第二章 一元二次函数、方程和不等式（6考点+7易错+易错训练）（知识清单）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学知识清单系统梳理了“一元二次函数、方程和不等式”单元内容，涵盖不等关系、比较大小、不等式性质、基本不等式、一元二次函数与不等式等核心范畴，搭建了从概念理解到性质应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过“知识点分级呈现+易错点专项突破”构建知识体系，如将不等式性质按基本与拓展分类，标注“忽略基本不等式成立条件”等7个易错点并配对点训练，培养学生的数学思维与应用意识。设计“性质对比表”“最值条件总结”等实用工具，不同层次学生可高效掌握要点，教师能据此优化教学，提升复习针对性。

第二章 一元二次函数、方程和不等式 知识点一 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个 ，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的 ，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点二 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是 ，那么a>b；如果a-b等于 ，那么a＝b；如果a-b是 ，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与 的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点三 不等式的性质 1.基本性质 性质1　传递性：a＞b，b＞c⇒ ； 性质2　可加性：a＞b⇔a＋c＞ ； 性质3　可乘性：a＞b，c＞0⇒ ；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； 性质4　同向可加性：a＞b，c＞d⇒ ； 性质5　同向同正可乘性： (1)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ ； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ ； (3)同正可乘方性：a＞b＞0⇒ (n∈N＋，n≥2)； 性质6　同正可开方性：a＞b＞0⇒ (n∈N＋，n≥2). 2．拓展性质 (1)倒数法则：若ab＞0，且a＞b⇔＜. (2)糖水不等式：若a＞b＞0，m＞0⇒＜；若b＞a＞0，m＞0⇒＞. 知识点四 基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 不等式 a2+b2≥ (a,b∈R) 当且仅当“ ”时取“=” 不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“ ”时取“=” 叫做正数a，b的 平均数，叫做正数a，b的 平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 【注意】“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 3．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 【注意】从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“ ”． 知识点五 一元二次函数及其图象与性质 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 . (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 知识点六 一元二次不等式 1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的概念 一般地，形如 ，或 ，或 ，或 (其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. (2)使一元二次不等式成立的 组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 2.三个二次之间的关系 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＞0的解集 R ax2＋bx＋c＜0的解集 易错点1 忽略不等式成立的条件 易错提醒 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件; 2．不等式的性质有些是单向不可逆的，有些是双向可逆的，要注意区别. 3．特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【对点训练1】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围 易错提醒 1．在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围. 2．为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【对点训练2】（25-26高一上·江西南昌二中月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错点3 忽略基本不等式成立的条件 易错提醒 利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可. 【对点训练3】（多选）（25-26高一上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 易错点4 忽略方程、不等式的二次项系数为0 易错提醒 1． 求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论， 2．同时要注意三个二次的关系的运用. 【对点训练4】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 易错点5 分式不等式等价转化不当 易错提醒 1．求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式. 2．转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【对点训练5】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 易错点6 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错 易错提醒 1．对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 2．解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题． 【对点训练6】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为 易错点7 解含参不等式讨论不全致错 易错提醒 在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误： 1． 分析二次项系数是否需要讨论； 2． 分析方程根的存在型是否需要讨论； 3． 分析根的大小关系是否需要讨论. 【对点训练7】（25-26高三上·宁夏中卫·月考节选）关于的不等式：； （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 1、 单选题 1．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷）若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（2027年高考数学一轮复习检测卷）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3.（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·全国·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 二、多选题 11．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（25-26高一上·河南·阶段检测）若且，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 三、填空题 14．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）不等式的解集为________. 15．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 16．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 17．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 四、解答题 18．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足不等式，解关于的不等式． 19．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 20．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 知识点一 不等关系 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 知识点二 比较大小 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 知识点三 不等式的性质 1.基本性质 性质1　传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c； 性质2　可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c； 性质3　可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc； 性质4　同向可加性：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d； 性质5　同向同正可乘性： (1)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＜bd； (3)同正可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N＋，n≥2)； 性质6　同正可开方性：a＞b＞0⇒＞(n∈N＋，n≥2). 2．拓展性质 (1)倒数法则：若ab＞0，且a＞b⇔＜. (2)糖水不等式：若a＞b＞0，m＞0⇒＜；若b＞a＞0，m＞0⇒＞. 知识点四 基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 【注意】“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 3．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 【注意】从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 知识点五 一元二次函数及其图象与性质 1.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点. 2.二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x＝－ 顶点坐标 知识点六 一元二次不等式 1.一元二次不等式 (1)一元二次不等式的概念 一般地，形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中，x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. (2)使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 2.三个二次之间的关系 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 ax2＋bx＋c＞0的解集 {x｜x＜x1，或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0的解集 {x｜x1＜x＜x2} ⌀ ⌀ 易错点1 忽略不等式成立的条件 易错提醒 1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件; 2．不等式的性质有些是单向不可逆的，有些是双向可逆的，要注意区别. 3．特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【对点训练1】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）若，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以（易错点）， 两个正数，大的正数倒数反而小 因为，所以，A错误； ， 因为，所以，则， （易错点），B错误； 此不等式实质就是糖水不等式 因为，所以（易错点），C错误； 倒数法则的应用，注意取倒数后不等号方向改变 因为且，所以（易错点）， 注意a为正数，故两边同乘以a不等号方向不变 则，即，所以，D正确. 故选：D 易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围 易错提醒 1．在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围. 2．为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【对点训练2】（25-26高一上·江西南昌二中月考）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设（易错点）； 利用待定系数法将所求代数式用两个已知式表示，从而避免了多次运用不等式性质放缩导致范围扩大化 则解得 所以. 因为，所以 又， 两式相加得， 即. 易错点3 忽略基本不等式成立的条件 易错提醒 利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”，这三个条件缺一不可. 【对点训练3】（多选）（25-26高一上·江苏·阶段练习）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，x可以取负数，故无最小值（易错点）， 不能用基本不等式求此函数的最值，因为x与可能为负数 故A错误； 对于B，因为，则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为4，故B正确； 对于C，因为，则， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为4，故C正确； 对于D,因为，则， 当且仅当，即时等号成立（易错点）， 不能用基本不等式求最值，因为等号取不到 但，所以的最小值不为4，故D错误. 故选BC. 易错点4 忽略方程、不等式的二次项系数为0 易错提醒 1．求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论， 2．同时要注意三个二次的关系的运用. 【对点训练4】（24-25高一上·江苏淮安·阶段检测）已知实数，则不等式的解集不可能是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分、、三种情况讨论计算，分别求出不等式的解集，即可判断. 【详解】由， 当时，不等式即为，解得，（易错点） 本题容易受思维定势影响，忽视a=0这一种情形 即不等式的解集为； 当时，解方程得， 则当时，，函数开口向上， 故不等式的解集为； 当时，，函数开口向下，（易错点） 注意a<0时，小于0的不等式解集找的是相应方程两根的两边 所以不等式的解集为或. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或， 所以不等式的解集不可能是选项D对应的解集. 故选：D. 易错点5 分式不等式等价转化不当 易错提醒 1．求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式. 2．转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【对点训练5】（2026高一·全国·专题练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由（易错点） 分式不等式不能直接去分母，因为分母的正负不定，而应先移项，使右边为0 即，（易错点） 转化为整式不等式后要注意不要遗漏分母不为0这一条件 解得：， 所以不等式的解集为：. 易错点6 一元二次不等式恒成立问题混淆范围致错 易错提醒 1．对于一元二次型不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方. 2．解决一元二次不等式中的恒成立、能成立问题常常转化为求二次函数的最值或分离参数后求最值的方法解决问题． 【对点训练6】（25-26高三上·云南昆明·期中）若函数在上恒成立，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】令，，， 可转化为对恒成立（易错点）， 换元后要注意新元的取值范围与旧元的范围不同 又开口向上，且对称轴为， ， 函数在上恒成立，即（易错点）， 本题容易错求成 ，解得. 实数的取值范围为. 