专题03 等式与不等式的性质导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

等式与不等式的性质 专题03 等式与不等式的性质 知识点分析 新课标对知识的考查要求：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。在高考的考察中，等式性质很少单独出题，更多作为代数变形基础；不等式性质是高频基础工具题，以客观题为主，整体难度中等偏低。这一章是高中代数逻辑的起点，不是单纯背公式，核心是理解等价变形，建立严谨的代数推理习惯，为后续函数、导数、数列打基础。 题型一、不等式性质的应用 题型二、比较大小 题型三、求代数式的取值范围 题型四、不等式的综合问题 1.等式的性质 性质 文字表述 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加、减性 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加性 可逆 4 可乘性 c的符号 5 同向可加性 同向 6 正数同向可乘性 同向 7 正数乘方性 同正 3. 糖水不等式（Sugar water inequality） 是数学中一个经典的真分数不等式，源于 “往糖水中加糖，糖水变甜” 的生活常识，主要用于描述分式在分子分母同加正数时的单调性，以及溶液浓度混合后的变化规律。 ①基础形式：若，则. 解释：原糖水质量为 ，含糖 ，浓度为 ；加 m 克糖后，浓度变为，因为 ，加糖后浓度变大，故原浓度小于新浓度。 证明：通过作差法可严格证明基础形式： 由于 （即 ），且 ，故差值为正，即。 反向形式：若 ，则 ②中和不等式：若 ，且 ，则。 解释：两杯浓度不同的糖水混合，混合后的浓度介于两者之间。 ③递推形式：若 ，则 。 解释：加的糖越多，浓度越大，分数值越趋近于 1。 题型一：不等式性质的应用 题型分析：本题型核心考查等式、不等式的七条基本性质，重点关注可乘性当中字母系数 c 的正负符号、变形是否可逆；常结合多选、充分必要条件命题进行考查。 常见陷阱：①不等号两边同乘代数式时，不讨论代数式正负直接改变不等号方向；②混淆推导符号 “⇒”（单向推出）与等价符号 “⇔”（双向等价）；③同向不等式只能够相加，不能直接相减、相乘。 1.若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于，当，则，故选项错误； 对于，因为，当时，可得：，故选项错误； 对于，作差：，因为，所以，但的符号无法判断，所以选项错误； 对于，因为，由不等式的性质可得：，故选项正确， 故选：. 2.(多选)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（    ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 【答案】BCD 【解析】因为满足，且， 所以， 所以，，， 故选：BCD 3.（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】因为，所以有，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 故选：BCD． 4.已知，，则是的（    ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，， 可得，即， 可知由可以推出，则是的充分条件；例如，，可知，，满足， 但不满足，可知不是的必要条件；综上所述是的充分不必要条件。 故选：B 5.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 【答案】（1）20平方米 （2）变好了 【解析】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别为，则，所以，所以，所以.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米. （2）设和分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同），由题意得：，则. 因为，所以.又因为，所以. 因此，即. 所以窗户和地板同时增加相等的面积，住宅的采光条件变好了. 题型二：比较大小 题型分析：比较大小是不等式性质最典型应用，高频方法有作差法、作商法，也会结合糖水不等式、基本不等式简单变形来判断。①作差后不因式分解、配方，无法判断正负；②作商法忽略两个数必须都为正数的前提；③多参数比较大小时漏掉分类讨论。遇到抽象参数，也可以代入特殊值辅助排除选项。 1.已知，，，则M与的大小关系为（ ） A． B． C． D．大小关系不确定 【答案】B 【解析】，∴ 故选：B. 2.（多选）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若a，，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，，故，B正确； 对于C，若，，则，即，故C正确； 对于D，当，时，满足，但，故D不正确． 故选：ABC． 3.比较与的大小 【答案】（1）； 【解析】因为，所以， 所以①当时，，所以， ②当时，，即，所以， ③当时，，即，所以， 综上所述：当，. 4.若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＝N B．M<N C．M≤N D．M>N 【答案】　B 【解析】∵x>0，y>0，∴x＋y＋1>1＋x>0,1＋x＋y>1＋y>0， ∴<，<，故M＝＝＋<＋＝N，即M<N. 5.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？ 【解析】设寝室到教室的路程为s，步行速度为v1，跑步速度为v2， 则甲用时t1＝＋，乙用时t2＝， t1－t2＝＋－＝s＝·s＝>0， ∴甲用时多．∴乙先到达教室． 题型三：求代数式的取值范围 题型分析：已知部分变量范围，求线性组合代数式的取值范围，属于高频易错题。 核心原则：不可以单独求出每个变量范围再代入，会放大取值区间，造成范围失真；正确思路：把目标代数式用已知范围的整体线性表示，再利用同向可加性求范围。求减法范围记得先求相反数区间；求分式范围先求倒数区间。 1.已知，，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】根据题意，，，∴， 即的取值范围为． 2.已知，则的取值范围是 【答案】 【解析】因，而， 则，即，， 3.已知12<a<60,15<b<36.求a－b和的取值范围． 【答案】－24<a－b<45；<<4 【解析】∵15<b<36，∴－36<－b<－15，∴12－36<a－b<60－15，即－24<a－b<45. 又<<，∴<<，即<<4.故－24<a－b<45，<<4. 4.若，，则的取值范围是 【答案】 【解析】因为，则，所以，， 又因为，因此，. 5.若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 【答案】　－1<α－β<0 【解析】　∵－<α<，－<－β<，∴－1<α－β<1.又α<β，∴α－β<0，∴－1<α－β<0. 题型四：不等式的综合问题 题型分析：本类题为不等式性质综合拔高，融合天平杠杆原理、实际生活模型、平均价格模型。 1.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 【答案】　A 【解析】∵a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，∴a＋d＋(a＋b)>b＋c＋(c＋d)，即a>c.∴b<d. 又a＋c<b，∴a<b.综上可得，d>b>a>c. 故选：A． 2.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 【答案】A 【解析】由于天平的两臂不等长，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设， 先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为， 由杠杆的平衡原理：，，解得，， 则，下面用作差法比较与12的大小， ，又，， ，顾客实际购买的黄金大于12克． 故选：A． 3.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？ 【答案】详见解析 【解析】按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为，购，第二次购物时的价格为元/kg，仍购，两次购物的平均价格为； 若按第二种策略购物，第一次花m元钱，能购物品，第二次仍花m元钱，能购物品，两次购物的平均价格为. 比较两次购的平均价格：. 所以第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而用第二种策略比较经济，一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $等式与不等式的性质 专题03 等式与不等式的性质 知识点分析 新课标对知识的考查要求：梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质。在高考的考察中，等式性质很少单独出题，更多作为代数变形基础；不等式性质是高频基础工具题，以客观题为主，整体难度中等偏低。这一章是高中代数逻辑的起点，不是单纯背公式，核心是理解等价变形，建立严谨的代数推理习惯，为后续函数、导数、数列打基础。 题型一、不等式性质的应用 题型二、比较大小 题型三、求代数式的取值范围 题型四、不等式的综合问题 1.等式的性质 性质 文字表述 性质内容 1 对称性 2 传递性 3 可加、减性 2.不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加性 可逆 4 可乘性 c的符号 5 同向可加性 同向 6 正数同向可乘性 同向 7 正数乘方性 同正 3. 糖水不等式（Sugar water inequality） 是数学中一个经典的真分数不等式，源于 “往糖水中加糖，糖水变甜” 的生活常识，主要用于描述分式在分子分母同加正数时的单调性，以及溶液浓度混合后的变化规律。 ①基础形式：若，则. 解释：原糖水质量为 ，含糖 ，浓度为 ；加 m 克糖后，浓度变为，因为 ，加糖后浓度变大，故原浓度小于新浓度。 证明：通过作差法可严格证明基础形式： 由于 （即 ），且 ，故差值为正，即。 反向形式：若 ，则 ②中和不等式：若 ，且 ，则。 解释：两杯浓度不同的糖水混合，混合后的浓度介于两者之间。 ③递推形式：若 ，则 。 解释：加的糖越多，浓度越大，分数值越趋近于 1。 题型一：不等式性质的应用 题型分析：本题型核心考查等式、不等式的七条基本性质，重点关注可乘性当中字母系数 c 的正负符号、变形是否可逆；常结合多选、充分必要条件命题进行考查。 常见陷阱：①不等号两边同乘代数式时，不讨论代数式正负直接改变不等号方向；②混淆推导符号 “⇒”（单向推出）与等价符号 “⇔”（双向等价）；③同向不等式只能够相加，不能直接相减、相乘。 1.若，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2.(多选)已知a，b，c满足c<a<b，且ac<0，那么下列各式中一定成立的是（    ） A．ac（a-c）>0 B．c（b-a）<0 C． D． 3.（多选）已知实数满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 4.已知，，则是的（    ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5.一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好. （1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？ （2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？ 题型二：比较大小 题型分析：比较大小是不等式性质最典型应用，高频方法有作差法、作商法，也会结合糖水不等式、基本不等式简单变形来判断。①作差后不因式分解、配方，无法判断正负；②作商法忽略两个数必须都为正数的前提；③多参数比较大小时漏掉分类讨论。遇到抽象参数，也可以代入特殊值辅助排除选项。 1.已知，，，则M与的大小关系为（ ） A． B． C． D．大小关系不确定 2.（多选）若，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若a，，则 C．若，，则 D．若，则 3.比较与的大小 4.若x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是(　　) A．M＝N B．M<N C．M≤N D．M>N 5.甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试探究谁先到达教室？ 题型三：求代数式的取值范围 题型分析：已知部分变量范围，求线性组合代数式的取值范围，属于高频易错题。 核心原则：不可以单独求出每个变量范围再代入，会放大取值区间，造成范围失真；正确思路：把目标代数式用已知范围的整体线性表示，再利用同向可加性求范围。求减法范围记得先求相反数区间；求分式范围先求倒数区间。 1.已知，，则的取值范围为__________． 2.已知，则的取值范围是 3.已知12<a<60,15<b<36.求a－b和的取值范围． 4.若，，则的取值范围是 5.若α，β满足－<α<β<，则α－β的取值范围是________． 题型四：不等式的综合问题 题型分析：本类题为不等式性质综合拔高，融合天平杠杆原理、实际生活模型、平均价格模型。 1.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d>b＋c，a＋c<b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是(　　) A．d>b>a>c B．b>c>d>a C．d>b>c>a D．c>a>d>b 2.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买12g黄金，售货员先将6g的砝码放在天平左盘中，取出xg黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将6g的砝码放在天平右盘中，再取出yg黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客，则（    ） A． B． C． D．以上选项都有可能 3.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $