1.2 集合间的基本关系-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

例2：(1){xeR11<x<10} (2){(x,y)Ix<0,且y>0} (3){xlx=3n+1,neN}. 跟踪训练2：(1)奇数可表示为2k+1,k∈Z,又因为大于6，故k ≥3，故可用描述法表示为xlx=2k+1,k∈N,且k≥3头. (2)点可用实数对表示，故可表示为{(x,y)ly=3x2-1. (3){xlx是三角形}. 例3：(1)①当k=0时，方程kx-8x+16=0变为-8x+16=0,解得 x=2,满足题意；②当k≠0，要使集合A=x1kx2-8x+16=0}中 只有一个元素，则方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根， 所以△=64-64k=0,解得k=1,此时集合A=4},满足题意 综上所述，k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为{0,1}. (2)由题意可知，方程kx-8.x+16=0有两个不等实根，故k≠ 0,且△=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k的值组成的 集合为{kIk<1,且k≠0}. 跟踪训练3：(1)由A={2,3}知，方程x-ax+b=0的两根为2,3 由根与系数的关系得t30因此a=5,6=6 12×3=b, (2)当a=0时，方程化为-2x+2=0,解得x=1,此时M={1}, 满足条件 当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得4=4-8a≤0，即a 三2，此时方程无实数根或有两个相等的实数根.综合(1) (2)可知，当a≥2或a=0时，集合M中至多有-个元素. 随堂检测重反馈 1.AD由题意可知，满足题设条件的有选项AD,故选AD. 2.B选项A是以方程为元素的集合，其中只有一个元素.B选 项中化简得{0,1}符合题意.C选项是个无限集，D选项也是 无限集. 3.DA={(x,y)Iy≤0，x∈R,y∈R}的元素满足y<0或y= 0,当y=0时，表示两个坐标轴上的点，当xy<0时，表示第二 象限或者第四象限的点.故选D. 4.{-1,4}.4∈A,∴.16-12+a=0,∴.a=-4,∴.A={xlx2-3x-4 =0}={-1.4}. 1.2 集合间的基本关系 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 L.封闭曲线 2.任意子集ACBA包含于B ACA ACC 3.A=B ACB BCA 知识点二 xAA手BA真包含于B 知识点三 不含任何元素⑦ 预习自测 1.4A=2,4},B=2,3,m},A二B,.集合A中所有的元素 都在集合B中，.集合A中的元素4在集合B中，.m=4. 2.(1)∈(2)∈(3)=(4)(5)(6)= 题型探究提技能 例1：(1)BC(2)D(3)见解析 【解析】（1)0不含任何元素，0☑，故A错误；空集是任何集 合的子集，故B正确：{0,2=2,0，故C正确：D错误，应该是 0{0,1,2 (2)在A中，M和N中的元素表示不同的点；在B中，M是空 集，N是单元素集；在C中，M是数集，N是，点集；在D中，M= yly=x2+1,ER=yly=1,N=tlt=(y-1)2+1,yER= {tlt≥1}.因此，M=N.故选D. 3 (3)①因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以QP.②P= 1lk-30财=o3.0=12-5≥0={≥}所以 P军Q.③P={xlx2-x=0={0,1}.在Q中，当n为奇数时，x= 1+1)”=0,当n为偶数时，x=1+1)=1,所以Q=0,1, 2 2 所以P=Q. 跟踪训练1：(1)C(2)A 【解析】(1)B={yly=6m+5,meZ}={xlx=6m+5,meZ, 任意xeB,则存在meZ,使x=6m+5,而x=6m+5= 3(2m+2)-1eA,故BCA,又2eA,2B,.B军A.故选C. (2)集合A,B,C,D,E之间的关系可 A 用Venn图表示，结合右图可知，应 选A. 、E )D)C 例2：(1)D（2)见解析 【解析】(1)满足题意的集合A可 以是1}，3}，1,2}，1,3,2,3 共有5个. (2)因为A={(x,y)lx+y=2,x,yeN},所以A={(0,2),(1,1), (2,0)}. 所以A的子集有：0，{(0,2)}，{(1,1)}，(2,0)}，{(0,2)， (1,1)},(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},(0,2),(1,1), (2,0)}. 跟踪训练2：C由题意知，集合A可以为{a,b},{a,b,c},a,b, d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,ej. 