1.4.1 充分条件与必要条件-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

014 随堂检测 重反馈 1.已知全集U={0,1,2},且CA={2},则A= A.0 B.{1 c.0 D.{0,1} 2.已知全集U=R,集合A={yly=x2+3,xeR},B={x-2<x<4,则图中阴U 影部分表示的集合为 ( A.{xl-2≤x≤3} B.{xl-2<x<3 C.{x|-2<x≤3} D.{xl-2≤x<3 3.(2022·北京卷改编)已知全集U={x1-3<x<3},集合A={x1-2<x≤1}， 则CA= A.{xl-2<x≤1} B.{x-3<x<-2或1≤x<3 C.{xl-2≤x<1 D.{x|-3<x≤-2或1<x<3} 4.设全集U={n∈NI1≤n≤10，A={1,2,3,5,8,B={1,3,5,7,9,则(CmA)∩B= 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[5] 1.4充分条件与必要条件 新课程标准解读 学科核心素养 通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系 通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分 数学抽象，逻辑推理 条件的关系。 通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要 数学抽象，逻辑推理 条件的关系 1.4.1 充分条件与必要条件 教材梳理明要点 P情境导入 在右图所示电路图中，闭合开关K,与 [提示1] 灯泡L亮是有关系的.甲图中K闭合时，灯 K 若开关K,闭合，则灯 泡L一定亮，但灯泡L亮时K不一定闭合； 泡L亮. 乙图中K闭合时，灯泡L不一定亮，但灯泡 甲 [提示2] 亮时K一定闭合 数学中常用充分条 问题： 件、必要条件和充要 1.把K闭合作为条件，灯泡L亮看作结论，如何用命题的形式表示出 条件来刻画条件与结 来呢？ 论的不同关系 2.在数学中如何描述条件与结论的这种不同关系呢？ P[提示] ●015 日新知初探 知识点一命题 1.定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断 的陈述句 叫做 2.分类：判断为真的语句是 ,判断为假的语句是 3.表达形式：中学数学中的许多命题可以写成“若p,则g”“如果P,那么g”等 形式.其中p称为命题的 ,g称为命题的 知识点二充分条件、必要条件 命题真假 “若p,则g”是真命题 “若p,则g”是假命题 推出关系 p是q的 条件 条件关系 p不是g的 条件 q是p的 条件 q不是p的 条件 ·[知识点反思] [知识点反思] 在命题“若p则9” 自预习自测 中，若p→9，则p是9 1.（多选)下列“若p,则g”形式的命题中，q是p的必要条件是 ( 的充分条件；若9→P, A.若y=1,则x,y互为倒数 B.若a∈Q,则a∈R 则p是9的必要条件 C.若x≠-1，则x2-1≠0 D.若ab=0,则a=0 2.已知实数x,“x≥2”是“x≥1”的 条件（填“充分”或“必要”） 题型探究提技能 题型一充分条件的判断 例1判断下列哪些命题中p是g的充分条件？ [方法总结1] (1)若x∈{1,2,3,4}，则xe{xeQ10<x<5}; 充分条件的两种判断 (2)若x=1,则x2-4x+3=0; 方法 (3)若1xl=1yl,则x=y; 1定义法 (4)若∠A1=∠A2=30°，BC1=B2C2=2,A1B1=AB2=2,则△A1B,C1和 第 确定谁是条件，谁 △AB,C2全等. ●[方法总结1] 是结论 步 第二步 尝试由条件推结 论 )》跟踪训练1 下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中p是g的充分条件？ 若条件能推出结 论，则条件为结论 (1)若x>1,则x>2; 的充分条件，否则 (2)若内错角相等，则两直线平行； 步 条件就不是结论 的充分条件 (3)若整数a能被4整除，则a的个位数字为偶数； (4)若(x-1)2+(y-2)2=0,则(x-1)(y-2)=0. 2.集合关杀法 已知条件P:“x∈A” 结论9：“x∈B”,若 A=B,则p是9的充 分条件 016 题型二必要条件的判断 例 .下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ (1)若1x1>2,则x>2; (2)若∠A和∠B是对顶角，则∠A=∠B; (3)已知a,b,c,deR,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d; [方法总结2] 必要条件的两种判断 (4)若四边形ABCD是正方形，则四边形ABCD的四条边相等. 方法 P[方法总结2] 1.定义法：若p→9， 则9是p的必要条 件，即 第一步确定“条件” 与“结论”； 第二步尝试由“结 论”推“条件”， )】跟踪训练2 第三步若由“结论” 能推出“条件”，则 下列“若p,则g”形式的命题中，哪些命题中的g是p的必要条件？ “条件”是“结论” (1)若a是1的平方根，则a=1; 的必要条件 (2)若4x2-mx+9是完全平方式，则m=12; 2集合关系法 (3)若a是无理数，则a是无限小数； 已知条件p:“x∈ (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等 A”，结论9：“x∈ B”,若A2B,则p是 9的必要条件. 题型三充分、必要条件的探求 例 3.(1)已知集合A={2,3,a},B={a2,b},则“a=0”是“A∩B≠0”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 [方法总结3] C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 若p是9的充分（必要） 条件，这样的条件p是 (2)写出“四边形ABCD是矩形”的一个必要条件： 不唯一的 [方法总结3] )》跟踪训练3 (1)（多选)使1x|=x成立的一个必要条件是 A.x<0 B.x≥0或x≤-1 C.x>0 D.x≥-1 (2)“一元二次方程x2-ax+1=0有两个正实数根”的一个充分条件可以 为 ；一个必要条件可以为 ●017 题型四根据充分（必要）条件求参数的范围 例4()已知P:实数满足3<x<a,其中a<09:实数满足-2≤x≤ 若p是g的充分条件，求实数a的取值范围 转化为集合间的包含关系{x3a<x<a,a<0}C{x1-2≤x≤3} (2)已知P=xla-4<x<a+4},Q={x1<x<3},“xep”是“x∈Q”的必 要条件，求实数a的取值范围. 转化为Q二P [方法总结4] [方法总结4] 根据充分（必要）条件 求参数的范围的步骤 1.根据充分条件、必 要条件与集合间的关 系，将问题转化为相 应的两个集合之间的 包含关系； )》跟踪训练4 2建立关于参数的不 (1)若“x<m”是“x>2或x<1”的充分条件，求m的取值范围. 等式（组）进行求解. (2)若“x<-3或>1”是“x>a”的必要条件，求a的取值范围. 随堂检测 重反馈 1.若a∈R,则“a=1”是“1al=1”的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件，也不是必要条件 D.无法判断 2.若p是g的充分条件，则g是p的 A.充分条件 B.必要条件 C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 3.用符号“→”与“”填空： （1)x2=1 x=1; (2)a,b都是偶数 a+b是偶数， 4.已知M={xla-1<x<a+1},N={xl-3<x<8},若N是M的必要条件，则实数a的取值范围为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[6]跟踪训练2：(1)B(2){1,2,3 【解析】（1)U=R,B={xlx>1},.CB={xlx≤1.又A= xlx>0,∴.A∩(CB)={xI0<x≤1}. (2)CB={2},AU(CB)={1,2,3} 例3：(1)由已知A={xlx≥-m},得A=xx<-m, 因为B=xI-2<x<4},(CuA)nB=☑， 在数轴上表示，如右图， CuA B 所以-m≤-2，即m≥2 -m-2024x 所以m的取值范围是{mlm≥2}. (2)由已知得A=xlx≥-m},所以心A=xlx<-m}, 又(CA)∩B≠☑，所以-m>-2,解得m<2 所以m的取值范围是{mlm<2}. 跟踪训练3：(1)2(2)7 【解析】(1)CuA={5},5eU,且5A.a2+2a-3=5 解得a=2或a=-4.当a=2时，12a-11=3≠5，此时A={3, 2,U=2,3,5},符合题意.当a=-4时，12a-1|=9,此时A= {9,2,U=2,3,5},不满足条件A=5},故a=-4舍去.综 上知a=2. (2)U=R,A=xla≤x≤b},∴.CA=xlx<a或x>b}.又 CA={xlx<3或x>4},.a=3,b=4,a+b=7. 随堂检测重反馈 1.DU={0,1,2},CA={2},∴.A={0,1},故选D. 2.By=x2+3≥3，所以A=yly≥3}，阴影部分表示集合为 (CuA)nB,Cu A=yly<3,(Cu A)nB=x1-2<x<3. 选B. 3.D由补集定义可知：CA=xI-3<x≤-2或1<x<3},故选D. 4.{7,9}由题意，得U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},故CmA= 4,6,7,9,10},所以(CuA)nB=7,9. 1.4充分条件与必要条件 1.4.1充分条件与必要条件 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.真假命题2.真命题假命题3.条件结论 知识点二 p→qp中g充分必要充分必要 预习自测 1.AB当“若P,则g”形式的命题为真命题时，9是p的必要条 件.因为选项A,B中的命题是真命题，选项C,D中的命题是 假命题.故选AB. 2.充分由x≥2能推出x≥1，所以“x≥2”是“x≥1”的充分 条件. 题型探究提技能 例1：(1)集合x∈QI0<x<5}是由大于0且小于5的有理数构 成的集合， 所以p→q,所以p是g的充分条件 (2)p→9，所以p是9的充分条件. (3)若1xl=lyl,则x=y或x=-y,所以p台q,所以p不是q 的充分条件 (4)由∠A1=∠A2=30°，BC1=B2C2=2,A1B1=A2B2=2知 ∠B1=∠B,=120°， 所以△AB,C1和△A,B2C2全等，所以P→9，所以p是q的充 分条件. 跟踪训练1：(1)方法一：由x>1台x>2,所以p不是g的充分 条件. 方法二：设集合A={xlx>1},B={xx>2}, 所以B二A,所以P不是9的充分条件. (2)若内错角相等，则两直线平行是真命题」 所以p→g,所以p是g的充分条件. (3)若整数a能被4整除，则a是偶数 所以a的个位数字为偶数： 所以p→g,所以卫是q的充分条件. (4)因为(x-1)+(y-2)2=0台x=1且y=2→(x-1)·(y-2) =0, 所以p→q,所以p是q的充分条件。 例2：(1)因为当1x1>2时，x>2或x<-2,所以p≠q,所以q不是 p的必要条件 (2)因为对顶角相等，所以p→q,所以q是p的必要条件. (3)因为1≠3,5≠3但是1+5=3+3，所以p台q,所以q不是 p的必要条件. (4)因为正方形的四条边相等，所以p→q,所以q是p的必要 条件. 跟踪训练2：(1)1的平方根是±1，所以pg,所以g不是p的 必要条件 (2)因为4x2-mx+9=(2x±3)2，所以m=±12，所以p台q, 所以g不是p的必要条件. (3)因为无理数是无限不循环小数，所以p→q,所以q是p的 必要条件. (4)若a与b互为相反数，则a与b的绝对值相等， 所以p→q,所以9是p的必要条件. 例3：(1)A (2)四边形ABCD的两组对边分别平行（答案不唯一） 【解析】(1)若a=0,则A={2,3,0,B=0,b,满足A∩B≠ ☑，所以充分性成立；若A∩B≠☑，当a=1时也满足条件，因 此必要性不成立；所以“a=0”是“A∩B≠☑”的充分不必要条 件.故选A. (2)因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的两组对边 分别平行，即“四边形ABCD是矩形”能推出“四边形ABCD的 两组对边分别平行”，所以“四边形ABCD的两组对边分别平 行”是“四边形ABCD是矩形”的必要条件. 跟踪训练3：(1)BD(2)a>3(答案不唯一)a>-1(答案不唯 【解析】(1)lxl=x的解为x≥0，设A={xlx≥0，B={xlx≥ 0或x≤-1}，A二B,所以x≥0或x≤-1是使Ix|=x成立的一 个必要条件，同理x≥-1也是使x=x成立的一个必要条件. (2)因为一元二次方程x-ax+1=0有两个正实数根，所以 A=a-4≥0，解得a≥2.故一元二次方程-a+1=0有两个 lx1+x2=a>0, 正实数根的一个充分条件可以为a>3;一元二次方程x2-ax+ 1=0有两个正实数根的一个必要条件可以为>-1. 例4：(1)p:3a<x<a,a<0,即集合A=xl3a<x<a,a<0} q:-2≤x≤3，即集合B={x|-2≤x≤3}.因为p→q,所以 A≤B, r3a≥-2， 所以{a≤3， 2 →-3≤a<0,所以a的取值范围是 a<0 2 14-3sa<0 (2)因为“xeP”是“xeQ”的必要条件，所以QCP, 所以a-4≤！即≤5，所以-1≤a≤5. 1a+4≥3， a≥-1， 即a的取值范围为al-1≤a≤5}. 跟踪训练4：(1)由已知条件知{xlx<m}C{xx>2或x<1}, 所以m≤1.所以m的取值范围是{mlm≤1}. (2)由已知条件得{xlx>a}二xlx<-3,或x>1},所以a≥1. 所以a的取值范围是{ala≥1}. 2 随堂检测重反馈 1.Aa=1→lal=1;lal=1台a=1,所以选A 2.B因为p是q的充分条件，所以p→q,所以q是p的必要条 件.故选B. 3.(1)台(2)→ 【解析】（1)命题“若x2=1,则x=1”是假命题，故x2=1台x =1. (2)命题“若a,b都是偶数，则a+b是偶数”是真命题，故a,b 都是偶数→a+b是偶数. 4.{al-2≤a≤7}因为N是M的必要条件，所以MCN.于是 a-1之3从而可得-2≤a≤7.故实数a的取值范围为 la+1≤8， {al-2≤a≤7} 1.4.2充要条件 教材梳理 明要点 新知初探 知识点一 充分必要 充要 预习自测 1.B若a=3,则集合B={1,4},此时AUB={1,3,4}=A,充分 性成立；若AUB=A,则BCA,所以a+1=3或a+1=4,解得 a=2或a=3,必要性不成立；所以“a=3”是“AUB=A”的充分 不必要条件.故选B. 2.(1)(4)对于(1)，P:x>1,9:x>1,p台9，所以p是q的充要条 件.对于(2)，p→q,但q台p,所以p是q的充分不必要条件. 对于(3)，p台q,但g→p,所以p是q的必要不充分条件.对 于(4)，显然台q,所以卫是9的充要条件 题型探究提技能 例1：(1)B(2)见解析 【解析】(1)因为A={xlx=3k,k∈N,B={xlx=6z,zeN= x|x=3×2z,z∈N},所以B手A,所以“x∈A”是“x∈B”的必要 不充分条件 (2)①因为1x=ly川时，x=y,不一定有x3=y23,而x3=y3时一 定有x=y,必有Ix|=Iyl,所以p是g的必要不充分条件. ②由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知卫是9的 充要条件. ③若A二B,则一定有AUB=B,反之，若AUB=B,则一定有A CB,故p是q的充要条件. ④若两三角形全等，则面积一定相等，若两三角形面积相等 (只需高和底边的乘积相等即可)，却不一定有两三角形全 等，故卫是g的充分不必要条件。 跟踪训练1：(1)D(2)A 【解析】(1)a2+b2>0,则a,b不同时为零；a,b中至少有一个 不为零，则a2+b>0. (2)如图所示，·甲是乙的必要条件，.乙 乙 甲 一甲.又·丙是乙的充分条件，但不是乙的 必要条件，丙→乙，但乙中丙.综上，有丙 →乙一甲，甲台丙，即丙是甲的充分条件，（丙） 但不是甲的必要条件 例2：设p:ac<0,q:关于x的方程a2+bx+c=0有一正根和一 负根， (1)充分性(p→g): 若ac<0成立，则关于x的方程ax2+bx+c=0的判别式△=b2- 4ac>0,且两根之积C<0,所以关于x的方程ax2+bx+c=0有 一正根和一负根成立，即充分性成立 (2)必要性(q→p): 若关于x的方程ax+bx+c=0有一正根和一负根成立，则两根 之积C<0, 所以ac<0成立，即必要性成立。 3 由(1)(2)可得，一元二次方程ax+bx+c=0有一正根和一负 根的充要条件是ac<0. 跟踪训练2：(1)充分性（由a2+b+c2=ab+ac+bc→△ABC为等边 三角形)： 因为a2+b2+c2=ab+ac+bc,所以2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc, 即(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0. 所以a=b,a=c,b=c,即a=b=c,故△ABC为等边三角形： (2)必要性（由△ABC为等边三角形→a2+b2+c2=ab+ac+bc): 因为△ABC为等边三角形，所以a=b=c, 所以a2+b2+c2=3a2,ab+ac+bc=3a2,故a2+b2+c2=ab+ac+bc. 综上可知，命题得证 例3：设p对应的集合为A={xlx-2>0},即A={xlx>2}. q对应的集合为B={xlax-4>0. ra>0, (1)因为p是g的充分不必要条件，所以A系B,即4 la <2. 解得a>2,故实数a的取值范围为ala>2}. (2)因为p是g的必要不充分条件，所以BA ①当a>0时，由BA,得4>2，解得0<a<2: ②当a<0时，显然不满足题意， 综上，实数a的取值范围为al0<a<2}. 跟踪训练3：(1)mlm>2}(2)ala≥1} 【解析】（1)由题意，p:-1<x<3,g:-1<x<m+1,因为g是p的 必要不充分条件，即{x|-1<x<3}手x|-1<x<m+1},则m+1> 3,解得m>2,即实数m的取值范围是{mlm>2}. (2)由x2<x,得x(x-1)<0,得0<x<1.由x-a≤0，得x≤a.设A ={x0<x<1},B=x|x≤a},p是q的充分不必要条件，.A 至B,.a≥1.故实数a的取值范围是{ala≥1}. 随堂检测重反馈 1.B由a2=b2,得a=±b,当a=-b时，a2+b2≠2ab.由a2+b2= 2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 必要不充分条件.故选B 2.B因为“x<a”是“x≥3或x≤-1”的充分不必要条件，故a≤ -1. 3.mlm>2}因为“x>2”是“x>m”的必要不充分条件，所以{xlx >m}是xlx>2}的真子集，所以m>2 4m=-2函数y=+m+1的图象关于直线x=1对称，则-受 =1,即m=-2:反之，若m=-2,则y=x2-2x+1的图象关于直 线x=1对称 1.5全称量词与存在量词 1.5.1全称量词与存在量词 教材梳理明要点 新知初探 知识点一 1.全称V2.全称量词3.Hx∈M,p(x) 知识点二 1.存在了2.存在量词3.xeM,p(x) 预习自测 1.C①③是全称量词命题， 2.①②③④①②③是全称量词命题：④是存在量词命题： ⑤不是命题， 题型探究提技能 例1：(1)命题完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显 然为全称量词命题 (2)命题为存在量词命题 (3)命题完整的表述为“所有的二次方程都存在实数根”，故 为全称量词命题. 3