1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

●025 1.5.2全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理明要点 ●情境导入 “3+2=5”是可以判断真假的陈述句，是命题，是真命题；它的否定是 “3+2≠5”，是假命题.那么含有量词的命题“Hx∈R,x+1≥0”如何否定 呢？ P[提示] [提示] ]x∈Rx+1<0 台新知初探 知识点一 全称量词命题的否定 1.对于含有一个量词的全称量词命题的否定，有下面的结论： 全称量词命题：Hx∈M,p(x),它的否定： 也就是说，全 称量词命题的否定是存在量词命题 2.常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 [知识点反思] 一般命题的否定通常 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 是在条件成立的前提 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 下否定其结论，得到 任意的 某个 能 不能 真假性完全相反的两 个命题；含有一个量 所有的 某些 等于 不等于 词的命题的否定，是 在否定结论p(x)的同 知识点二存在量词命题的否定 时，改变量词的属 对于含有一个量词的存在量词命题的否定，有下面的结论： 性，即将全称量词改 存在量词命题：x∈M,p(x),它的否定： 也就是说， 为存在量词，存在量 词改为全称量词.一个 存在量词命题的否定是全称量词命题. [知识点反思] 命题和它的否定不能 同时为真，也不能同 自预习自测 时为假，只能一真 1.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 假. 2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是 A.任意一个有理数，它的平方是有理数 B.任意一个无理数，它的平方不是有理数 C.存在一个有理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 026 题型探究提技能 题型一 全称量词命题的否定 例 1.(1)命题“Vx∈R,x2>1-2x”的否定是 A.Hx∈R,x2<1-2x B.Hx∈R,x2≤1-2x [方法总结1] C.3x∈R,x2≤1-2x D.3x∈R,x2<1-2x 1.对全称量词命题否 (2)写出下列全称量词命题的否定，并判断真假： 定的两个步骤 ①任何一个平行四边形的对边都平行； ()改变量词：把全称 量词换为恰当的存在 ②Ha∈R,方程x2+ax+2=0有实数根； 量词； ③Ha,b∈R,方程ax=b都有唯一解； 2)否定结论：原命题 中的“是”“成立”等 ④可以被5整除的整数，末位是0. ●[方法总结1] 改为“不是”“不成 立”等 2.要说明一个全称量 词命题是假命题，只 需举一个反例即可， 》跟踪训练1 写出下列全称量词命题的否定： (1)Hx∈{-2，-1,0,1,2}，1x-21≥2； (2)任何一个实数除以1，仍等于这个数； (3)所有分数都是有理数； (4)任意两个等边三角形都相似： ●027 题型二 存在量词命题的否定 例21)已知命题n:31,-4k0,则p是 A.3x>1,x2-4≥0 B.3x≤1，x2-4<0 C.Hx≤1，x2-4≥0 D.Vx>1,x2-4≥0 (2)写出下列存在量词命题的否定，并判断其真假. [方法总结2] ①3x∈R,2x+1≥0； 1.对存在量词命题否 ②1xek+40: 定的两个步骤 ()改变量词：把存在 ③有些分数不是有理数. P[方法总结2] 量词换为恰当的全称 量词； (2)否定结论：原命题 中的“有”“存在”等 更改为“没有”“不存 在”等 2.要说明一个存在量 词命题是真命题，只 需要找到一个实例 即可. 〉》跟踪训练2 写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)有一个奇数不能被3整除； (2)有些三角形的三个内角都是60°； (3)3x∈R,使得|x+1|≤1； 3 (4)3xeR,x++4≤0 028 题型三根据全称量词命题、存在量词命题的否定求参数 3.已知命题p:Vx∈R,m+x2-2x+5>0,若p为假命题，求实数m的取 值范围。 [方法总结3] 等价于命题p为真命题 ◆[方法总结3] 1.命题p与p只能一 真一假，解决问题时 可以相互转化； 2.对求参数范围问 题，往往分离参数， 转化成求函数的最值 问题，如本题分离参 数后，转化成了求二 次函数的最值问题 〉】跟踪训练3 已知“彐x∈R,使得不等式x2-4x-a-1<0”不成立，则实数a的取值范围正 确的是 ( A.{ala≤-5 B.{ala≤-2 C.alax-5 D.{ala≥-5} 随堂检测 重反馈 1.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”，则p的否定是 A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根 2.命题“x∈R,x3-2x+1=0”的否定是 (） A.3x∈R,x3-2x+1≠0 B.不存在x∈R,x3-2x+1≠0 C.Hx∈R,x3-2x+1=0 D.Vx∈R,x3-2x+1≠0 3.量词“至多有一个”的否定为 4.已知命题p:3x>0,x+a-1=0,若p为假命题，则实数a的取值范围是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[9](4)命题是“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写」 故为全称量词命题 跟踪训练1：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题 (2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 命题， (3)含存在量词“有些”，故为存在量词命题 (4)可改写为：存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立.故为存 在量词命题， 例2：(1)真命题，因为2≥0，所以x2+1≥1，x+1> 2恒成立 (2)真命题，例如a=0,B=1,符合题意 (3)真命题，如数-2，-4等，既是偶数又是负数 (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长 度就不是有理数： (5)假命题，因为该方程的判别式△=-31<0，故无实数解 跟踪训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一 一对应的，所以 该命题是真命题. (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数 所以该命题是真命题， (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20成立 所以该命题是真命题 (4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题， 例3：(1)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m,因为一次函数y=x+ m的图象在x轴上方， 所以1+m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是{m1m> -1}. (2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根， 当a=0时，方程为2x-1=0,显然有实数根，满足题意： 当a≠0时，△=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. 综上知，实数a的取值范围是{ala≥-l}: 跟踪训练3：(1)C(2)m≥0 【解析】(1)依题意，方程x2-25x+m=0有实数解，则4= （-25)2-4m≥0，所以m≤3，故选C. (2)当x∈R时，x≥0，若“Vx∈R,mx2≥0”是真命题，则有m ≥0. 随堂检测重反馈 1.B 2.ABA是真命题，由x3=3得x=5,是无理数，所以选项A为 真命题；B是真命题，当x=1时，3x+1=4是整数；C是假命 题，如x=2时，x<3:D是假命题，如x=2xgZ 3.存在量词命题假命题p是存在量词命题，因为方程x2+ 2x+5=0的判别式22-4×5<0，即方程x2+2x+5=0无实根，所 以命题p是假命题 4.1①由于VxeR,都有x2≥0，因而有x2+2≥2>0，即x2+2> 0,所以命题“Hx∈R,x2+2>0”是真命题.②油于0EN,当x= 0时，x4≥1不成立，所以命题“Hx∈N,x4≥1”是假命题.③ 当x=y=0时，x2+y2=0,所以③是假命题. 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 3x∈M,p(x) 知识点二 Vx∈M,p(x) 预习自测 1.存在一个能被2整除的整数不是偶数原命题是全称量词命 题，其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数. 3 2.B量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定 后为“它的平方不是有理数”，故选B. 题型探究提技能 例1：(1)C（2)见解析 【解析】(1)由“全称量词命题的否定为存在量词命题”知 原命题的否定为3x∈R,x≤1-2x.故选C. (2)①该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平 行.因为平行四边形的两组对边都平行，所以这是一个假 命题. ②该命题的否定：3a∈R,方程x2+x+2=0没有实数根.当a =0时，方程x2+2=0没有实数根，所以这是一个真命题. ③该命题的否定：]a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在 当a=0,b=1,方程ax=b的解不存在，所以这是一个真命题. ④该命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位不是0：15 是可以被5整除的整数，但末位不是0.所以这是一个真 命题. 跟踪训练1：(1)该命题的否定：3x∈-2，-1,0,1,2}，1x-21 <2. (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数 (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数： (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似： 例2：(1)D(2)见解析 【解析】(1)命题p:3x>1,x2-4<0的否定是：Vx>1,x2-4≥ 0.故选D (2)①HxeR,2x+1<0,为假命题.②HxeR,r2-x+4≥0.因 1 为x+=x-)≥0，所以是真命题.③一切分数都是 有理数，是真命题 跟踪训练2：(1)该命题的否定：任意一个奇数都能被3整除.这 个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除 (2)该命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都是60°. 这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)该命题的否定：Hx∈R,有Ix+1I>1.这个命题为假命题， 如x=0时，不满足1x+11>1. 3 (4)该命题的香定：任意xR,x2++>0.因为2++ 4 11211 (x+2)+2≥2>0，这个命题是真命题 例3：因为p为假命题，所以命题p:Hx∈R,m+x2-2x+5>0为 真命题，m+x2-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,即 m>-(x-1)2-4对任意x∈R恒成立，只需m>-4即可，故实数 m的取值范围为{mlm>-4}. (说明：本题也可利用二次函数y=x2-2x+5+m的图象恒在x 轴上方，转化为对应方程△<0进行解题) 跟踪训练3：A因为“3x∈R,使得不等式x-4x-a-1<0”不成 立，则不等式x2-4x-a-1≥0对Hx∈R恒成立，等价于x∈R 时a≤(x2-4x-1)m恒成立，因为(x2-4x-1)mm=-5,∴.a≤ -5.故B、C、D不正确.故选A. 随堂检测重反馈 1.C命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即 对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根. 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A;由命题 的否定要否定结论，可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 词“V”,可排除B 3.至少有两个 4.{ala≥1}因为p为假命题，所以p为真命题，所以Hx>0: x+a-1≠0，即x≠1-a,所以1-a≤0，即a≥1.