1.4.2 充要条件-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

018 1.4.2充要条件 教材梳理明要点 ●情境导入 [提示] 由于命题“如果开关 A闭合，那么灯B 亮”是真命题，它的 问题： 逆命题“如果灯B 亮，那么开关A闭 “开关A闭合”与“灯B亮”还有什么关系呢？ P[提示] 合”也是真命题，所 e新知初探 以“开关A闭合”既 是“灯B亮”的充分 知识点一 充要条件 条件，也是“灯B 一般地， 亮”的必要条件 (1)如果p→g且q→p,则称p是q的 条件，简称为 条件； (2)如果p→q且gp,则称p是g的充分不必要条件； (3)如果pg且q→p,则称p是q的必要不充分条件； [知识点反思1] (4)如果p台q且q≠p,则称p是q的既不充分也不必要条件 “p是9的充要条 件”，可记作p台9， [知识点反思1] 读作p与9等价，也 知识点二用集合的观点理解充分条件与必要条件 可以说成“p成立当 且仅当9成立”或“g p:A=xlp(x)成立}，q:B={xlq(x)成立. 成立当且仅当P成 立” 若ACB,则p是g的充分条件： 若AB,则p是g的充分不必要条件 若BCA,则p是g的必要条件； 若B手A,则p是g的必要不充分条件 若A=B,则p,g互为充要条件 ©预习自测 1.已知集合A={1,3,4},B={1,a+1},则“a=3”是“AUB=A”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ●019 2.下列各题中，p是g的充要条件的是 .(填序号) (1)p:3x+2>5,9:-2x-3<-5; (2)p:a>2,b<2,9:a>b; (3):四边形的两条对角线互相垂直平分，9：四边形是正方形； (4)p:a≠0，q:关于x的方程ax=1有唯一解. 题型探究提技能 题型一充要条件的判断 例1.(1)已知集合4=x=3张，keN,B=xlx=6e,:eN,“xEAr是 “x∈B”的 条件 A.充分不必要 B.必要不充分 [方法总结1] C.充要 D.既不充分也不必要 判断充分条件、必要 (2)判断下列各题中，P是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要 条件及充要条件的四 不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种 种方法 1.定义法：直接判断 作答). “若P,则9”以及 ①p:lxl=lyl,q:x3=y3: “若9，则p”的真假； ②p:△ABC中，AB>AC,9:△ABC中，∠C>∠B: 2.集合法：即利用集 ③p:ACB,q:AUB=B; 合的包含关系判断： 3.等价法：即利用p台 ④p:两个三角形全等，g:两个三角形面积相等 P[方法总结1] 9与9台p的等价关 系，对于条件和结论 是否定形式的命题， 一般运用等价法， 4.传递法：充分条件 和必要条件具有传递 性，即由p,→P2→… →P,可得P,→Pn；充 要条件也有传递性. )》跟踪训练1 (1)a,b中至少有一个不为零的充要条件是 ( A.ab=0 B.ab>O C.a2+b2=0 D.a2+b2>0 (2)如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么 ( A.丙是甲的充分不必要条件 B.丙是甲的必要不充分条件 C.丙是甲的充要条件 D.丙是甲的既不充分又不必要条件 020 题型二充要条件的证明 2.求证：一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是 [方法总结2] ac<0. >[方法总结2] 充要条件的证明策略 1.要证明一个条件p是 否是9的充要条件， 需要从充分性和必要 性两个方向进行，即 证明命题“若P,则 9”为真且“若9，则 p”为真； 2.在证明的过程中也 》跟踪训练2 可以转化为集合的思 证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+ac+bc,这里a,b,c 想来证明，证明p与9 是△ABC的三条边的边长. 的解集是相同的，证 明前必须分清楚充分 性和必要性，即搞清 楚由哪些条件推证到 哪些结论 题型三根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 列 3.已知p:x-2>0,9:ax-4>0,其中a∈R且a≠0， [方法总结3] (I)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；、等价于A军B 应用充分不必要、必 (2)若p是9的必要不充分条件，求实数a的取值范围.、等价于B手A 要不充分及充要条件 ①p对应的集合A是q对应的集合B的真子集； 求参数值（范围）的一 般步骤 ②q对应的集合B是p对应的集合A的真子集 /.根据已知将充分不 P[方法总结3] 必要条件、必要不充 分条件或充要条件转 化为集合间的关系； 2.根据集合间的关系 构建关于参数的方程 (组)或不等式（组）求解 )》跟踪训练3 (1)已知p:-1<x<3,9:-1<x<m+1,若g是p的必要不充分条件，则实数m的 取值范围是 (2)已知x∈R,P:x<x,9:x-a≤0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取 值范围是 021 随堂检测 重反馈 1.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 2.若“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，则a的取值范围是 A.a≥3 B.a≤-1 C.-1≤a≤3 D.a≤3 3.若“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是 4.二次函数y=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[7] 1.5全称量词与存在量词 新课程标准解读 学科核心素养 通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义. 数学抽象、逻辑推理 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定， 数学抽象 能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象 1.5.1 全称量词与存在量词 教材梳理明要点 ●情境导入 “我们学校举行的中学生机器人大赛中，共有100名同学参赛，所有 参赛同学都学习过编程，至少有20名同学来自高一年级，每一个同学都 信心十足.” 问题： [提示] 上述报导中的短语：“所有”“至少有”和“每一个”，在逻辑上称为什么？ “所有”“至少有”和 含有这些短语的命题称作什么命题？ [提示] “每一个”，在逻辑上 已新知初探 称为量词，合有这些 短语的命题称作全称 知识点一全称量词与全称量词命题 量词命题或存在量词 1.全称量词：短语“所有的”“任意一个”“每一个”在逻辑中通常叫做 命题. 量词，并用符号“ ”表示 2.全称量词命题：含有 的命题，叫做全称量词命题， 3.全称量词命题的表述形式：“对M中任意一个x,P(x)成立”，可用符号简记 为 4.全称量词命题的真假判断：要判断一个全称量词命题是真命题，需要对集 合M中的每个元素x,证明(x)成立；但要判断一个全称量词命题是假命 题，只需列举出一个xo∈M,使得p(xo)不成立即可.随堂检测重反馈 1.Aa=1→lal=1;lal=1台a=1,所以选A 2.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以q是p的必要条 件.故选B. 3.(1)台(2)→ 【解析】（1)命题“若x2=1,则x=1”是假命题，故x2=1台x =1. (2)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，故a,b 都是偶数→a+b是偶数. 4.{al-2≤a≤7}因为N是M的必要条件，所以MCN.于是 a-1之3从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 la+1≤8， {al-2≤a≤7} 1.4.2充要条件 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 充分必要 充要 预习自测 1.B若a=3,则集合B={1,4},此时AUB={1,3,4}=A,充分 性成立；若AUB=A,则BCA,所以a+1=3或a+1=4,解得 a=2或a=3,必要性不成立；所以“a=3”是“AUB=A”的充分 不必要条件.故选B. 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,p台9，所以p是q的充要条 件.对于(2)，p→q,但q台p,所以p是q的充分不必要条件. 对于(3)，p台q,但g→p,所以p是q的必要不充分条件.对 于(4)，显然台q,所以卫是9的充要条件 题型探究提技能 例1：(1)B(2)见解析 【解析】(1)因为A={xlx=3k,k∈N,B={xlx=6z,zeN= x|x=3×2z,z∈N},所以B手A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要 不充分条件 (2)①因为1x=ly川时，x=y,不一定有x3=y23,而x3=y3时一 定有x=y,必有Ix|=Iyl,所以p是g的必要不充分条件. ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知卫是9的 充要条件. ③若A二B,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有A CB,故p是q的充要条件. ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等 (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 等，故卫是g的充分不必要条件。 跟踪训练1：(1)D(2)A 【解析】(1)a2+b2>0,则a,b不同时为零；a,b中至少有一个 不为零，则a2+b>0. (2)如图所示，·甲是乙的必要条件，.乙 乙 甲 一甲.又·丙是乙的充分条件，但不是乙的 必要条件，丙→乙，但乙中丙.综上，有丙 →乙一甲，甲台丙，即丙是甲的充分条件，（丙） 但不是甲的必要条件 例2：设p:ac<0,q:关于x的方程a2+bx+c=0有一正根和一 负根， (1)充分性(p→g): 若ac<0成立，则关于x的方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2- 4ac>0,且两根之积C<0,所以关于x的方程ax2+bx+c=0有 一正根和一负根成立，即充分性成立 (2)必要性(q→p): 若关于x的方程ax+bx+c=0有一正根和一负根成立，则两根 之积C<0, 所以ac<0成立，即必要性成立。 3 由(1)(2)可得，一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负 根的充要条件是ac<0. 跟踪训练2：(1)充分性（由a2+b+c2=ab+ac+bc→△ABC为等边 三角形)： 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0. 所以a=b,a=c,b=c,即a=b=c,故△ABC为等边三角形： (2)必要性（由△ABC为等边三角形→a2+b2+c2=ab+ac+bc): 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 所以a2+b2+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,故a2+b2+c2=ab+ac+bc. 综上可知，命题得证 例3：设p对应的集合为A={xlx-2>0},即A={xlx>2}. q对应的集合为B={xlax-4>0. ra>0, (1)因为p是g的充分不必要条件，所以A系B,即4 la <2. 解得a>2,故实数a的取值范围为ala>2}. (2)因为p是g的必要不充分条件，所以BA ①当a>0时，由BA,得4>2，解得0<a<2: ②当a<0时，显然不满足题意， 综上，实数a的取值范围为al0<a<2}. 跟踪训练3：(1)mlm>2}(2)ala≥1} 【解析】（1)由题意，p:-1<x<3,g:-1<x<m+1,因为g是p的 必要不充分条件，即{x|-1<x<3}手x|-1<x<m+1},则m+1> 3,解得m>2,即实数m的取值范围是{mlm>2}. (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1.由x-a≤0，得x≤a.设A ={x0<x<1},B=x|x≤a},p是q的充分不必要条件，.A 至B,.a≥1.故实数a的取值范围是{ala≥1}. 随堂检测重反馈 1.B由a2=b2,得a=±b,当a=-b时，a2+b2≠2ab.由a2+b2= 2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 必要不充分条件.故选B 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故a≤ -1. 3.mlm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{xlx >m}是xlx>2}的真子集，所以m>2 4m=-2函数y=+m+1的图象关于直线x=1对称，则-受 =1,即m=-2:反之，若m=-2,则y=x2-2x+1的图象关于直 线x=1对称 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.全称V2.全称量词3.Hx∈M,p(x) 知识点二 1.存在了2.存在量词3.xeM,p(x) 预习自测 1.C①③是全称量词命题， 2.①②③④①②③是全称量词命题：④是存在量词命题： ⑤不是命题， 题型探究提技能 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 然为全称量词命题 (2)命题为存在量词命题 (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 为全称量词命题. 3