1.4.2 充要条件(Word学生用书)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册（人教A版)

该高中数学导学案聚焦“充要条件”核心知识点，课堂导入承接上节课充分条件与必要条件，通过“人不犯我，我不犯人”等生活实例引出条件与结论唯一的结构，搭建从逆命题概念到充要条件判定的学习支架。 资料特色在于以情境导入激发兴趣，通过问题链引导逻辑推理，培养数学抽象与逻辑推理素养，习题设计涵盖定义、集合、等价多种判定方法，兼顾基础与综合应用，助力学生自主学习，便于教师评估教学效果。

1.4.2　充要条件 课标要求 情境导入 　　通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系（数学抽象、逻辑推理）. 　　上节课，我们学习了充分条件与必要条件，让我们知道了导致结论成立的条件可能不唯一，同样的条件也可能得出不同的结论，但生活中还有一些实例，比如：“人不犯我，我不犯人，人若犯我，我必犯人”像这种条件和结论唯一的结构，其实在我们数学上，也有很多类似的问题，让我们一探究竟吧！ 知识点一　逆命题 问题　命题A：a＞0，b＞0，若＞1，则a＞b； 命题B：a＞0，b＞0，若a＞b，则＞1. 两命题都是真命题吗？这两个命题的条件和结论之间有什么关系？ 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的　　　　　. 1.“若x＞2，则x2－3x＋2＞0”的逆命题是（　　） A.若x2－3x＋2＜0，则x≥2 B.若x≤2，则x2－3x＋2≤0 C.若x2－3x＋2≤0，则x≥2 D.若x2－3x＋2＞0，则x＞2 2.命题“如果a＋b＝0，那么a，b互为相反数”的逆命题为　　　　　　　. 规律方法 　　改写命题的形式，关键是要分清条件与结论，原命题与其逆命题的条件与结论对调，它们互为逆命题. 知识点二　充要条件 问题　给出以下两个“若p，则q”形式的命题： （1）p：a＝b，q：a＋c＝b＋c； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形三边对应相等. 在上述的两个命题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？ 1.充要条件 命题真假 “若p，则q”为　　　命题；“若q，则p”为　　　命题 推出关系 p　　　q 条件 关系 p既是q的　　　　条件，也是q的　　　　　　　 条件，我们说p是q的　　　　　条件，简称为充要条件 提醒：（1）p是q的充要条件意味着“p成立，则q一定成立；p不成立，则q一定不成立”；（2）p是q的充要条件，则q也是p的充要条件. 2.条件关系判定的常用结论 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q，且q p p是q的充分不必要条件 q⇒p，且p q p是q的必要不充分条件 p⇒q，且q⇒p，即p⇔q p是q的充要条件 p q，且q p p是q的既不充分也不必要条件 （链接教材P21例3）判断下列各题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）. （1）p：｜x｜＝｜y｜，q：x3＝y3； （2）p：△ABC中，AB＞AC，q：△ABC中，∠C＞∠B； （3）p：A⊆B，q：A∪B＝B； （4）p：两个三角形全等，q：两个三角形面积相等. 规律方法 判断充分条件、必要条件及充要条件的3种方法 （1）定义法：直接判断“若p，则q”以及“若q，则p”的真假； （2）集合法：即利用集合的包含关系判断； （3）等价法：即利用p⇔q的等价关系，对于条件和结论是否定形式的命题，一般运用等价法. 训练1　（1）以下选项中，p是q的充要条件的是（　　） A.p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B.p：a＞2，b＜2，q：a＞b C.p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D.p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有唯一解 （2）设集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则A⊆（A∩B）的充要条件为　　　　；一个充分不必要条件可以为　　　　. 知识点三　充要条件的证明 （链接教材P22例4）求证：“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件. 规律方法 充要条件的证明策略 （1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真； （2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的. 提醒：证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向. 训练2　求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 提能点　充分、必要及充要条件的应用 【微思考】 （1）若“x∈A”是“x∈B”的充要条件，则集合A与集合B有什么关系？ （2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则集合A与集合B有什么关系？“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件呢？ 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 【破题思维】 题目信息 信息转化 p是q的必要不充分条件 借助集合的包含关系，可得q⫋p 变式　本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 规律方法 充分条件与必要条件的应用 （1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题； （2）求解步骤：先把p，q等价转化，建立相对应的集合，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解. 训练3　（1）“x≥a”是“x≥2”的必要不充分条件，则a的取值范围为（　　） A.a＞3 B.a＜2 C.a≤2 D.a≥0 （2）设p：m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）；q：1≤x≤3.若q是p的充分条件，则实数m的取值范围为　　　　. 　 1.“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的（　　） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.设a，b∈R，则“a2＋b2＝0”的充要条件是　　　　. 4.已知p：1≤x≤a（a≥1），q：1≤x≤2. （1）当a为何值时，p是q的充分不必要条件？ （2）当a为何值时，p是q的充要条件？ 完成课后作业　第一章　1.4　1.4.2 答案 1.4.2　充要条件 知识点一 导入新知 问题　提示：两个命题均为真命题，命题A的条件是命题B的结论，命题A的结论是命题B的条件. 学习新知 逆命题 即学即练 1.D 2.如果a，b互为相反数，那么a＋b＝0 知识点二 导入新知 问题　提示：p是q的充分条件，也是必要条件；q是p的充分条件，也是必要条件. 学习新知 1.真　真　⇔　充分　必要　充分必要 【例1】　解：（1）因为｜x｜＝｜y｜时，x＝±y，不一定有x3＝y3，而x3＝y3时一定有x＝y，必有｜x｜＝｜y｜，所以p是q的必要不充分条件. （2）由三角形中大边对大角，大角对大边的性质可知p是q的充要条件. （3）若A⊆B，则一定有A∪B＝B，反之，若A∪B＝B，则一定有A⊆B，故p是q的充要条件. （4）若两个三角形全等，则面积一定相等，若两个三角形面积相等，只需高和底边的乘积相等即可，不一定有两个三角形全等，故p是q的充分不必要条件. 训练1　（1）D　（2）a≤9　6≤a≤9（答案不唯一）　解析：（1）对于A，p：x＞1，q：x＜1，所以p是q的既不充分也不必要条件；对于B，p⇒q，但q⇒/ p，所以p是q的充分不必要条件；对于C，p⇒/ q，但q⇒p，所以p是q的必要不充分条件；对于D，显然q⇔p，所以p是q的充要条件.故选D. （2）A⊆（A∩B）⇔A⊆B，B＝{x｜3≤x≤22}.若A＝⌀，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；若A≠⌀，则A⊆B⇔⇔6≤a≤9.综上可知，A⊆（A∩B）的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可以为6≤a≤9. 知识点三 【例2】　证明：充分性：在△ABC中，设AC边上的高为h1，AB边上的高为h2. 则S△ABC＝AC·h1＝AB·h2， 因为h1＝h2，所以AC＝AB， 故△ABC为等腰三角形，充分性成立. 必要性：若△ABC为等腰三角形，设AB＝AC，AC边上的高为h1，AB边上的高为h2， 则根据三角形面积公式S△ABC＝AC·h1＝AB·h2，可得h1＝h2，必要性成立. 故“△ABC中两边上的高相等”是“△ABC为等腰三角形”的充要条件. 训练2　证明：①充分性：因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－a－b，代入方程ax2＋bx＋c＝0中可得ax2＋bx－a－b＝0， 即（x－1）（ax＋a＋b）＝0. 故关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1. ②必要性：因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1， 所以x＝1满足方程ax2＋bx＋c＝0， 所以a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0. 综上所述，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0. 提能点 微思考 （1）提示：A＝B. （2）提示：A⫋B；B⫋A. 【例3】　解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 因为p是q的必要不充分条件， 即{x｜1－m≤x≤1＋m}⫋{x｜－2≤x≤10}， 故有或 解得m≤3. 又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}. 变式　解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）. 若p是q的充要条件，则方程组无解. 故不存在实数m，使得p是q的充要条件. 训练3　（1）B　（2）－≤m≤0 解析：（1）由题意得，{x｜x≥2}是{x｜x≥a}的真子集，故a＜2.故选B. （2）p所对应集合为：{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，q所对应集合为：{x｜1≤x≤3}，因q是p的充分条件，则必有{x｜1≤x≤3}⊆{x｜m＋1≤x≤2m＋4（m∈R）}，于是得解得－≤m≤0，所以实数m的取值范围为－≤m≤0. 随堂自测 1.A　2.A　3.a＝b＝0 4.解：（1）因为p是q的充分不必要条件， 所以{x｜1≤x≤a}⫋{x｜1≤x≤2}， 所以1≤a＜2. 所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件. （2）因为p是q的充要条件， 所以{x｜1≤x≤2}＝{x｜1≤x≤a}，所以a＝2. 所以当a＝2时，p是q的充要条件. 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $