1.1 第2课时集合的表示-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学必修第一册同步新课程学习指导（人教A版）

004 第2课时 集合的表示 新课程标准解读 学科核心素养 掌握集合的两种表示方法（列举法和描述法）。 数学抽象 能够运用列举法和描述法表示一些简单集合 数学抽象 教材梳理明要点 ●情境导入 语言是人类交流和沟通的重要工具.集合可以用自然语言来 [提示] 我们可以用列举法和描述法 叙述，如何用数学的语言来表示集合呢？ [提示] 来表示集合 [知识点反思] 日新知初探 列举法表示集合，元素间要 知识点一列举法 用“，”隔开，元素个数较多 把集合的所有元素 出来，并用花括号“{}”括起来表示 且元素的排列又呈现一定的 集合的方法叫做 规律时，在不至于发生误解的 情况下，也可列出几个元素作 知识点二描述法 代表，其他元素用省略号表示， 一 般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x) 如正整数集可表示为{1,2,3,4， 的元素x所组成的集合表示为 ,这种表 5,}. 示集合的方法称为描述法. ·[知识点反思] 2用描述法表示集合，元素的 代表符号不能省略，如{xx> 白预习自测 )不能写成{x));所有描 1.判断下列说法是否正确，正确的打“V”,错误的打“×” 述的内容都要写在花括号内， (1)由1,2,3组成的集合可用列举法表示为{1,2,3}. ) 如{xe∈Zlx=2m,meN); 元素的取值（或变化）范围，从 (2)集合{(1,2)}中的元素是1和2. ( 上下文的关系来看，若xeR (3)集合A={x|x-1=0}与集合B={1}表示同一个集合. ) 是明确的，则x∈R可省略不2.用描述法表示函数y=3x+1图象上的所有点的集合是 写，如集合{x∈RIx<20)也可表 A.xly=3x+1 B.yly=3x+1 示为{x1x<20}. C.{(x,y)ly=3x+1} D.{y=3x+1 题型探究提技能 题型一用列举法表示集合 例 1.用列举法表示下列集合： (1)大于4且不大于8的整数构成的集合； [方法总结1] 用列举法表示集合的 (2)方程x2=2x的所有实数解组成的集合； 步骤 (3)直线y=x+2024与坐标轴的交，点组成的集合 1.求出集合的元素： 2把元素一一列举出 P[方法总结1] 来，且相同元素只能列 举一次； 3用花括号括起来。 ●005 )》跟踪训练1 用列举法表示下列集合： (1)16的约数组成的集合A;,“约数”是正整数 (2)方程(x-4)2(x-2)=0的根组成的集合B; (3)方程 2x+y=8,的解组成的集合C x-y=1 [方法总结2] 描述法表示集合的两 题型二用描述法表示集合 个步骤 例2用指述法表示下列集合： 写代表元素：在花 括号内写上表示这个 (1)比1大又比10小的实数组成的集合； 集合的元素的一般符 (2)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合； 号及取值（或变化）范 (3)被3除余数等于1的正整数组成的集合. ●[方法总结2] 围.注意集合中的元素 是数还是，点或是其他 元素； 2.明确元素的特征： 》跟踪训练2 在竖线后写出这个集 用描述法表示下列集合： 合中元素所具有的共 (1)大于6的全体奇数组成的集合； 同特征. (2)二次函数y=3x2-1图象上的所有点组成的集合； (3)所有的三角形组成的集合. 题型三集合表示法的综合应用 例3已知集合A=x1-8x+16=01. (1)若集合A中只有一个元素，求实数k组成的集合； [方法总结3] 等价于方程kx2-8x+16=0只有一个根或两个相等实根 由集合的元素个数求 (2)若集合A中有两个元素，求实数k组成的集合 参数问题的关注点 等价于方程有两个不等实根 ·[方法总结3] 1.已知集合用描述法 给出，要弄清集合的代 表元素及其限制 条件； 》跟踪训练3 2.若所给方程是一元 (1)已知集合A={xx2-ax+b=0},若A={2,3},求a,b的值. 二次方程的形式，要对 (2)已知集合M={xlax2-2x+2=0,a∈R}中至多有一个元素，求实数a的 方程中二次项系数是 取值范围. 否为零分类讨论 006 随堂检测重反馈 1.(多选)由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是 A.{-2,0,2,4,6,8,10 B.{0,2,4,6,8,10 C.{x|-3<x<11,x=2h D.{x-3<x<11,x=2k,k∈Z 2.下列集合中恰有2个元素的集合是 A.{x2-x=0} B.xly2-y=0 C.xly=x2-x D.yly=x2-x 3.集合A={(x,y)Ixy≤0，x∈R,y∈R}表示的是 A.第二象限的点 B.第四象限的点 C.第二和第四象限的点 D.不在第一象限也不在第三象限的点 4.设集合A={xlx2-3x+a=0},若4∈A,用列举法表示集合A为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[2] 1.己集合间的基本关系 新课程标准解读 学科核心素养 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 数学抽象、逻辑推理 在具体情境中，了解空集的含义， 数学抽象 能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用. 数学抽象、直观想象 教材梳理 明要点 ●情境导入 [提示] 我们知道，两个实数之间有相等关系、大小关系，如5=5,5<7,5>3等 两个集合之间有包含 关系、真包含关系、 等，两个集合之间是否也有类似的关系呢？ P[提示] 相等关系和不包含 台新知初探 关系。 知识点一子集 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上 的内部代表集合，这种图 称为Ven图. 2.子集 般地，对于两个集合A,B,如果集合A中 一个元 定义 素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的 记法与读法 记作 (或B2A),读作 ”(或“B包含A”) 图示 B 或 A (B) (1)任何一个集合是它本身的子集，即 结论 (2)对于集合A,B,C,若A二B,且BCC,则学案及练案部分 参考答案 [学案部分] 第一章集合与常用逻辑用语 例3：由题意可知，x-2=-3或2x2+5x=-3. 当x-2=-3时，x=-1,把x=-1代人2x2+5x, 得集合的三个元素分别为-3，-3,12 1.1集合的概念 不满足集合中元素的互异性； 第1课时集合的概念 当25=-3时，=或=-1（合去）， 教材梳理 明要点 当=时，集合的三个元素分别为-子-3,12，满足来合 新知初探 知识点 中元素的互异性，放x=-3 2 1.研究对象2.总体集 跟踪训练3：0或-1：-3∈A,∴.-3=a-3或-3=2a-1.若-3= 知识点二 a-3,则a=0,此时集合A中含有两个元素-3，-1，符合题意. 1.确定性互异性无序性2.一样的 若-3=2a-1,则a=-1,此时集合A中含有两个元素-4，-3，符 知识点三 合题意.综上所述，实数a的值为0或-1. 1.aEA agA 随堂检测重反馈 预习自测 1.BCA中，接近于1的所有正整数标准不明确，故不能构成 1.BCD“高尚”没有严格的标准，选项A中的元素不能构成集 集合；B中，小于0是一个明确的标准，能构成集合；C中，点 合，故选BCD. (2,1)与(1,2)是两个不同的点，是确定的，能构成集合；D 中，未来世界的高科技产品没有判断标准，是不确定的，不能 题型探究提技能 构成一个集合 例1：(1)ABC(2)±2 2.B因为-1是整数，不是自然数，所以A不正确；因为0不是 【解析】(1)在A中，中国古代四大发明具有确定性，能构成 集合；在B中，周长为10cm的三角形具有确定性，能构成集 正整数，所以B正确；因为3是无理数，不是有理数，所以C 合：在C中，方程x2+2x-3=0的实数根为-3和1，能构成集 不正确；因为子是实数，所以D不正确， 合：在D中，地球上的小河流不确定，因此不能构成集合 3.e 由集合相等的定义可知，1∈B. (2)由题意得a2=4,a=±2. 4.5由题意得a=3.b=2,所以a+b=5. 跟踪训练1：(1)D(2)-1 【解析】(I)在平面内与定，点A,B等距离的点在AB的垂直 第2课时集合的表示 平分线上，能构成集合，故A错误；游泳能手没有确定的标 准，故不能构成集合，故B错误；由集合中元素的互异性可 教材梳理 明要点 知，由tile中的字母构成的集合中元素为t,i,l,e,共4个，故 新知初探 C错误；因为集合的元素具有互异性，所以a,b,c互不相等， 知识点一 故不可能构成等腰三角形，故D正确。 一一列举列举法 知识点二 (2)由已知可得a≠0，因为两集合相等，又1≠0，所以占=0. a x∈AIP(x)} 所以b=0,所以a2=1,即a=±1，又当a=1时，集合A、B均不 预习自测 满足集合中元素的互异性，舍去，所以a=-1.所以a2m+b2四 1.(1)V(2)×(3)V 【解析】(1)与(3)都是用列举法表示集合，（2)中只有一个元 =-1. 例2：(1)D(2)BC 素(1,2) 2.C该集合是点集，元素的代表符号应为点的坐标(x,y),故 【解析】(1)5>1，故A错；-2<0<1，故B错；1M,故C错； 选C -27<1,故D对 题型探究提技能 例1：(1)大于4且不大于8的整数有5,6,7,8，故所求集合为5,6. 11 (2)令3张-1=-2，解得=3,3Z,所以-2EA:今3-1 7,8 (2)方程x2=2x的解是x=0或x=2,所以方程的解组成的集 =-1山，解得k二-0：-10实乙，所以-1山生4；因为2e工，所以 合为{0,2}. (3)将x=0代入y=x+2024,得y=2024,即直线与y轴的交 3k2-1∈A;令3h-1=-34,解得k=-11,-11eZ,所以-34eA. 点是(0,2024)，将y=0代入y=x+2024,得x=-2024,即直 跟踪训练2：(1)ABC(2)0,1,2 线与x轴的交点是(-2024,0)，故直线与坐标轴的交点组成 【解析】（山）7是实数，5是无理数，1-31=3是自然数， 的集合是{(0,2024)，(-2024,0)}. 跟踪训练1：(1)16的约数有1,2,4,8,16.故A=1,2,4,8,16. 1-√31=√3是无理数.因此，A、B、C正确，D错误，故选ABC （2)方程(x-4)(x-2)=0的解为x=2或x=4,所以B=2,4. (2)由题意可得：3-x可以为1,2,3,6，且x为自然数，因此x 的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0. (3)解2x+y=8,得x二号·所以C=(3,2) Lx-y=1. -309 例2：(1){xeRI1<x<10} (3)①因为P是偶数集，Q是4的倍数集，所以QP.②P= (2)(x,y)Ix<0,且y>0} (3)xlx=3n+1,nEN. k-30时=lo3.0=12-5≥0={≥}所以 跟踪训练2：(1)奇数可表示为2k+1,k∈Z,又因为大于6，故k P军Q.③P={xlx2-x=0={0,1}.在Q中，当n为奇数时，x= ≥3，故可用描述法表示为xlx=2k+1,k∈N,且k≥3}. (2)点可用实数对表示，故可表示为{(x,y)1y=3x2-1. 1+(1)”=0,当n为偶数时，x=+)=1,所以0=0,1， 2 2 (3)xx是三角形}. 所以P=O 例3：(1)①当k=0时，方程kx-8x+16=0变为-8x+16=0,解得 跟踪训练1：(1)C(2)A x=2,满足题意；②当k≠0，要使集合A={xkx2-8x+16=0}中 【解析】(1)B={yly=6m+5,meZ}={xlx=6m+5,meZ}, 只有一个元素，则方程x2-8x+16=0有两个相等的实数根， 任意x∈B,则存在meZ,使x=6m+5,而x=6m+5= 所以4=64-64k=0,解得k=1,此时集合A={4},满足题意. 3(2m+2)-1∈A,故BCA,又.2∈A,2B,.BA.故选C. 综上所述，k=0或k=1,故实数k的值组成的集合为0,1}. (2)集合A,B,C,D,E之间的关系可 (2)由题意可知，方程kx2-8x+16=0有两个不等实根，故k≠ 用Venn图表示，结合右图可知，应 y 0,且△=64-64k>0,即k<1,且k≠0.所以实数k的值组成的 选A. 0 集合为{kIk<1,且k≠0}. 例2：(1)D（2)见解析 跟踪训练3：(1)由A=2,3知，方程x2-a+b=0的两根为2,3， 【解析】(1)满足题意的集合A可 由根与系数的关系得3A因此4=5,6=6 以是{1}，3}，1,2,1,3}，2,3 12×3=b. 共有5个. (2)当a=0时，方程化为-2x+2=0,解得x=1,此时M=1}, (2)因为A={(x,y)lx+y=2,x,yeN},所以A={(0,2),(1,1), 满足条件 (2,0)}. 当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意得4=4-8a≤0，即a 所以A的子集有：0，{(0,2)}，{(1,1)}，(2,0)}，{(0,2)， ≥2，此时方程无实数根或有两个相等的实数根.综合(1) (1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1), (2,0)}. 跟踪训练2：C由题意知，集合A可以为{a,b},{a,b,c},{a,b, 知，当a≥)或a=0时集合M中至多有-个 d,a,b,e,a,b,c,d,a,b,c,e,a,b,d,e. 随堂检测重反馈 例3：(1)当ACB时，如图所示，此时B≠⑦. 1.AD由题意可知，满足题设条件的有选项AD,故选AD. r2m-1>m+1, rm>2, 2.B选项A是以方程为元素的集合，其中只有一个元素.B选 m+1≤-2， 即 m≤-3， m+1-20 52m-1 项中化简得{0,1}符合题意.C选项是个无限集，D选项也是 2m-1≥5， m≥3， 无限集. .m不存在，即不存在实数m使ACB 3.DA={(x,y)Iy≤0，x∈R,y∈R}的元素满足y<0或y= (2)①当B≠0时，若B军A,如图所示 0,当xy=0时，表示两个坐标轴上的点，当xy<0时，表示第二 rm+1≥-2. rm+1>-2, 象限或者第四象限的点.故选D. 2m-1<5,或2m-1≤5. 2m+102m-1 4.{-1,4}.4∈A,∴.16-12+a=0,∴.a=-4,.A={xlx2-3x-4 2m-1≥m+1, 2m-1≥m+1 解这两个不等式组，得2≤m≤3 =0}={-1.4}. ②当B=⑦时，满足B手A,由m+1>2m-1,得m<2. 1.2 集合间的基本关系 综上可得，m的取值范围是{mlm≤3} 跟踪训练3：(1)D(2)见解析 教材梳理 明要点 【解析】(1)当B=☑，即a=0时满足条件.当B≠☑，即a≠ 新知初探 知识点一 0时，B= -},因为BCA,所以有- -∈A,所以a= a L.封闭曲线 ±1：综上可得实数a的所有可能取值的集合是{-1,0,1}.故 2.任意子集ACBA包含于B ACA ACC 选D. 3.A=B ACB BCA (2)当B=☑时，只需2a>a+3,即a>3,此时满足BCA,适合题 知识点二 意；当B≠☑时，根据题意作出如图所示的数轴」 x生AA军BA真包含于B 知识，点三 ■ 不含任何元素② 2aa+3-14 -142aa+3x 预习自测 可得0+3≥20，或+3≥2a,解得a<-4或2<a≤3.综上可 1.4.A=2,4},B=2,3,m},ACB,.集合A中所有的元素 a+3<-1, 12a>4. 都在集合B中，∴.集合A中的元素4在集合B中，∴.m=4. 得，实数a的取值范围为{ala<-4或a>2}. 2.(1)∈(2)∈(3)=(4)(5)(6)= 随堂检测重反馈 题型探究提技能 1.D 例1：(1)BC(2)D(3)见解析 2.BCA应是{1}手{0,1,2}；对于B,集合中的元素有无序性， 【解析】（1)☑不含任何元素，0☑，故A错误；空集是任何集 故B正确：对于C,任何集合都是本身的子集，故{0,1,2}二 合的子集，故B正确：{0,2=2,0，故C正确：D错误，应该是 {1,0,2},故C正确；D应是☑至0. 0{0,1,2. A (2)在A中，M和N中的元素表示不同的点：在B中，M是空 3.C由数轴知B系A.A四■ B -2-101衣 集，N是单元素集；在C中，M是数集，N是，点集；在D中，M= 4.{ala≥6}：A={xl1<x<6},B={xlx<a},由ACB,结合数 yly=x+1,x∈R}=yly≥1}，N={tlt=(y-1)+1,y∈R= tlt≥1}.因此，M=N.故选D. 轴可知a≥6.6。 -310