易错点7 解含参不等式讨论不全致错 易错提醒 在求解过程紧抓三点就可以有效的避免失误： 1． 分析二次项系数是否需要讨论； 2． 分析方程根的存在型是否需要讨论； 3． 分析根的大小关系是否需要讨论. 【对点训练7】（25-26高三上·宁夏中卫·月考节选）关于的不等式：； （1）当时，解不等式； （2）当时，解不等式. 【详解】（1）当时，，即，解得， 所以原不等式的解集为； （2）当时，原不等式可化为， 若，不等式为，解得（易错点）； 讨论不全，漏掉a=0这一种情形 若，令，解得或， 当时，则，解得或； 当时，则， 若，则，解得； 若，原不等式为，解得（易错点）；； 讨论不全，漏掉a=0这一种情形 若，则，解得； 综上所述，若，不等式解集为； 若时，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 1、 单选题 1．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷）若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．（2027年高考数学一轮复习检测卷）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由不等式，即， 则，解得，即， 所以不等式的解集为． 3.（25-26高一上·内蒙古锡林郭勒·期末）已知，，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质依次讨论各选项即可得出判断. 【解答过程】因为，， 所以，，， ， 故A选项错误，C选项正确； 所以，，故BD选项错误； 故选：C. 4．（25-26高二下·北京丰台·期末）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】 由可得，，满足基本不等式的使用前提： 充分性验证： 若，根据基本不等式，对任意正数有，当且仅当时等号成立. 令，则，等号成立当且仅当，整理得，结合得. 因，故等号取不到，因此，充分性成立. 必要性验证： 若，说明上述基本不等式的等号不成立，因此等号成立的条件不满足，即，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 5．（2026·全国·模拟预测）不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，可得， 即，解得或， 当时，可得， 即，解得或， 综上可得，不等式的解集为. 6．（25-26高二下·吉林长春·期末）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由“，使得”是假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足, 综上，，则实数m的取值范围是. 7（25-26高二下·山东青岛·期末）不等式对一切实数x都成立，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，时直接验证不等式成立，时利用一元二次不等式恒成立的条件求解，最终合并得到的取值范围. 【详解】分两种情况进行讨论： 当时，原不等式化为，该式对任意实数恒成立，符合题意； 当时，原不等式为关于的一元二次不等式，若要对一切实数恒成立，需同时满足： （1）二次项系数小于0，即，解得； （2）判别式，代入系数得，解不等式得； 综上所述，的取值范围为. 8．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的解集为，所以，方程的两个根分别为， 所以，，即，， 所以不等式为， 因为，得，解得． 9．（25-26高一上·上海·开学考试）二次函数的图象如图所示，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点位置以及特殊点的函数值，逐一判断各选项的正误. 【详解】由二次函数的图象可知： 图象开口向下，故； 图象与轴交于负半轴，故. 所以，故选项A错误； 图象的对称轴在轴右侧，即. 因为，所以，从而. 所以，故选项B错误； 由上述分析知，所以. 又因为， 所以，所以C正确； 当时，. 由图象可知，当时，. 因为对称轴在轴右侧，抛物线在对称轴左侧单调递增， 所以当时，函数值小于时的函数值， 即，所以，所以D错误. 10．（2026高三·全国·专题练习）已知，，都是正数，则三数，，（   ） A．都大于2 B．都小于2 C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2 【答案】D 【分析】将，，三数相加，借助于基本不等式即可说明. 【详解】因都是正数， 由， 当且仅当时，等号成立， 所以，，至少有一个不小于2. 二、多选题 11．（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知a，b，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】本题考查不等式的基本性质与幂函数单调性的应用，需结合性质或反例逐项判断命题正误。 【详解】选项A：举反例，取，，满足，但，因此A错误； 选项B：因为，且，所以，即，因此B正确； 选项C：函数在上单调递增，若，则必有，也可作差验证：，因此C正确； 选项D：由得，两边同乘负数时不等号方向改变，得，举反例：，，因此D错误. 12．（25-26高一上·河南·阶段检测）若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对A，由及判断；对B，由判断；对C：由判断；对D，取判断. 【详解】对于A：因为，所以，又， 所以，A正确； 对于B：因为，B正确； 对于C：，C正确； 对于D：令，则， 不满足，D错误. 故选：ABC. 13．（多选）（25-26高二下·江苏徐州·期末）已知，为正实数，，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】将题设条件拼凑分解成，代入消元后利用二次函数单调性即可判断A项；设，利用结合基本不等式计算可逐一判断B，C，D. 【详解】由可得. 对于A，，则当时，取得最小值，故A正确； 对于B，在中，不妨设，则，且， 于是，，因， 当且仅当，即时取等，则有，故B错误； 对于C，由B项，，当且仅当， 即时取等，即的最小值为14，故C错误； 对于D，由B项，，当且仅当，即时取等， 即的最小值为，故D正确. 三、填空题 14．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）不等式的解集为________. 【答案】 【详解】要使分式有意义，需满足分母不为0，即， 对任意，恒有，当且仅当时等号成立， 所以不等式的解等价于， 即，解得：或， 所以不等式的解集为：. 15．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． 16．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 17．（25-26高一下·辽宁盘锦·开学考试）记表示中最大的数，已知，则的最小值为______. 【答案】 【详解】由，所以中一个为正，两个为负， 不妨设，所以， 又， 当且仅当即时等号成立， 所以，所以，所以， 所以的最小值为. 四、解答题 18．（2026高三·全国·专题练习）已知实数满足不等式，解关于的不等式． 【分析】先求解不等式得的范围，再通过比较方程的两根大小，求得不等式的解集. 【详解】由得， ， ∴对不等式， ①当，即时，或； ②当，即时，且； ③当，即时，或． 综上，当时，解集为或； 当时，解集为且； 当时，解集为或． 19．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知关于x的不等式的解集是M. (1)若，求解集M； (2)若，解关于x的不等式. 【分析】（1）把代入，解二次不等式可求； （2）由二次不等式的解集与二次方程的根的关系可先求出，然后解分式不等式即可求解． 【详解】（1）若，， 方程的根为， 所以，解得或， 故或； （2）因为不等式的解集， 所以的一个解为， 所以，解得， 此时的解集为，满足题意. 不等式即， 等价于，解得， 故不等式的解集为． 20．（25-26高一下·福建福州·阶段检测）已知函数 (1)若的解集为，求实数a，c的值； (2)若，求不等式的解集； (3)若且，求的最小值． 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【详解】（1）由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； （2）若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为R， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为R； （3）因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $