1.2集合间的基本关系 学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.2集合间的基本关系 冬学习要点 1.掌握（真）子集的概念，理解空集的意义 2.能利用Venn图和数轴表示集合间的关系 3.掌握（真）子集、空集的性质，并能利用它求解有关问题 ”知识结构 定义 子集 图示 性质 定义 真子集 图示 集合间的基本关系 性质 定义 空集 性质 Venn图 图示法 数轴法 冬知识清单 1、知识点1：子集 (1)定义 一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是 集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集。记作A二B或 B2A,读作“A包含于B”或“B包含A”。 若集合A中存在不属于集合B的元素时，就说集合A不是集合B 的子集。记作A￠B,读作“A不包含于B”。 (2)图示 (3)性质 ①A二A,即任何一个集合都是它本身的子集 ②如果A∈B,B二A,那么A=B ③如果A二B,B二C,那么A二C 2、知识点2：真子集 (1)定义 如果集合A二B,但存在元素x∈B,且X生A,就称集合A是 集合B的真子集。记作AB,读作“A真包含于B”(或“B真包 含A”)。 (2)图示 B (3)性质 ①A的子集中除A外，都是A的真子集 ②如果A军B,BC,那么AC 3、知识点3：空集 (1)定义 一 般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为中。 (2)性质 ①空集是任何集合的子集 ②空集是任何非空集合的真子集，即中A(A为非空集合) (3)中与的区别 ①不含任何元素：含一个元素，元素为 ②p三0，中eo} 4、知识点4：图示法 (1)enn图 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为en(韦恩) 图；Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。基本关系如 下： B ACB BCA →A手B →B手A A≠B B≠A A(B) (A B 或A B ACB AB →A=B BCA BCA (2) 数轴法 对于由连续实数组成的集合，通常用数轴来表示，这也属于集合 表示的图示法。 说明：在数轴上，若端点值是集合中的元素，则用实心点表示； 若端点值不是集合中的元素，则用空心点表示。如仲之3}如下图所 示。 ◇随学随练 1.写出集合A=a,b,c的所有子集 【答案】{a以b以c以{a,b小{a,c小，c小{a,b,c} 【解析】由子集的含义可知： ①空集是任何集合的子集，符合： ②只含有1个元素：以以c: ③含有2个元素：a,b小{a,c小b,c: ④含有3个元素： ta,b,cf 2.下列关系错误的是（) A.∈{0,1,2,3} B.0E0} C.0∈中 D.0走中 【答案】C 【解析】不含任何元素的集合叫做空集。 C选项空集不含任何元素，而0是一个元素，显然0不属于空集。 故选C 3.已知集合U=1,23,45,6,A=12,3,集合A与集合B的关系如下 图所示，则集合B可能是() B A.{2,4,5} B.1,2,6} c.1,6} D.1,3} 【答案】D 【解析】由图示可知B≤A,A=1,2,3},上述4个选项中只有D选 项满足条件。 故选D 4设集合A=13,a,B=1,a2-a+1,且BcA,求a的值 【答案】a2或-1 【解析】B≤A,则存在一下2种情况： ①a°-a叶1=3，求得a=2或-1 ②a2-t1=a,求得a=1 但a1时，A=L3,1,B=,1不符合集合定义，舍去 .a2或-1 5.已知集合4=r-3x+2=0,xe,B=40<x<5xeN,求满 足条件A∈C二B的所有集合C。 【答案】1,2}、12,3、1,24、1,23,4} 【解析】由题意可求： A=x2-3x+2=0,xeR}=1,2} B={x0<x<5,x∈N}=1,2,3,4} ,A二C≤B,可分类讨论： ①集合C含有2个元素时：C=1,2} ②集合C含有3个元素时：C=1,23减1,2,4} ③集合C含有4个元素时：C=1,23,4) 故所有集合C为1,2}、九，2,3、{1,2,4}、1,23,4} 6规定集合A=a,4,4o}的子集0a,a%}为集合A的第k个子集， 其中k=2-+2+2++21,则 ①a,a}是集合A的第几个子集？ ②集合A的第211个子集是哪个？ 【答案】①4，a}是集合A的第5个子集 ②a,4,4,a,a是集合A的第211个子集 【解析】 ①当a,a为集合A的子集时，则k=1,3 .k=211+231=5 ∴.a,4}是集合A的第5个子集 ②求集合A的第211个子集，实际是求2-1+2-+21+…+21=211 .2=-1,21=2,22=4,23=8，,24=16,25-32,26=64,27=128 换而言之，从上面数中挑出几个数相加得数要为211 211为奇数，则肯定有2 再观察可得2+2+24+2+2=211 ∴.k11,k=2,k3=5,k=7,'k=8 .a,a,a,4,a}是集合A的第211个子集。1.2集合间的基本关系 冬学习要点 1.掌握（真）子集的概念，理解空集的意义 2.能利用Venn图和数轴表示集合间的关系 3.掌握（真）子集、空集的性质，并能利用它求解有关问题 ”知识结构 定义 子集 图示 性质 定义 真子集 图示 集合间的基本关系 性质 定义 空集 性质 Venn图 图示法 数轴法 冬知识清单 1、知识点1：子集 (1)定义 一般地，对于两个集合A、B,如果集合A中 都是集合B 中的元素，就称集合A为集合B的一。记作 或 读作“”或“” 若集合A中存在 集合B的元素时，就说集合A不是集合B 的子集。记作，读作“”。 (2)图示 B (3)性质 ①A二A,即任何一个集合都是它 的子集 ②如果A∈B,B∈A,那么 ③如果A二B,BcC,那么 2、知识点2：真子集 (1)定义 如果集合A二B,但存在元素 ,且一，就称集合A是 集合B的 记作 读作“ ”（或“ ”)。 (2)图示 B A (3)性质 ①A的子集中除 外，都是A的真子集 ②如果AB,BC,那么 3、知识点3：空集 (1)定义 一般地，我们把的集合叫做空集，记为 (2)性质 ①】 是任何集合的子集 ② 是任何非空集合的真子集，即PA(A为非空集合) (3)中与的区别 ①p 任何元素；含一个元素，元素为 ②9 {o},中 {} 4、知识点4：图示法 (1)enn图 用平面上 的内部代表集合，这种图称为en(韦恩)图； Venn图可以直观、形象地表示出集合之间的关系。基本关系如下： A B B ACB BCA →A手B A≠B B≠A →B手A A(B) B 或A B ACB A史B →A=B BCA BCA (2)数轴法 对于由连续 组成的集合，通常用 来表示，这也属于 集合表示的图示法。 说明：在数轴上，若端点值 集合中的元素，则用 表 示；若端点值 集合中的元素，则用 表示。如冲x≥3如 下图所示。 0 ◇随学随练 1.写出集合A=a,b,c的所有子集 2.下列关系错误的是() A.∈{0,1,2,3} B.0e{0} C.0∈φ D.0庄中 3已知集合U=1,23,4,56,A=12,3,集合A与集合B的关系如下 图所示，则集合B可能是() B A.{2,4,5} B.1,2,6} c.1,6} D.1,3} 4设集合A=1,3,a,B=1,a2-a+1,且BcA,求a的值 5已知集合4=中r-3x+2=0,re,B=0<x<5xeN,求满 足条件A二CcB的所有集合C。 6规定集合A=a,4,40}的子集aaa为集合A的第k个子集， 其中k=2-1+2-1+2-1++21,则 ①a,a}是集合A的第几个子集？ ②集合A的第211个子集是哪个？