第1章 集合与常用逻辑用语章末复习与总结-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

。029 章末复习与总结 知识体系构建 常用逻辑用语 集合 全 运 venn图 表 存在量词习 量词 要 分 条 条 念 件 补 法 集 集 集 P 包含关系 描 列 自然 元素性 存在量词命 全称量词命 P是9的充要条 是 9的 法 法 语 相 真 确 集 要 分 等 异性 题 集 性 性 件 件 件 全称（存在）量 词命题的否定 p>9 9->p P>9 核心考点培优 考点一 集合的基本概念 例1.(1)已知集合4=0,1,2，则集合B=a1a=y,xeA,yE4中元素 [方法总结1] 求解与集合中元素有 的个数是 ( 关问题的注意点 A.1 B.3 C.5 D.9 /.集合中元素的互异 性对解题结果的影响 (2)已知集合M={a,2a-1,2a2-1},若1eM,则M中所有元素之和为 较大，特别是含有字 ( ) 母的集合，在求出字 母的值后，要注意检 A.3 B.1 C.-3 D.-1 验集合中的元素是否 满足互异性， P[方法总结1] 2.用描述法表示集 合，首先要搞清楚集 考点二 集合间的关系 合中代表元素的含 义，再看元素的限制 例2(1)卫知集合1淌足1C1C1,2,3,4,这样的集合A有 条件，明白集合的类 型，是数集、点集还 个 ( 是其他类型的集合 A.5 B.6 C.7 D.8 [方法总结2] 破解集合间基本关系 (2)已知集合A={xlx≥4或x<-5},B={xa+1≤x≤a+3},若BCA, 的方法 1.若BCA,应分B=☑ 则实数a的取值范围为 [方法总结2] 和B≠☑两种情况 讨论； 考点三集合的运算 2.已知两个集合间的 关系求参数时，关键 例3(1)已知集合，1，B之间的关系如图所示，则。 是将两个集合间的关 0.4,7,8 系转化为元素或区间 (CB)∩A= B 端点间的关系，进而 A.{3} B.{0,1,2,4,7,8 1.2 5.6 转化为参数满足的关 系解决这类问题常常 C.{1,2 D.{1,2,3 要合理利用数轴、 Venn图，化抽象为直 观进行求解」 030 (2)已知集合A={1,3,√m},B={1,m},AUB=A,则m等于() [方法总结3] A.0或√3 B.0或3 C.1或3 D.1或3 在进行集合的交集、 并集、补集运算时， ·[方法总结3] 借助数轴（或Venn图） 分析，能将复来问题 考点四充分条件与必要条件 直观化，从而使问题 变得简单，是数形结 4.(1)已知集合P={xla+1≤x≤2a+1,aeR,Q={xl-2≤x≤5}.若 合思想具体应用之一 “x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 在具体应用时要注意 (2)设全集U=R,集合A={xI1≤x<5},非空集合B={xI2≤x≤1+ 端点值是否符合题 意，以免增解或漏解。 2a},其中a∈R.若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数a的取 值范围。 P[方法总结4] [方法总结4] 充分、必要、充要条 件的常用判断方法 .定义法：直接判断 “若p,则9”，“若 9,则p”的真假. 2.利用集合间的包含 关系判断：设命题P 对应的集合为A,命题 9对应的集合为B,若 ACB,则p是9的充分 条件或9是p的必要条 件；若AB,则p是9 的充分不必要条件或9 是P的必要不充分条 件；若A=B,则p是9 的充要条件 考点五全称量词命题与存在量词命题 [方法总结5] 例 5.(1)命题“Hx≤2，x2+2x-8>0”的否定是 全称量词命题与存在 A.]x≤2，x2+2x-8≤0 B.Hx>2,x2+2x-8>0 量词命题问题的两种 题型 C.3x≤2，x2+2x-8>0 D.3x>2,x2+2x-8>0 /.对含有量词的命题 (2)若命题“Hx∈R,都有mx2+4x-1≠0”为假命题，则实数m的取值 进行否定，一要改变 量词，二要否定结论； 范围为 () 2.根据全称量词命题 A.{ml-4<m<0 B.mlm>0 和存在量词命题的真 假求参数的取值范 C.{mlm≥-4} D.{ml-4≤m≤0} 围，一般把问题转化 为函数、不等式或集 [方法总结5] 合问题解决 素养等级测评 请同学们认真完成考案（一）章末复习与总结 例1：(1)C(2)C 【解析】（1)①当x=0时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为0， -1,-2:②当x=1时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为1,0，-1； ③当x=2时，y=0,1,2,此时x-y的值分别为2,1,0.所以B= {-2,-1,0,1,2},故选C (2)若a=1,则2a-1=1,矛盾；若2a-1=1,则a=1,矛盾，故 2a2-1=1,解得a=1(舍)或a=-1,故M={-1,-3,1},M中所 有元素之和为-3，故选C. 例2：(1)D(2){ala<-8或a≥3} 【解析】（1)由题意得集合A=1},1,2,{1,3},1,4}, {1,2,3},{1,2,4,{1,3,4},1,2,3,4.故选D. (2)用数轴表示两集合的位置关系，如图所示， B□A A a+1a+3-5 04 A B 或 -504a+1a+3 要使BCA,只需a+3<-5或a+1≥4，解得a<-8或a≥3.所以 实数a的取值范围为ala<-8或a≥3} 例3：(1)C(2)B 【解析】(1)由题图所示，U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,A={1, 2,3,B=3,5,6,所以B={0,1,2,4,7,8,(CwB)∩A={1, 2.故选C (2)由AUB=A知BCA,所以m=3或m=m.当m=3时，A ={1,3,3},B={1,3},满足AUB=A:若m=√m,则m=1或 0.当m=1时，√m=1,不合题意，舍去，当m=0时，A={1,3 0},B=1,0},满足AUB=A 例4：(1)由题意得P是Q的真子集，当P是空集时，满足P车Q, 即a+1>2a+1,解得a<0: ra≥0 当P是非空集合时，要使PQ,则{a+1≥-2，且a+1=-2与 2a+1≤5， 2a+1=5不同时成立， 解得0≤a≤2，故a的取值范围是{ala≤2. (2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，则BCA, 又集合县为丰空集合放有解得时<2。 所以a的取值范围a 1 2≤a<2 例5：(1)A(2)C 【解析】(1)命题“Hx≤2，x2+2x-8>0”的否定是：3x≤2，x2 +2x-8≤0.故选A. (2)由题意得“3x∈R,使得mx+4x-1=0”是真命题，当m= 0,=号符合题意；当m≠0，只要4=16+4m≥0即可，解得m ≥-4且m≠0.综上：实数m的取值范围是{mlm≥-4}. 第二章一元二次函数、方程和不等式 2.1等式性质与不等式性质 第1课时不等式关系与比较大小 教材梳理明要点 新知初探 知识点 不等号的式子 知识点二 a>b a>b a=b a=b a<b a<b 3 知识点三 ≥a=b 预习自测 1.(1)V(2)V(3)×(4)V 【解析】(1)不等式x≥2表示x>2或x=2,即x不小于2. (2)若x2=0,则x=0,所以x≥0成立. (3)若x-1≤0，则x<1或者x=1,即x≤1. (4)任意两数之间，有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一 种，没有其他大小关系. 2.>因为(a2-ab)-(ba-b2)=(a-b)2,又a>b,所以(a-b)2>0. 3.x2+4>4x方法一：x2+4-4x=(x-2)2,而x≠2，所以(x-2)2> 0,所以x2+4-4x>0,所以x2+4>4x. 方法二：由重要不等式可知x2+4≥4x,当且仅当x=2时等号 成立，又x≠2，所以x2+4>4x 题型探究提技能 例1：设复兴号列车速度为”，km/h,民航飞机的最低速度为 2km/h,普通客车速度为，km/h. 1、2的关系：21+100≤2,1"3的关系：1>33 跟踪训练1：由于矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m, 所以0<x≤18， 这时案园的另一条边长为92-(15-）m) 因此菜园面积5s=·（15-交），依题意有S≥10， 即x(15-之）≥10. 故该题中的不等关系可用不等式组表示 r0<x≤18. 为(15）≥1a 例2：.：(x3-1)-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1 =(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2 =(0-x*1)=(x-1[(-2）+] 1123 (x2）+4>0,-1k0, -[0）引<0-12-2a 跟踪训练2：.5x2+y+z2-(2xy+4x+2z-2)》 =4x2-4x+1+x2-2xy+y2+2-2z+1 =(2x-1)2+(x-y)2+(z-1)2≥0， .5x2+y2+z2≥2y+4x+2z-2, 当且仅当x=y=2且=1时取等号. 例3：证法一：利用a2+b2≥2ab. 262 当且仅当6=二即a=1时，等号成立.a+1≥2 证法二a+12=(a)2+ a+1≥2 a 跟踪训练3：因为a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0. 当且仅当a=b时，等号成立，所以a2+3b2≥2b(a+b). 随堂检测重反馈 1.CA应为x≤2000：B应为x<y;D应为y≤a,故选C 2.Ca-b=3x2-x+1-(2x2+x)=x2-2x+1=(x-1)2≥0，.a-b≥0 即a≥b,故选C. 3.D“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴.x≥ 95,y>380,z>45. 4.10y+x>70该两位数可表示为10y+x,∴.10y+x>70.