1.5.1 全称量词与存在量词-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

随堂检测重反馈 1.Aa=1→lal=1;lal=1台a=1,所以选A 2.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以q是p的必要条 件.故选B. 3.(1)台(2)→ 【解析】（1)命题“若x2=1,则x=1”是假命题，故x2=1台x =1. (2)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，故a,b 都是偶数→a+b是偶数. 4.{al-2≤a≤7}因为N是M的必要条件，所以MCN.于是 a-1之3从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 la+1≤8， {al-2≤a≤7} 1.4.2充要条件 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 充分必要 充要 预习自测 1.B若a=3,则集合B={1,4},此时AUB={1,3,4}=A,充分 性成立；若AUB=A,则BCA,所以a+1=3或a+1=4,解得 a=2或a=3,必要性不成立；所以“a=3”是“AUB=A”的充分 不必要条件.故选B. 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,p台9，所以p是q的充要条 件.对于(2)，p→q,但q台p,所以p是q的充分不必要条件. 对于(3)，p台q,但g→p,所以p是q的必要不充分条件.对 于(4)，显然台q,所以卫是9的充要条件 题型探究提技能 例1：(1)B(2)见解析 【解析】(1)因为A={xlx=3k,k∈N,B={xlx=6z,zeN= x|x=3×2z,z∈N},所以B手A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要 不充分条件 (2)①因为1x=ly川时，x=y,不一定有x3=y23,而x3=y3时一 定有x=y,必有Ix|=Iyl,所以p是g的必要不充分条件. ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知卫是9的 充要条件. ③若A二B,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有A CB,故p是q的充要条件. ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等 (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 等，故卫是g的充分不必要条件。 跟踪训练1：(1)D(2)A 【解析】(1)a2+b2>0,则a,b不同时为零；a,b中至少有一个 不为零，则a2+b>0. (2)如图所示，·甲是乙的必要条件，.乙 乙 甲 一甲.又·丙是乙的充分条件，但不是乙的 必要条件，丙→乙，但乙中丙.综上，有丙 →乙一甲，甲台丙，即丙是甲的充分条件，（丙） 但不是甲的必要条件 例2：设p:ac<0,q:关于x的方程a2+bx+c=0有一正根和一 负根， (1)充分性(p→g): 若ac<0成立，则关于x的方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2- 4ac>0,且两根之积C<0,所以关于x的方程ax2+bx+c=0有 一正根和一负根成立，即充分性成立 (2)必要性(q→p): 若关于x的方程ax+bx+c=0有一正根和一负根成立，则两根 之积C<0, 所以ac<0成立，即必要性成立。 3 由(1)(2)可得，一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负 根的充要条件是ac<0. 跟踪训练2：(1)充分性（由a2+b+c2=ab+ac+bc→△ABC为等边 三角形)： 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0. 所以a=b,a=c,b=c,即a=b=c,故△ABC为等边三角形： (2)必要性（由△ABC为等边三角形→a2+b2+c2=ab+ac+bc): 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 所以a2+b2+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,故a2+b2+c2=ab+ac+bc. 综上可知，命题得证 例3：设p对应的集合为A={xlx-2>0},即A={xlx>2}. q对应的集合为B={xlax-4>0. ra>0, (1)因为p是g的充分不必要条件，所以A系B,即4 la <2. 解得a>2,故实数a的取值范围为ala>2}. (2)因为p是g的必要不充分条件，所以BA ①当a>0时，由BA,得4>2，解得0<a<2: ②当a<0时，显然不满足题意， 综上，实数a的取值范围为al0<a<2}. 跟踪训练3：(1)mlm>2}(2)ala≥1} 【解析】（1)由题意，p:-1<x<3,g:-1<x<m+1,因为g是p的 必要不充分条件，即{x|-1<x<3}手x|-1<x<m+1},则m+1> 3,解得m>2,即实数m的取值范围是{mlm>2}. (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1.由x-a≤0，得x≤a.设A ={x0<x<1},B=x|x≤a},p是q的充分不必要条件，.A 至B,.a≥1.故实数a的取值范围是{ala≥1}. 随堂检测重反馈 1.B由a2=b2,得a=±b,当a=-b时，a2+b2≠2ab.由a2+b2= 2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 必要不充分条件.故选B 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故a≤ -1. 3.mlm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{xlx >m}是xlx>2}的真子集，所以m>2 4m=-2函数y=+m+1的图象关于直线x=1对称，则-受 =1,即m=-2:反之，若m=-2,则y=x2-2x+1的图象关于直 线x=1对称 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.全称V2.全称量词3.Hx∈M,p(x) 知识点二 1.存在了2.存在量词3.xeM,p(x) 预习自测 1.C①③是全称量词命题， 2.①②③④①②③是全称量词命题：④是存在量词命题： ⑤不是命题， 题型探究提技能 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 然为全称量词命题 (2)命题为存在量词命题 (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 为全称量词命题. 3 (4)命题是“过平面内任意两点有且只有一条直线”的简写」 故为全称量词命题 跟踪训练1：(1)可以改为：所有的凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题 (2)可以改为：所有矩形的对角线不相等，故为全称量词 命题， (3)含存在量词“有些”，故为存在量词命题 (4)可改写为：存在一对整数x,y,使3x-2y=10成立.故为存 在量词命题， 例2：(1)真命题，因为2≥0，所以x2+1≥1，x+1> 2恒成立 (2)真命题，例如a=0,B=1,符合题意 (3)真命题，如数-2，-4等，既是偶数又是负数 (4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长 度就不是有理数： (5)假命题，因为该方程的判别式△=-31<0，故无实数解 跟踪训练2：(1)全称量词命题.在平面直角坐标系中，任意有序 实数对(x,y)与平面直角坐标系中的点是一 一对应的，所以 该命题是真命题. (2)存在量词命题.存在一个实数零，它的绝对值不是正数 所以该命题是真命题， (3)存在量词命题.取x=0,y=-5时，3×0-4×(-5)=20成立 所以该命题是真命题 (4)全称量词命题.0的0次方无意义，所以该命题是假命题， 例3：(1)当1≤x≤2时，1+m≤x+m≤2+m,因为一次函数y=x+ m的图象在x轴上方， 所以1+m>0,即m>-1,所以实数m的取值范围是{m1m> -1}. (2)由题意得，关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根， 当a=0时，方程为2x-1=0,显然有实数根，满足题意： 当a≠0时，△=4+4a≥0，解得a≥-1，且a≠0. 综上知，实数a的取值范围是{ala≥-l}: 跟踪训练3：(1)C(2)m≥0 【解析】(1)依题意，方程x2-25x+m=0有实数解，则4= （-25)2-4m≥0，所以m≤3，故选C. (2)当x∈R时，x≥0，若“Vx∈R,mx2≥0”是真命题，则有m ≥0. 随堂检测重反馈 1.B 2.ABA是真命题，由x3=3得x=5,是无理数，所以选项A为 真命题；B是真命题，当x=1时，3x+1=4是整数；C是假命 题，如x=2时，x<3:D是假命题，如x=2xgZ 3.存在量词命题假命题p是存在量词命题，因为方程x2+ 2x+5=0的判别式22-4×5<0，即方程x2+2x+5=0无实根，所 以命题p是假命题 4.1①由于VxeR,都有x2≥0，因而有x2+2≥2>0，即x2+2> 0,所以命题“Hx∈R,x2+2>0”是真命题.②油于0EN,当x= 0时，x4≥1不成立，所以命题“Hx∈N,x4≥1”是假命题.③ 当x=y=0时，x2+y2=0,所以③是假命题. 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 3x∈M,p(x) 知识点二 Vx∈M,p(x) 预习自测 1.存在一个能被2整除的整数不是偶数原命题是全称量词命 题，其否定是存在一个能被2整除的整数不是偶数. 3 2.B量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定 后为“它的平方不是有理数”，故选B. 题型探究提技能 例1：(1)C（2)见解析 【解析】(1)由“全称量词命题的否定为存在量词命题”知 原命题的否定为3x∈R,x≤1-2x.故选C. (2)①该命题的否定：存在一个平行四边形，它的对边不都平 行.因为平行四边形的两组对边都平行，所以这是一个假 命题. ②该命题的否定：3a∈R,方程x2+x+2=0没有实数根.当a =0时，方程x2+2=0没有实数根，所以这是一个真命题. ③该命题的否定：]a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在 当a=0,b=1,方程ax=b的解不存在，所以这是一个真命题. ④该命题的否定：存在可以被5整除的整数，末位不是0：15 是可以被5整除的整数，但末位不是0.所以这是一个真 命题. 跟踪训练1：(1)该命题的否定：3x∈-2，-1,0,1,2}，1x-21 <2. (2)该命题的否定：存在一个实数除以1，不等于这个数 (3)该命题的否定：存在一个分数不是有理数： (4)该命题的否定：存在两个等边三角形，它们不相似： 例2：(1)D(2)见解析 【解析】(1)命题p:3x>1,x2-4<0的否定是：Vx>1,x2-4≥ 0.故选D (2)①HxeR,2x+1<0,为假命题.②HxeR,r2-x+4≥0.因 1 为x+=x-)≥0，所以是真命题.③一切分数都是 有理数，是真命题 跟踪训练2：(1)该命题的否定：任意一个奇数都能被3整除.这 个命题是假命题，如5是奇数，但5不能被3整除 (2)该命题的否定：任意一个三角形的三个内角不都是60°. 这个命题是假命题，如等边三角形的三个内角都是60°. (3)该命题的否定：Hx∈R,有Ix+1I>1.这个命题为假命题， 如x=0时，不满足1x+11>1. 3 (4)该命题的香定：任意xR,x2++>0.因为2++ 4 11211 (x+2)+2≥2>0，这个命题是真命题 例3：因为p为假命题，所以命题p:Hx∈R,m+x2-2x+5>0为 真命题，m+x2-2x+5>0可化为m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4,即 m>-(x-1)2-4对任意x∈R恒成立，只需m>-4即可，故实数 m的取值范围为{mlm>-4}. (说明：本题也可利用二次函数y=x2-2x+5+m的图象恒在x 轴上方，转化为对应方程△<0进行解题) 跟踪训练3：A因为“3x∈R,使得不等式x-4x-a-1<0”不成 立，则不等式x2-4x-a-1≥0对Hx∈R恒成立，等价于x∈R 时a≤(x2-4x-1)m恒成立，因为(x2-4x-1)mm=-5,∴.a≤ -5.故B、C、D不正确.故选A. 随堂检测重反馈 1.C命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即 对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根. 2.D存在量词命题的否定是全称量词命题，故排除A;由命题 的否定要否定结论，可排除C;由存在量词“3”应改为全称量 词“V”,可排除B 3.至少有两个 4.{ala≥1}因为p为假命题，所以p为真命题，所以Hx>0: x+a-1≠0，即x≠1-a,所以1-a≤0，即a≥1.021 随堂检测 重反馈 1.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，则a的取值范围是 A.a≥3 B.a≤-1 C.-1≤a≤3 D.a≤3 3.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是 4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 1.5全称量词与存在量词 新课程标准解读 学科核心素养 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 数学抽象、逻辑推理 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定， 数学抽象 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 1.5.1 全称量词与存在量词 教材梳理明要点 ●情境导入 “我们学校举行的中学生机器人大赛中，共有100名同学参赛，所有 参赛同学都学习过编程，至少有20名同学来自高一年级，每一个同学都 信心十足.” 问题： [提示] 上述报导中的短语：“所有”“至少有”和“每一个”，在逻辑上称为什么？ “所有”“至少有”和 含有这些短语的命题称作什么命题？ [提示] “每一个”，在逻辑上 已新知初探 称为量词，合有这些 短语的命题称作全称 知识点一全称量词与全称量词命题 量词命题或存在量词 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做 命题. 量词，并用符号“ ”表示 2.全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题， 3.全称量词命题的表述形式：“对M中任意一个x,P(x)成立”，可用符号简记 为 4.全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集 合M中的每个元素x,证明(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命 题，只需列举出一个xo∈M,使得p(xo)不成立即可. 022 注意：有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出 来.例如：命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形 的对角线都互相平分”. 知识点二存在量词与存在量词命题 1.存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”“有一个”“有些”在逻辑中通常叫 做 量词，并用符号“ ”表示。 2.存在量词命题：含有 的命题，叫做存在量词命题， 3.存在量词命题的表述形式：“存在M中的元素x,使p(x)成立”，可用符号 [知识点反思] 简记为 全称量词命题与存在 4.存在量词命题的真假判断：要判断一个存在量词命题是真命题，只要在集 量词命题的区别 合M中，能找到一个元素x,使(x)成立即可否则这一命题就是假命题. 1.全称量词命题中的 [知识点反思] 全称量词表明给定范 围内所有对象都具有 ©预习自测 某一性质，无一例外，强 1.下列命题中全称量词命题的个数是 ( 调“整体、全部”； ①任意一个自然数都是正整数②有的矩形是正方形③三角形的内角 2.存在量词命题中的 和是180° 存在量词表明给定范 A.0 B.1 C.2 D.3 围内的对象有例外，强 2.下列语句中，是全称量词命题的是 ,是存在量词命题的是 调“个别、部分” ①菱形的四条边相等； ②所有含两个60°角的三角形是等边三角形； ③负数的立方根不等于0： ④至少有一个负整数是奇数： ⑤所有有理数都是实数吗？ 题型探究提技能 [方法总结1] 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 判断一个语句是全称 量词命题还是存在量 词命题的步骤 例 1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. 判 (1)梯形的对角线相等； 判断该语句是否 为命题 (2)存在一个四边形有外接圆； 题 业 (3)二次方程都存在实数根； 看命题中是否含 (4)过平面内两点有且只有一条直线. 看 有量词或隐含量 >[方法总结1] 量 词，判断量词或隐 含量词是全称量 词还是存在量词 ↓ 含有全称量词的 下命题称为全称量 结词命题，含有存在 论量词的命题称为 存在量词命题 ●023 )》跟踪训练1 判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)矩形的对角线不相等； (3)有些实数a,b能使Ia-bI=Ia|+IbI: (4)方程3x-2y=10有整数解. [方法总结2] 判断全称量词命题 和存在量词命题真 假的方法 1要判断一个全称量 词命题为真，必须 满足集合中的每一 个元素x,使命题 px)为真；但要判断 题型二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 一个全称量词命题 例2判断下列命题的真假 为假时，只要在给 定的集合中找到一 (1)HxeR,x2+1> 个元素x,使命题 2 px)为假： (2)3,BeR,(x-B)2=(x+B)2; 2要判断一个存在量 (3)存在一个数既是偶数又是负数； 词命题为真，只要 (4)每一条线段的长度都能用正有理数表示； 在拾定的集合中找 到一个元素x,使命 (5)存在一个实数，使等式x+x+8=0成立. [方法总结2] 题px)为真；要判断 一个存在量词命题 为假，必须对给定 集合中的每一个元 素x,使命题px) 为假. 》跟踪训练2 指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断真假 (1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x,y)都对应一点； (2)存在一个实数，它的绝对值不是正数； (3)3x,y∈Z,使3x-4y=20; (4)任何数的0次方都等于1. 024 题型三全称量词命题与存在量词命题的应用 [方法总结3] 例 .(1)已知集合A={x1≤x≤2}，若命题“x∈A,一次函数y=x+m的图 解决含有量词的命题 象在x轴上方”是真命题，求实数m的取值范围。 求参数范围问题的 等价于函数y=x+m的最小值大于0 思路 (2)若命题“3x∈R,使得方程ax2+2x-1=0成立”是真命题，求实数a 1.全称量词命题求参 数范围的问题，一 的取值范围。 即关于x的方程ax2+2x-1=0有实数根 般在题目中会出现 P[方法总结3] “恒成立”等词语 可构造函数，利用 数形结合求参数范 围，也可用分离参 数法求参数范围： 2.存在量词命题求参 数范围的问题中常 出现“存在”等词 语，通常是假设存 在满足条件的参 数，然后利用条件 求参数范围，若能 求出参数范围，则 假设成立；反之，假 )跟踪训练3 设不成立.解决有关 存在量词命题的参 (1)已知命题p:“3x∈R,x2-23x+m=0”是真命题，则实数m的取值范围是 数取值范围问题 时，应尽量分离参 A.m<3 B.m>3 C.m≤3 D.m≥3 数。 (2)已知命题p:“Vx∈R,mx2≥0”是真命题，则实数m的取值范围 是 随堂检测 重反馈 1.下列命题是全称量词命题的是 A.有的三角形是等边三角形 B.所有2的倍数都是偶数 C.有一个实数，使1x|≤0 D.至少有一个x∈{xx是无理数}，x2是无理数 2.(多选)下列命题中是真命题的是 A.3x∈R,x3=3 B.3x∈R,3x+1是整数 C.Hx∈R,lxl>3 D.Hx∈Q,x2∈Z 3.命题p:3x∈R,x2+2x+5=0是 (填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是 命题（填“真”或“假”） 4.已知下列命题：①HxeR,x2+2>0;②Hx∈N,x4≥1；③对任意实数x,y,都有x2+y2≠0.其中真命 题的个数为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[8]