例3：(1)当A二B时，如图所示，此时B≠⑦. 2m-1>m+1,rm>2, .m+1≤-2，即m≤-3， m+1-2052m-1x 2m-1≥5， m≥3， ∴m不存在，即不存在实数m使A二B. (2)①当B≠⑦时，若B军A,如图所示 rm+1≥-2， rm+1>-2, 2m-1<5,或2m-1≤5， -2m+102m-15 2m-1≥m+1,2m-1≥m+1, 解这两个不等式组，得2≤m≤3 ②当B=☑时，满足B至A,由m+1>2m-1,得m<2. 综上可得，m的取值范围是{mlm≤3}. 跟踪训练3：(1)D(2)见解析 【解析】(1)当B=☑，即a=0时满足条件.当B≠☑，即a≠ 0时，B=xx,因为BCA,所以有-。EA,所以a= a ±1：综上可得实数a的所有可能取值的集合是-1,0,1}.故 选D. (2)当B=⑦时，只需2a>a+3,即a>3,此时满足B二A,适合题 意；当B≠☑时，根据题意作出如图所示的数轴， 2aa+3-14x -142aa+3x 可得a+3≥2a或0+322a·解得a<-4或2<a≤3.综上可 a+3<-1, 得，实数a的取值范围为{ala<-4或a>2}. 随堂检测重反馈 1.D 2.BCA应是{1}{0,1,2}；对于B,集合中的元素有无序性， 故B正确：对于C,任何集合都是本身的子集，故{0,1,2}二 {1,0,2},故C正确：D应是☑0}. 3.C由数轴知B军A.① A B 2-101天 4.{ala≥6}A={x1<x<6},B={xlx<a},由ACB,结合数 轴可知a≥6.一6。 0006 随堂检测重反馈 1.(多选)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 A.{-2,0,2,4,6,8,10 B.{0,2,4,6,8,10 C.{x|-3<x<11,x=2h D.{x-3<x<11,x=2k,k∈Z 2.下列集合中恰有2个元素的集合是 A.{x2-x=0} B.xly2-y=0 C.xly=x2-x D.yly=x2-x 3.集合A={(x,y)Ixy≤0，x∈R,y∈R}表示的是 A.第二象限的点 B.第四象限的点 C.第二和第四象限的点 D.不在第一象限也不在第三象限的点 4.设集合A={xlx2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1.己集合间的基本关系 新课程标准解读 学科核心素养 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 数学抽象、逻辑推理 在具体情境中，了解空集的含义， 数学抽象 能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学抽象、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5,5<7,5>3等 两个集合之间有包含 关系、真包含关系、 等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ P[提示] 相等关系和不包含 台新知初探 关系。 知识点一子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图 称为Ven图. 2.子集 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 一个元 定义 素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B2A),读作 ”(或“B包含A”) 图示 B 或 A (B) (1)任何一个集合是它本身的子集，即 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B,且BCC,则 ●007 3.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作 也就是说，若 ,且 ,则A=B 知识点二真子集 如果集合ACB,但存在元素x∈B,且 就称集合A 定义 是集合B的真子集 记作 (或B吴A),读作“ ”(或“B真包含 记法与读法 A”) 图示 B 知识点三 空集 定义 般地，我们把 的集合叫做空集 记法 规定 空集是任何集合的子集，即☑二A [知识点反思] (1)空集只有一个子集，即它本身，☑二⑦； 特性 1.相等关系和真子集 (2)A≠⑦，则⑦手A 关系一定是子集关系」 子集关系可能是相等 ·[知识点反思] 关系，也可能是真子 目预习自测 集关系； 1.已知集合A={2,4},B={2,3,m},若ACB,则m= 2.0是元素，☑是不含 任何元素的集合， 2.用适当的符号填空： {0}是含有一个元素 (1)a {a,b,c}; (2)0 {xlx2=0}; 的集合，☑季{0). (3)0 {x∈R|x2+1=0;(4){0,1} N; (5){0 xlx2=x; (6){2,1 {x|x2-3x+2=0} 题型探究提技能 题型一集合间关系的判断 例1.(1)（多选）下列写法中正确的是 A.0∈0 B.0≤{0 C.{0,2}≤2,0 D.{0∈{0,1,2 (2)在下列选项中，使M=N的是 A.M={(1,-3)},N={(-3,1)} B.M=0,N={0 C.M=yly=x2+1,xER,N=(x,y)ly=x2+1,xER D.M={yly=x2+1,x∈R,N={tlt=(y-1)2+1,y∈R 008 [方法总结1] (3)判断下列两个集合之间的关系： 判断集合间关系的三 DP=xlx=2n,nEZ,Q=xlx=4n,nEZ; 种常用方法 ②P={xlx-3>0},Q={x2x-5≥0}； 列举观察法 1+(-1)" 当集合中元素较少 ③P={xlx2-x=01,Q=xx= 21 [方法总结1] 时，可列出集合中的 全部元素，通过定义 得出集合之间的关 集合元素特征法 首先确定集合的代表 )跟踪训练1 元素是什么，弄清集 (1)若集合A={xlx=3k-1,k∈Z},B={yly=6m+5,m∈Z},则集合A与B的 合元素的特征，再利 用集合元素的特征判 关系是 断关系 A.A=B B.ACB C.BA D.不确定 数形结合法 (2)设A={四边形}，B={梯形}，C={平行四边形}，D={菱形}，E={正方 利用数轴或Venn图， 形}，则它们的关系是 () 不等式的解集之间的 A.EDC手A B.D手EC军A 关系，适合用数轴法 C.DB手A D.E手D手C手B军A 题型二确定集合的子集、真子集 [方法总结2] 求集合子集的要点 1.要注意两个特殊的 例 .(1)已知集合A{1,2,3},且A中至少有一个奇数，则这样的集合有 子集：☑和自身； A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.按集合中合有元素 的个数由少到多，分 (2)已知集合A={(x,y)Ix+y=2,x,y∈N},试写出A的所有子集. 类一一写出，保证不 ●[方法总结2] 重不漏； 3.含n个元素的集 合，所有子集的个数 是2“，真子集的个数 》跟踪训练2 是2”-1，非空真子集 满足{a,b}二A季{a,b,c,d,e}的集合A的个数是 的个数是2”-2. A.2 B.6 C.7 D.8 题型三由集合间的关系求参数范围问题 [方法总结3] 利用集合间的关系求 参数的方法 例 3.已知集合A={xl-2≤x≤5}，B={xlm+1≤x≤2m-1}. .不连续数集的包含 （1)若ACB,求实数m的取值范围：装合B分为空集和不为空装两 关系，转化为元素与 (2)若B手A,求实数m的取值范围，种情况讨论 集合的关系，建立方 [方法总结3] 程求解； 2.连续数集的包含关 系，通常将各个集合 》跟踪训练3 在数轴上表示出来， 以形定数，建立不等 (1)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B二A,则实数a的所有可能取 关系求解要注意区间 值的集合为 () 端点是实点还是虚 A.{-1} B.{1} C.{-1,1} D.{-1,0,1} 点，以便确定不等式 (2)已知集合A={xlx<-1,或x>4},B={xI2a≤x≤a+3},若BCA,求实数a 是否带等号； 的取值范围。 3.要注意“空集”的 情况，空集是任何集 合的子集 009 随堂检测重反馈 1.集合A={0,2,4,6}的子集的个数是 A.8 B.12 C.15 D.16 2.（多选)以下四个选项中，正确的为 A.{1}∈{0,1,2 B.{1,-3}={-3,1 C.{0,1,2{1,0,2 D.☑e{0} 3.已知集合A={xlx<-2或x>0},B={x10<x<1},则 A.A>B B.AB C.BA D.A<B 4.集合A={x1<x<6},B=xlx<a,若ACB,则a的取值范围为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[3] 1.3集合的基本运算 第1课时并集与交集 新课程标准解读 学科核心素养 理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算 能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学运算、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 学校高一年级准备成立一个物理兴趣小组，要求成员同时满足： (1)物理成绩不低于80分； (2)数学成绩不低于120分. [提示] 问题： 集合的P元素既属于 如果满足条件(1)的同学组成的集合记为M,满足条件(2)的同学组成的 集合M,又属于集合 集合记为N,而能成为物理兴趣小组成员的同学组成的集合记为P,满足 N;集合Q的元素要 条件(1)或(2)的同学组成的集合记为Q,那么集合M、N与集合P、Q有 么属于集合M,要么 什么关系呢？ P[提示] 属于集合N,也可能既 e新知初探 属于集合M,又属于 知识点一并集 集合N 自然语言 一般地，由所有属于集合A 属于集合B的元素组成的集 合，称为集合A与B的 ,记作 (读作“ ”) 符号语言 AUB= 图形语言 A●B BA AUB=BUA,AUA=A,AUO=A,AUB=A BCA,AC(AUB),BC 性质 (AUB)