练案23 第三章 4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[23] 第三章空间向量与立体几何 §4[4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系] 化组·基础自测 6.(多选题)在如图所示的空间直 z个 一、选择题 角坐标系中，ABC-AB,C1为 1.已知平面a内有一点M(1,-1,2),平面a的 直三棱柱，∠ACB=90°，AC= 一个法向量为n=(2,-1,2),则下列各点在 BC=CC1=1,则 () A.直线AA的一个方向向量为 平面αx内的是 ( B.(2,0,1) (0,0,1) A.(-4,4,0) B.直线AC1的一个方向向量为(0,1,0) C.(2,3,3) D.(3,-3,4) 2.已知平面a的法向量为n=(2,-2,4),AB= C.平面ABC1的一个法向量为(0,0,1) (-1,1,-2),则直线AB与平面a的位置关 D.平面A4C,C的一个法向量为(0,1,0) 二、填空题 系为 A.AB⊥a 7.已知直线1的方向向量v=(2,-1,3),且过 B.ABCa A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点，则y= 2= C.AB与α相交但不垂直 D.AB∥x 8.如图是正四面体的平面展开 图，G,H,M,N分别为DE, 3.如图所示，在正方体ABCD D BE,EF,EC的中点，在这个正 -ABC1D1中，以D为原点 四面体中，①GH与EF平行： 建立空间直角坐标系Oxyz, E,F分别在棱BB1,CC1上， ②BD与MN为异面直线；③DE与MN垂直. 且B,E=2EB,CF=2FC1,则 以上四个命题中，正确命题的序号是 下列向量中，能作为平面AEF的一个法向量 三、解答题 的是 ( 9.如图，已知P是正方形ABCD所在平面外一点， A.(1,-1,3) B.(1,-1,-3) M,N分别是PA,BD上的点，且PM:MA=BN: C.(2,-3,6) D.(-2,3,-6) WD=5:8. 4.若平面a,B的法向量分别为n1=(2,3,5),n2= 求证：直线MN∥平面PBC. (-3,1,-4),则，B的位置关系是 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合 5.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关 系的结论中，正确的是 () A.两条不重合直线l1,l2的方向向量分别是a =(2,3,-1),b=(-2,3,1),则11∥1 B.直线1的方向向量a=(1,-1,2),平面x 的法向量是u=(6,4,-1),则11a C.两个不同的平面a,B的法向量分别是u= (2,2,-1),y=（-3,4,2),则a⊥B D.直线1的方向向量4=(0,3,0)，平面的 法向量是u=(0,-5,0),则l∥ 241 10.如图，直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）：二、填空题 ABC-A,B,C1的底面△ABC中，CA=CB=1,:5.已知直线1∥平面ABC,且1的一个方向向量 ∠BCA=90°，棱A41=2,M,N分别为AB1, 为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, AA的中点 1,0),则实数m的值是 (1)求cos(BA1,CB1)的值； 6.在△ABC中，A(1,-2,-1),B(0,-3,1), (2)求证：BN⊥平面C,MN. C(2,-2,1).若向量n是与AB共线的单位向 量，则向量n的坐标为 ;若向量n与平面ABC垂直，且Inl= 21,则n的坐标为 三、解答题 7.四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边 形，AB=（-1,2,1),AD=(0,-2,3),AP= (8,3,2) (1)求证：PA⊥底面ABCD: (2)求PC的长 乃组·素养提升 一、选择题 1.在正方体AC,中，PQ与直线A,D和AC都垂 直，则直线PQ与BD,的关系是 A.异面直线 B.平行直线 C.垂直不相交 D.垂直且相交 2.已知线段AB的两端点的坐标为A(9,-3,4),8.如图，在平行六面体ABCD-AB,CD1中，0 B(9,2,1),则线段AB与哪个坐标平面平行 是B,D1的中点，求证：B,C∥平面OC,D, A.xOy B.xOz C.yOz D.xOy或y0z 3.在正方体ABCD-AB,CD1中，若E为AC 的中点，则直线CE垂直于 () A.BD B.AC C.A D D.AA 4.如图，四边形ABCD为正方 形，PD⊥平面ABCD,PD∥ Q1,Q1=AB=PD,则平面 PQC与平面DCQ的位置关系为 A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.位置关系不确定 —242练案[23] .cos(BA,CB)= BA·CB IBA IICBI A组·基础自测 1.C设P(x,y,z),若点P在平面a内，则n·M=0,则2(x- /30 1)-(y+1)+2(z-2)=0,经过验证只有点(2,3,3)满足，故 -0 选C. (2)证明：依题意得C(0,0,2),N(1,0,1), 2.AAB=(-1,1,-2),n=(2,-2,4), .n=-2 AB 分2成-（分0）=1,0，-D.威 .n∥AB,.AB⊥c. =(1,-1,1), 3.A设正方体的棱长为1，则A(1,0,0),E1,1,写) C,=乃×1+2×(-)+1x0=0, 1 f0,1号)所以花=(0,1，号)=(-1,0，)设平面 C.B=1×1+0×(-1)+(-1)×1=0, .CM⊥B,C⊥B F的一个法向量为n=(x,,),则”：正=0即 ∴.BN⊥CM,BW⊥CN,且CMC平面C,MW,C,NC平面 ln·E=0, C,MW,C,MnC,N=C.∴.BN⊥平面CMW. B组·素养提升 [y+3=0, 1.B取D点为坐标原点建系后，D4=(1,0,1),AC=(-1,1, 不妨取x=1,则y=-1,z=3,故n=(1,-1, ! 0.设而=(a6,e.则{仁00.取可=l-D 3).故选A. BD=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-P0,.P0∥ 4.Cm1·n,=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0，所以平； BD,PQ∥BD. 面a,B不垂直， 2.CAB=(0,5,-3),则AB在平面y0z上，则线段AB与平面 且n,≠m,所以平面a,B不平行，所以平面a,B相交但不垂y0平行. 直.故选C. :3.A以D为坐标原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴，y 5.Ca与b不平行，选项A错误；直线I的方向向量a=(1, 轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxz.设正方体的棱长为1.则 -1,2),平面a的法向量是u=(6,4,-1)且a·u=1×6-1 ×4+2×(-1)=0,所以l∥a或1Cax,选项B错误；两个不同 c01.0)41,00.(分21 的平面a,B的法向量分别是4=(2,2，-1)，y=(-3,4,2), 且·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以a⊥B,选项C正 D 确；直线1的方向向量a=(0,3,0),平面a的法向量是u= (0,-5,0)且u=-3a,所以11a,选项D错误 6.ACD在直三棱柱ABC-AB,C中，AA∥CC1,AC1∥AC, CC1⊥平面ABC1,BC⊥平面AA,C,C, 所以向量(0,0,1)是直线A41的一个方向向量，(1,0,0)是 A1C1的方向向量，(0,0,1)是平面ABC,的法向量，(0,1,0) 成-（分，）花=(-11,0.励=(-1，-1,0 是平面AAC,C的法向量，故选ACD. AD=(-1,0,-1),AA=(0,0,-1), 7号多图为a-(-1,2--3).am放号2 2 -1 :店.励=(-1)x3+(-D×-2）+0x1=0, 号放=号= 成花--10，成i=-号0，成.=-1≠0， &.②③还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN .CE⊥BD 为异面直线，DE与MW为异面直线且垂直. 4.B由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC 9.证明：M=M+PB+B ⊥DA.以D为原点，DA,DP,DC所在直 =-PM+PB+BN 线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角 B =+成+励 坐标系，如图， 设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1), =音-脑+成+音（瓜+脑） Q(1,1,0),P(0,2,0), 所以D0=(1,1,0),DC=(0,0,1),P0=(1,-1,0) 励-励+成=成-是㎡ 所以D·P0=0,Dd·P=0,即P1D0,P1DC, .M与B元、B共面，.M∥平面BCP, 又因为DQ∩DC=D, MN￠平面BCP,∴.MN∥平面BCP. 所以PQ⊥平面DCQ,故平面PQC⊥平面DCQ, 5.-3AB=(1,0,-1),AC=(0,1,-1), 10.以C为原点，CA,CB,CC1所在的直线分别 为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 :l∥平面ABC,所以存在实数入，使a=入A店+uA心， 即(2，m,1)=A(1,0,-1)+u(0,1,-1), Cxyz. B .入=2，m=u,-入-u=1, (1)依题意得A(1,0,2),C(0,0,0),B(0, 解得m=-3. 1,0),B1(0,1,2), .BA=(1,-1,2),CB=(0,1,2), s(吾9}-9(-24)或2-4 BA·CB,=1×0+(-1)×1+2×2= -1)根据题意，得A正=(-1，-1,2)，4C=(1,0,2). 3,1BA1=6,1CB1=5, 设n=(x,y,z),若向量n是与AB共线的单位向量， 382 则片片= 「x 33 x2+y2+2=1 4.B以D为原点，DA,DC,DD,所在直线 D,3 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标 系，如图所示，则D(0,0,0),E(2,2,2), 若n与平面ABC垂直， A(2,0,3),B(2,2,3). D 则n·店=0 即-x-y+2z=0, 「z= 4 D2=(2,2,2),A1B=(0,2,0),.D2 n·At=0,1x+2z=0, 可得 ·A1B=4,IDE1=25,1A1B1=2. x=-2 设异面直线DE与AB,所成的角为0， 又因为n=√2I,所以√+y+z=2I,解得y=4或y= 则os0=1cos(D2,4B)1= DE·ABI 4 3 DAB125×2 3 -4. 当y=4时，x=-2,z=1; 当y=-4时，x=2,z=-1. 又0e(0,] 所以n=(-2,4,1)或n=(2,-4,-1). 7.(1)证明：AB=(-1,2,1),AD=(0,-2,3),AP=(8,3,2), .AP·AB=0,AP·AD=0, 故如0v0:V1-(图-套 .AP⊥AB,AP⊥AD, 5.B由AB=1,BC=2,知AC=5,OA 即AP⊥AB且AP⊥AD, 又：AB∩AD=A,AB,ADC平面ABCD, =2’ ∴.AP⊥平面ABCD. (2)A=(-1,2,1),A⑦=(0，-2,3)，A2=(8,3,2), 又：PM=1,P0LACP0=2 AC=AB+A⑦=(-1,0,4)，P元=AC-Ad=(-9,-3,2), :0B=0A=至 ..1PC1=94 an0= 3·应选B 8.证明：设DA=a,D元=b,DD=c, 6.BC如图， CB:=a+c.DC:=b+e.D0-DD:+D0=c+(a+b). 设存在实数x,y,使得CB=xDC+yD0成立， ma+c=x(b+c)+yc+2(a+b)=2a+(x+26+ (x+y)c , 因为a,b,c不共线，所以 +子-0，解得=1， Ly=2, B x+y=1, 取AC中点E,AC中点F,连接EF,EB,,则EB,EC,EF三 所以CB=-DC+2Dd,即向量CB,DC,Dd共面 条直线两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标 因为向量CB不在DC,D0所确定的平面OC,D内， 系E-yz. 所以BC∥平面OCD. 设AB=2,则A4=23, 练案[24] A1(0,-1,0),C(0,1,0),A(0,-1,23),C(0,1,23), B(5,0,0),AC=(0,2,-23), A组·基础自测 平面ABC的一个法向量为m=(0,0,25), 1.A设直线l与平面α所成的角为0(0≤0≤），则sin0= ∴.AC与平面ABC所成角的正弦值为Icos(m,AC)1= 1asmm1=惯设宁所以0=君 Im·AC112E 1ml·lAC14×252 2.B以D为原点建立空间直角坐标系，如图， 则成=11,0)店=(0.1,2) ~A品的中点太的坐标为（汽，-子0小，平面4BB的一 0 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 个法向量为C-(-名.0小： .DB·n=0,DE·n=0, 可得平面BDE的法向量n=(1,-1, .AC,与平面AA,B,B所成角的正弦值为1cos(AC,KC)I= D 2),而BA=(0,-1,1), 1AC·KC=3=E cos(BM,n)=1+2=5 2万2(BA,A IAC11KC4×54 .选BC n〉=30°. 9 :以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、 .直线AB与平面BDE成60°角. 1. 3.D设a与l所成的角为0，则sim0=1cos(a,n〉1= y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，A1(4,0,3),B(4,4,0), 兴-2k线与a00c-40.9.与的夹是 B(4,4,3),C(0,4,0), 为0， —383