1.5.2 全称量词命题和存在量词命题的否定(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦全称量词命题和存在量词命题的否定，通过“探险家保命”情境问题导入，引导学生先理解命题的否定及常见词语否定，再掌握两种量词命题否定的“改变量词、否定结论”方法，形成从概念到应用的学习支架。 资料以逻辑推理为核心，通过问题链、表格归纳帮助学生构建知识体系，提能点结合二次函数等知识实现从理论到参数范围求解的应用，培养学生用数学思维分析问题、用数学语言表达结论的能力，习题分层设计助力逻辑推理与问题解决能力提升。

1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 课标要求 情境导入 1.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定（逻辑推理）. 2.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定（逻辑推理）. 　　一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”请问探险家该如何保命？ 知识点一　命题的否定与全称量词命题的否定 问题　阅读下面的命题： ①所有的矩形都是平行四边形； ②每一个素数都是奇数. 写出上面两个命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？ 1.命题的否定 （1）定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定.命题p的否定可用　　　　来表示，读作非p； （2）常见词语的否定词语 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（n－1）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（n＋1）个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 提醒：命题p的否定就是条件不变，只否定结论. 【微思考】 􀱑p与p的否命题有何区别？ 2.全称量词命题的否定 全称量词命题 它的否定 结论 ∀x∈M，p（x） 　　　 全称量词命题的否定是　　　　　　命题 （链接教材P29例3）写出下列全称量词命题的否定： （1）所有能被2整除的整数都是偶数； （2）每一个三角形的三个顶点在同一个圆上； （3）∀x∈R，5x－12＝0. 规律方法 全称量词命题否定的关注点 （1）全称量词命题：∀x∈M，p（x），它的否定：∃x∈M，􀱑p（x），即“改变量词，否定结论”； （2）全称量词命题的否定是存在量词命题，对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 训练1　写出下列命题的否定并判断真假： （1）等圆的面积相等； （2）对任意x∈Z，x2的个位数字不等于3； （3）平面内与同一条直线垂直的两条直线平行. 知识点二　存在量词命题的否定 问题　阅读下面的命题： ①存在一个实数的绝对值是正数； ②有些平行四边形是菱形. 写出上面两个命题的否定，它们与原命题在形式上有什么变化？ 存在量词命题 它的否定 结论 ∃x∈M，p（x） 　　 存在量词命题的否定是　　　　　　命题 提醒：对全称量词命题和存在量词命题进行否定，总结起来八个字“改变量词，否定结论”，从集合的角度来看，x的范围没有变，只是对量词改变且对结论进行了否定.一个命题和它的否定不能同时为真，也不能同时为假，只能一真一假. （链接教材P30例4）写出下列命题的否定并判断真假： （1）p：∃a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点； （2）q：有的有理数没有倒数； （3）s：有些三角形是锐角三角形. 规律方法 存在量词命题否定的关注点 （1）存在量词命题的否定是全称量词命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即∃x∈M，p（x），它的否定：∀x∈M，􀱑p（x），即改变量词，否定结论； （2）存在量词命题的否定是全称量词命题，对省略存在量词的存在量词命题可补上量词后进行否定. 训练2　写出下列存在量词命题的否定： （1）∃x∈R，x＋1≤0； （2）有的三角形是等腰三角形； （3）有一个偶数是素数. 提能点　根据命题的否定求参数范围 〔一题多解〕已知命题p：“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题，求实数m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 “∃x∈R，x2－2x＋m≤0”是假命题 其否定“∀x∈R，x2－2x＋m＞0”为真命题 变式　若命题“∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0”为真命题，则m的取值范围是　　　　. 规律方法 由命题的否定求参数范围的两个关注点 （1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化； （2）求参数范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求范围. 训练3　已知命题p：∀x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且􀱑p是假命题，求实数a的取值范围. 1.命题“∀x＞1，x2－x＞0”的否定为（　　） A.∀x＞1，x2－x≤0 B.∃x＞1，x2－x≤0 C.∀x≤1，x2－x≤0 D.∃x≤1，x2－x≤0 2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　） A.任意一个无理数，它的平方不是有理数 B.任意一个无理数，它的平方是有理数 C.存在一个无理数，它的平方是有理数 D.存在一个无理数，它的平方不是有理数 3.命题“存在实数x，y，使得x＋y＞1”，用符号表示为　　　，此命题的否定是　　　（填“真”或“假”）命题. 4.已知命题p：∃x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，求a的取值范围. 完成课后作业　第一章　1.5　1.5.2 答案 1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定 知识点一 导入新知 问题　提示：命题①的否定：并非所有的矩形都是平行四边形. 命题②的否定：存在一个素数不是奇数. 从命题形式上看，这两个全称量词命题的否定都变成了存在量词命题. 学习新知 1.（1）􀱑p 微思考 提示：􀱑p只否定结论；p的否命题即否定条件又否定结论. 2.∃x∈M，􀱑p（x）　存在量词 【例1】　解：（1）该命题的否定：存在一个能被2整除的整数不是偶数. （2）该命题的否定：存在一个三角形，它的三个顶点不在同一个圆上. （3）该命题的否定：∃x∈R，5x－12≠0. 训练1　解：（1）该命题可以表述为“所有等圆的面积相等”，其否定是“存在一对等圆，其面积不相等”.由等圆的概念知原命题的否定是假命题. （2）该命题的否定：至少存在一个x∈Z，x2的个位数等于3，因为02＝0，12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81，…，所以这是一个假命题. （3）命题省略了全称量词“任意”，即“平面内任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此其否定为“平面内存在两条与同一条直线垂直的直线不平行”，是假命题. 知识点二 导入新知 问题　提示：命题①的否定：不存在一个实数，它的绝对值是正数. 命题②的否定：没有一个平行四边形是菱形. 从命题形式上看，这两个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题. 学习新知 ∀x∈M，􀱑p（x）　全称量词 【例2】　解：（1）􀱑p：∀a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以􀱑p是假命题. （2）􀱑q：所有的有理数都有倒数.因为0为有理数且没有倒数，所以􀱑q为假命题. （3）􀱑s：所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是锐角三角形），假命题. 训练2　解：（1）该命题的否定：∀x∈R，x＋1＞0. （2）该命题的否定：所有的三角形都不是等腰三角形. （3）该命题的否定：任意一个偶数都不是素数. 提能点 【例3】　解：法一　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，即m＞－x2＋2x＝－（x－1）2＋1，x∈R恒成立， 设函数y＝－（x－1）2＋1，由二次函数的性质知， 当x＝1时，ymax＝1，∴m＞ymax＝1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 法二　􀱑p：∀x∈R，x2－2x＋m＞0是真命题，设函数y＝x2－2x＋m， 由二次函数的图象和性质知，只需方程x2－2x＋m＝0的根的判别式Δ＜0， 即4－4m＜0，得m＞1， 即实数m的取值范围是{m｜m＞1}. 变式　{m｜m≤1}　解析：∃x∈R，使得x2－2x＋m＝0，即关于x的方程x2－2x＋m＝0有实根，∴Δ＝4－4m≥0，解得m≤1. 训练3　解：􀱑p是假命题即p是真命题， 即∀x∈{x｜－3≤x≤2}，x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立， 所以解得－3≤a≤1， 所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}. 随堂自测 1.B　2.A　3.∃x，y∈R，x＋y＞1　假 4.解：由题意得，􀱑p为真命题， 即∀x＞0，x＋a－1≠0， 则当x＞0时，1－a≠x， 故1－a≤0，解得a≥1. 故a的取值范围为{a｜a≥1}. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $