,6},所 以AUB={1,2,3,4,6},故选C. 3.R{x1-1<x≤1，或4≤x<5}借助数轴 可知： AUB=R,A∩B={x|-1<x≤1，或4≤x<5}. 4.ala≥2}.A={xlx>a},B=xIx>2},又AUB=B,..A≤ B.∴.a≥2 第2课时补集及综合运用 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 所有全集U 知识点二 不属于相对于C:A{xlx∈U,且x度A}OAU 预习自测 1.D由A={1,3},B=2,3,5},则AUB={1,2,3,5},集合U= {1,2,3,4,5},故C(AUB)={4},故选D. 2.BA=xlx<-5或x>7},.CRA={xl-5≤x≤7}，故选B. 题型探究提技能 例1：(1){2,3,5,7}(2){x4≤x≤5，xeR 【解析】(1)A={1,3,5,7,CA={2,4,6},U=(CA)》 UA={1,2,3,4,5,6,7}.又CuB={1,4,6,B={2,3,5,7. (2)根据补集的含义知[rA={x4≤x≤5，x∈R}. 跟踪训练1：(1)C(2){x10<x<2,或x≥6} 【解析】(1)因为U={1,2,3,4,5,6,7,8,所以CuA=2,4, 6,7,8},C。A中的元素个数为5，故选C. (2)如图，分别在数轴上表示两集合，则由 补集的定义可知，CA={xl0Kx<2,或x≥6{. 例2：如图1，由图可得A={xlx≤-2，或3≤x≤4. 如图2，由图可得CB={xlx<-3,或2<x≤4. 如图3，由图可得A∩B={xI-2<x≤2}，.(CA)UB= {xlx≤2或3≤x≤4}， A∩(CB)=xI2<x<3}. U A -3-2-101234 -3-2-101234 图1 图2 6 -3-2-101234 图3 跟踪训练2：(1)B(2){1,2,3 【解析】（1)U=R,B={xlx>1},.CB={xlx≤1.又A= xlx>0,∴.A∩(CB)={xI0<x≤1}. (2)CB={2},AU(CB)={1,2,3} 例3：(1)由已知A={xlx≥-m},得A=xx<-m, 因为B=xI-2<x<4},(CuA)nB=☑， 在数轴上表示，如右图， CuA B 所以-m≤-2，即m≥2 -m-2024x 所以m的取值范围是{mlm≥2}. (2)由已知得A=xlx≥-m},所以心A=xlx<-m}, 又(CA)∩B≠☑，所以-m>-2,解得m<2 所以m的取值范围是{mlm<2}. 跟踪训练3：(1)2(2)7 【解析】(1)CuA={5},5eU,且5A.a2+2a-3=5 解得a=2或a=-4.当a=2时，12a-11=3≠5，此时A={3, 2,U=2,3,5},符合题意.当a=-4时，12a-1|=9,此时A= {9,2,U=2,3,5},不满足条件A=5},故a=-4舍去.综 上知a=2. (2)U=R,A=xla≤x≤b},∴.CA=xlx<a或x>b}.又 CA={xlx<3或x>4},.a=3,b=4,a+b=7. 随堂检测重反馈 1.DU={0,1,2},CA={2},∴.A={0,1},故选D. 2.By=x2+3≥3，所以A=yly≥3}，阴影部分表示集合为 (CuA)nB,Cu A=yly<3,(Cu A)nB=x1-2<x<3. 选B. 3.D由补集定义可知：CA=xI-3<x≤-2或1<x<3},故选D. 4.{7,9}由题意，得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故CmA= 4,6,7,9,10},所以(CuA)nB=7,9. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.真假命题2.真命题假命题3.条件结论 知识点二 p→qp中g充分必要充分必要 预习自测 1.AB当“若P,则g”形式的命题为真命题时，9是p的必要条 件.因为选项A,B中的命题是真命题，选项C,D中的命题是 假命题.故选AB. 2.充分由x≥2能推出x≥1，所以“x≥2”是“x≥1”的充分 条件. 题型探究提技能 例1：(1)集合x∈QI0<x<5}是由大于0且小于5的有理数构 成的集合， 所以p→q,所以p是g的充分条件 (2)p→9，所以p是9的充分条件. (3)若1xl=lyl,则x=y或x=-y,所以p台q,所以p不是q 的充分条件 (4)由∠A1=∠A2=30°，BC1=B2C2=2,A1B1=A2B2=2知 ∠B1=∠B,=120°， 所以△AB,C1和△A,B2C2全等，所以P→9，所以p是q的充 分条件. 跟踪训练1：(1)方法一：由x>1台x>2,所以p不是g的充分 条件. 方法二：设集合A={xlx>1},B={xx>2}, 所以B二A,所以P不是9的充分条件. (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题」 所以p→g,所以p是g的充分条件. (3)若整数a能被4整除，则a是偶数 所以a的个位数字为偶数： 所以p→g,所以卫是q的充分条件. (4)因为(x-1)+(y-2)2=0台x=1且y=2→(x-1)·(y-2) =0, 所以p→q,所以p是q的充分条件。 例2：(1)因为当1x1>2时，x>2或x<-2,所以p≠q,所以q不是 p的必要条件 (2)因为对顶角相等，所以p→q,所以q是p的必要条件. (3)因为1≠3,5≠3但是1+5=3+3，所以p台q,所以q不是 p的必要条件. (4)因为正方形的四条边相等，所以p→q,所以q是p的必要 条件. 跟踪训练2：(1)1的平方根是±1，所以pg,所以g不是p的 必要条件 (2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2，所以m=±12，所以p台q, 所以g不是p的必要条件. (3)因为无理数是无限不循环小数，所以p→q,所以q是p的 必要条件. (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等， 所以p→q,所以9是p的必要条件. 例3：(1)A (2)四边形ABCD的两组对边分别平行（答案不唯一） 【解析】(1)若a=0,则A={2,3,0,B=0,b,满足A∩B≠ ☑，所以充分性成立；若A∩B≠☑，当a=1时也满足条件，因 此必要性不成立；所以“a=0”是“A∩B≠☑”的充分不必要条 件.故选A. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的两组对边 分别平行，即“四边形ABCD是矩形”能推出“四边形ABCD的 两组对边分别平行”，所以“四边形ABCD的两组对边分别平 行”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件. 跟踪训练3：(1)BD(2)a>3(答案不唯一)a>-1(答案不唯 【解析】(1)lxl=x的解为x≥0，设A={xlx≥0，B={xlx≥ 0或x≤-1}，A二B,所以x≥0或x≤-1是使Ix|=x成立的一 个必要条件，同理x≥-1也是使x=x成立的一个必要条件. (2)因为一元二次方程x-ax+1=0有两个正实数根，所以 A=a-4≥0，解得a≥2.故一元二次方程-a+1=0有两个 lx1+x2=a>0, 正实数根的一个充分条件可以为a>3;一元二次方程x2-ax+ 1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为>-1. 例4：(1)p:3a<x<a,a<0,即集合A=xl3a<x<a,a<0} q:-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3}.因为p→q,所以 A≤B, r3a≥-2， 所以{a≤3， 2 →-3≤a<0,所以a的取值范围是 a<0 2 14-3sa<0 (2)因为“xeP”是“xeQ”的必要条件，所以QCP, 所以a-4≤！即≤5，所以-1≤a≤5. 1a+4≥3， a≥-1， 即a的取值范围为al-1≤a≤5}. 跟踪训练4：(1)由已知条件知{xlx<m}C{xx>2或x<1}, 所以m≤1.所以m的取值范围是{mlm≤1}. (2)由已知条件得{xlx>a}二xlx<-3,或x>1},所以a≥1. 所以a的取值范围是{ala≥1}. 2