第3章 4.2 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量在立体几何中的应用，系统梳理方向向量、法向量概念，通过线面平行、面面平行的判断，点与平面位置关系及综合证明计算，构建从基础概念到应用的学习支架。 资料设计覆盖选择、填空、解答题，层次递进，通过坐标法证明（如第10题面面平行）培养抽象能力、推理意识与模型观念，课中辅助教师教学，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1．已知直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则“m·n＝0”是“l∥α”的(　　) A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 解析：选D．若m·n＝0，则l∥α或l⊂α，故充分性不成立，若l∥α，则m·n＝0，故必要性成立，所以“m·n＝0”是“l∥α”的必要不充分条件． 2．已知平面α∥β，n＝(－1，2，3)为平面α的一个法向量，则下列向量可能是平面β的一个法向量的是(　　) A．(1，－2，3) B．(3，－1，2) C．(1，2，－3) D．(－，1，) 解析：选D．因为α∥β，设平面β的法向量为m，所以m∥n，即存在实数λ，使m＝λn＝(－λ，2λ，3λ)，只有D项满足条件． 3．已知点M0(2，3，4)，平面α＝{M|n·＝0}，且平面α的法向量n＝(1，－1，1)，则下列各点中不在平面α内的是(　　) A．(1，0，2) B．(4，2，1) C．(1，2，3) D．(3，－1，－1) 解析：选C．设选项中的点为M，对于A，＝(－1，－3，－2)，所以n·＝－1＋3－2＝0，故A不满足题意； 对于B，＝(2，－1，－3)，所以n·＝2＋1－3＝0，故B不满足题意； 对于C，＝(－1，－1，－1)，所以n·＝－1＋1－1≠0，故C满足题意； 对于D，＝(1，－4，－5)，所以n·＝1＋4－5＝0，故D不满足题意． 4．已知直线l和平面α，且l∥α，l的方向向量为l＝(2，m，1)，平面α的一个法向量为n＝(－1，，n)，m>0，n>0，则＋的最小值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C．依题意，l·n＝－2＋m＋n＝0，即m＋n＝2，所以＋＝(＋)(m＋n)＝(2＋＋)，又m>0，n>0，所以>0，>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即m＝，n＝1时，取到等号，所以＋＝(2＋＋)≥2，即＋的最小值为2. 5．如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则点M的坐标为(　　) A．(1，1，1) B．(，，1) C．(，，1) D．(，，1) 解析：选C．设AC，BD交于点O，连接OE(图略).设点M的坐标为(x，y，1)，因为AC∩BD＝O，所以O(，，0)，又E(0，0，1)，A(，，0)，所以＝(－，－，1)，＝(x－，y－，1)，因为AM∥平面BDE，AM⊂平面ACEF，平面ACEF∩平面BDE＝OE，所以∥，易得＝，即 解得 所以点M的坐标为(，，1). 6．(多选)已知v1，v2分别为直线l1，l2的方向向量(l1，l2不重合)，n1，n2分别为平面α，β的法向量(α，β不重合)，直线l1，l2均在平面α，β外，则下列说法中，正确的是(　　) A．v1∥v2⇒l1∥l2 B．v1⊥v2⇒l1∥l2 C．n1∥n2⇒α∥β D．v1⊥n1⇒l1∥α 解析：选ACD．两直线的方向向量平行，且两直线不重合，则两直线平行，A正确；两直线的方向向量垂直，则它们也垂直，B错误；两个平面的法向量平行，且两个平面不重合，则这两个平面平行，C正确；一条直线的方向向量与一个平面的法向量垂直，则这条直线(直线在该平面外)与该平面平行，D正确． 7．若两不重合平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3，5)，ν＝(－1，，－)，则α与β的位置关系是________． 解析：因为u＝－2ν，α，β不重合，所以α与β平行． 答案：平行 8．(2026·上海期中)已知平面α∥平面β，α与β的法向量分别为m，n，且m＝(1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，则z＝__________． 解析：因为平面α∥平面β，α与β的法向量分别为m，n，所以m∥n， 所以n＝λm，即(－3，6，z)＝(λ，－2λ，5λ)， 所以解得所以z＝－15. 答案：－15 9．如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在BD上，且BE＝BD，点F在CB1上，且CF＝CB1，若平面ADD1A1内存在一点G使得B1G∥平面DEF，则一个满足条件的点G的坐标为________． 解析：由题知D(0，0，0)，E(2，2，0)，F(1，3，1)，B1(3，3，3)， 得＝(2，2，0)，＝(1，3，1)， 设G(a，0，b)，平面DEF的法向量为n＝(x，y，z). 则即 令x＝1，则n＝(1，－1，2)，＝(a－3，－3，b－3)， n·＝a－3＋3＋2(b－3)＝a＋2b－6＝0，即a＋2b＝6. 取a＝3，则b＝，故点G(3，0，). 答案：(3，0，)(答案不唯一) 10．(13分)如图所示，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点．求证： (1)MN∥平面PAD；(6分) (2)平面MNQ∥平面PAD.(7分) 证明：(1)因为PA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD， 因为四边形ABCD为矩形，所以AB⊥AD， 所以AB，AD，AP两两垂直， 所以以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设B(b，0，0)，D(0，d，0)，P(0，0，d). 则C(b，d，0)，因为M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点， 所以M(，，)，N(，0，0)，Q(，d，0)，　 所以＝(0，－，－). 易知平面PAD的一个法向量为m＝(1，0，0)，且·m＝0，即⊥m. 又因为MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD. (2)因为＝(0，－d，0)， 且·m＝0，所以⊥m， 又QN⊄平面PAD， 所以QN∥平面PAD. 又由(1)知MN∥平面PAD，且MN∩QN＝N，MN，QN⊂平面MNQ， 所以平面MNQ∥平面PAD. 11．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M均是所在棱的中点，则下列说法正确的是(　　) A．B1G∥DM B．B1G∥平面A1EF C．平面BDM∥平面A1EF D．B1G∥A1F 解析：选ABC． 依题意，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，则D(0，0，0)，G(0，1，0)，M(2，1，2)，E(2，1，0)，F(1，0，0)，B(2，2，0)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，所以＝(－2，－1，－2)，＝(2，1，2)， 所以＝－，即∥，即B1G∥DM，故A正确； 所以＝(0，1，－2)，＝(－1，0，－2)，设平面A1EF的法向量为n＝(x，y，z)，则即 令z＝1，则x＝－2，y＝2， 所以n＝(－2，2，1)， 所以n·＝(－2)×(－2)＋2×(－1)＋1×(－2)＝0，即n⊥，又B1G⊄平面A1EF，所以B1G∥平面A1EF，故B正确； 所以＝(2，1，2)，＝(2，2，0)，设平面BDM的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则 即 令x1＝2，则y1＝－2，z1＝－1， 所以m＝(2，－2，－1)，所以n＝－m，即n∥m，所以平面BDM∥平面A1EF，故C正确； 因为＝(－2，－1，－2)，＝(－1，0，－2)，所以B1G和A1F不平行，故D错误． 12．如图，在四棱锥A1-BCDE中，A1E⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，EB∥DC，DE⊥EB，EB＝ED＝1，DC＝2，△A1ED为等腰直角三角形，点F在棱A1C上，若点P为DB的中点，且PF∥平面A1ED，则点F的坐标为________． 解析：结合已知条件和题图可知，A1(0，0，1)，E(0，0，0)，D(0，1，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(，，0)，不妨设F(x0，y0，z0)，因为点F在棱A1C上， 所以＝λ，λ∈[0，1]，解得x0＝2λ，y0＝λ，z0＝1－λ， 所以F(2λ，λ，1－λ)， 从而＝(2λ－，λ－，1－λ)， 由题意可知，＝(1，0，0)为平面A1ED的一个法向量， 故·＝2λ－＝0，解得λ＝∈[0，1]，从而点F的坐标为(，，). 答案：(，，) 13．(15分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，点M为棱AA1的中点，P，Q分别为棱BB1，CC1上的点，且B1P＝CQ＝1，PQ交BC1于点N. (1)求证：MN∥平面ABCD；(7分) (2)求证：四边形DMPQ为平行四边形，并计算其面积．(8分) 解：(1)证明：如图，过点N作NE⊥BC于点E，连接AE， 由题意得，N为BC1的中点， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为M为AA1的中点，所以EN∥AM，EN＝AM， 所以四边形AMNE为平行四边形， 所以MN∥AE， 因为MN⊄平面ABCD，AE⊂平面ABCD， 所以MN∥平面ABCD. (2)如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，M(4，0，2)，P(4，4，3)，Q(0，4，1)， 所以＝＝(4，0，2)， 所以DM∥QP且DM＝QP， 所以四边形DMPQ为平行四边形， 又DM＝2，DQ＝， 所以cos ∠MDQ＝＝， 所以sin ∠MDQ＝， 所以四边形DMPQ的面积为S＝|DM|·|DQ|·sin ∠MDQ＝4. 14．(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3，PC＝2，BE∶EP＝1∶2，FC＝2，CD⊥BC. (1)证明：平面AEF∥平面PCD；(6分) (2)在棱PC上是否存在一点G，使得DG∥平面PAB？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)证明：如图，连接AC，由于PA⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则PA⊥AC. 且PA＝2，PC＝2， 则AC＝＝2. 又AD＝CD＝2，则AD2＋CD2＝8＝AC2，故CD⊥AD. 又CD⊥BC，则AD∥FC， 又AD＝FC＝2，则四边形ADCF为正方形．则AF∥CD. 又AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，则AF∥平面PCD. 由于BC＝3，FC＝2，则BF＝1. 又BE∶EP＝1∶2，则BE∶BP＝BF∶BC＝1∶3， 则△BEF∽△BPC，则∠BEF＝∠BPC，则EF∥CP. 又EF⊄平面PCD，CP⊂平面PCD，则EF∥平面PCD. 又EF∩AF＝F，EF，AF⊂平面AEF，则平面AEF∥平面PCD. (2)由(1)可知，四边形ADCF为正方形，PA⊥平面ABCD，则PA，AF，AD两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系． 则P(0，0，2)，C(2，2，0)，A(0，0，0)，B(2，－1，0)，D(0，2，0)， 假设棱PC上存在一点G，使得DG∥平面PAB，设＝λ＝λ(2，2，－2)＝(2λ，2λ，－2λ)，λ∈[0，1]，则G(2λ，2λ，－2λ＋2)，λ∈[0，1]. 设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)， 且＝(0，0，2)，＝(2，－1，0). 则则取x＝1，解得m＝(1，2，0). 又＝(2λ，2λ－2，－2λ＋2)，因为DG∥平面PAB，则⊥m. 即·m＝0, 则1×2λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝.此时＝. 故棱PC上存在一点G，使得DG∥平面PAB，＝2. 15．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝λ(0<λ<1)，＝μ(0<μ<1)，若MN∥平面AA1C1C，则线段MN长度的最小值为(　　) A． B． C． D． 解析：选D． 如图，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．连接DN，DB. 则有D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，B(1，1，0)，依题意，＝λ＝λ(1，0，1)＝(λ，0，λ)，＝＋＝＋μ＝(0，1，0)＋μ(0，－1，1)＝(0，1－μ，μ)， 于是，＝－＝(－λ，1－μ，μ－λ). 又因为DB⊥AC，CC1⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD，则CC1⊥DB，又CC1∩AC＝C，CC1，AC⊂平面ACC1A1，故DB⊥平面ACC1A1，故平面AA1C1C的法向量可取为n＝＝(1，1，0)，因为MN∥平面AA1C1C，故·n＝－λ＋1－μ＝0，即λ＋μ＝1. 则||2＝λ2＋(1－μ)2＋(μ－λ)2 ＝2λ2＋(1－2λ)2＝6λ2－4λ＋1 ＝6(λ－)2＋， 因为0<λ<1， 故当λ＝时，||min＝. 学科网（北京）股份有限公司 $