练案22 第三章 4.1 直线的方向向量与平面的法向量-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[22] 第三章空间向量与立体几何 §4[4.1直线的方向向量与平面的法向量] 名组·基础自测 一、选择题 1.若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线1上，则直线1 A(O 的一个方向向量为 B-1 A.(2,1,1) B.(-2,2,2) C.(-3,2,1) D.(2,1,-1) A.直线DD1的一个方向向量为(0,0,1) 2.已知AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),则平面ABC B.直线BC1的一个方向向量为(0,1,1) 的一个单位法向量为 C.平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0) D.平面B,CD的一个法向量为(1,1,1) 二、填空题 c(-号 (哈号 7.若向量a=(x,2,1),b=(1,y,3)都是直线1 的方向向量，则x+y= 3.下列说法中不正确的是 ）8.如图，在长方体ABCD- D A.平面α的法向量垂直于与平面α共面的所 AB1C1D1中，AB=2,A41= A 有向量 3,AD=2V2,P为C1D1的 B.一个平面的有法向量互相平行 中点，M为BC的中点，则 C.如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平 AM与PM的位置关系是 面也垂直 D.如果向量a,b与平面a共面，且向量n满足n 三、解答题 ⊥a,n⊥b,那么n就是平面ax的一个法向量 9.已知三棱锥P-ABC,PA⊥平面ABC,AB⊥BC, 4.已知点P(0,1,0),Q(-2,0,1),则直线PQ的 一个方向向量可以为 () PA=AB=4,BC=2,过点A作AM⊥PB于点 A.(-2,-1,-1) M.以B为原点，BC,BA所在的直线分别为x B.(1,-2,1) 轴、y轴，过点B且与平面ABC垂直的直线为z C.(4,2,-2) D.(4,-2,2) 5.如图，正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为1，则 轴建立空间直角坐标系，如图所示. (1)求直线AM的一个方向向量； () (2)求平面PBC的一个法向量. A.直线DD,的一个方向向量为(0,1,0) B.直线AB的一个方向向量为(0,0,1) C.直线BC,的一个方向向量为(0,1,1) D.直线B,D的一个方向向量为(1,1,1) 6.(多选题)在如图所示的坐标系中，ABCD- A,B,C,D,为正方体，则下列结论中正确的是 —239 10.在三棱锥0-ABC中，OA=0B=1,0C=2,0A, A.(1,-4,2) OB,OC两两垂直，试找出一点D,使BD∥AC, B(4-12》 DC∥AB. c(-41,-2》 D.(0,-1,1) 二、填空题 5.在空间直角坐标系0-xyz中，已知平面ax的 一个法向量是n=(1,-1,2),且平面a过点 A(0,3,1).若P(x,y,z)是平面上任意一点， 则点P的坐标满足的方程是 6.已知O为坐标原点，四面体OABC的顶点A(0, 3,5),B(2,2,0),C(0,5,0),直线BD∥CA,并且 与坐标平面xOz相交于点D,则点D的坐标为 8组·素养提升 一、选择题 三、解答题 1.如图所示，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，若E7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩 是AC1的中点，则直线CE垂直于() 形，PA⊥平面ABCD,AB=AP=1,AD=W3,试 建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的 一个法向量。 A.直线AC B.直线BD C.直线AD D.直线AD 2.已知平面a内两向量a=(1,1,1),b=(0,2, -1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若c为平面 的法向量，则m,n的值分别为 () A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 3.在三棱锥P-ABC中，CP,CA,CB两两垂直，8.已知M为长方体ABCD-AB,C,D的棱BC AC=CB=1,PC=2,在如图所示的坐标系下， 的中点，点P在长方体ABCD-AB,C,D,的面 下列向量是平面PAB的法向量的是() CC1DD内，且PM∥平面BB,DD,试探讨点P 的确切位置 、B A1,1 B.(1,2,1) C.(1,1,1) D.(2,-2,1) 4.已知直线1过点P(1,0,-1)且平行于向量 a=(2,1,1),平面a过直线1与点M(1,2,3), 则平面αx的法向量不可能是 () 240所以p+q=9. AB=(1,0,0),所以直线AB的一个方向向量为(1,0,0)， 7.(1)由题意，建立如图所示的空间直 2 又向量(0,0,1)垂直于(1,0,0)， 角坐标系，则A(0,0,0),B(3,0,0), ∴.B不正确； C(3,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2), AD1∥BC1,AD=(0,1,1), 0,2小从而花=(，1.0.店 ∴.C正确： …BD=(-1,1,-1) =(5,0,-2).则 “.直线BD的一个方向向量为(-1,1，-1)， cos(Ad,Pi=4C·P店 又(-1,1，-1)与(1,1,1)不共线， IAC·IPB ∴.D不正确.故选C. 3=3万 6.ABC设正方体ABCD-A1B,C,D1的棱长为1， 2万14 (4,P宝的余弦值为3万 则B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),C(1,1,1),D1(0,1,1), 14 因为DD=(0,0,1),故A正确； (2)由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为(x,0,z),则 因为BC=(0,1,1),故B正确； N=(-x,2,1-由NE⊥平面PAC可得， 直线AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0),故C正确； AC=(1,1,1),C7=(-1,0,0),AC·C⑦=-1， N2.A=0， (-x,,1-00,2)=0. AC不垂直C⑦，所以AC,与平面B,CD不垂直，故D错误.故选 N.A元=0， 即 -,1-(5,10)=0, ABC. 7 2-1=0, 3 根据题意可知，∥b,故存在实数入，使a=入b,即(x,2, 化简得 x= 1)=λ(1，y,3), 2=0, 6 lz=1, 即x=A,2=Ay,1=3入， 即N点的坐标为(0， ! 解得入=分了=6，=宁+y=兮+6=号 1 1 8.(1)设D(x,y,2),则Di=(-x,1-y,-z),A元=(-1,0,2)， 8.PM1AM以D点为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为x轴、 DC=(-x,y,2-z),AB=(-1,1,0). y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为DB∥AC,DC∥AB, 可得D(0,0,0),P(0,1,W3),C(0,2,0),A(22,0,0),M(2, 所以存在实数m,n,有 (-x,1-y,-z)=m(-1,0,2), 2,0). (-x,-y,2-z）=n(-1,1,0), 2 rx=-1, D 解得{y=1,即D(-1,1,2) lz=2. (2)依题意AB=(-1,1,0),AC=（-1,0,2)BC=(0,-1,2). 假设存在实数，B,使得AC=αAB+BBC成立，则有(-1,0， 2)=a(-1,1,0)+B(0,-1,2)=(-a,a-B,2β)，所以 fa=1, α-B=0,故存在&=B=1,使得AC=AB+BC成立. .P7=(2,2,0)-(0,1,5)=(2,1,-5),Ai=(2,2,0) l2B=2, -(22,0,0)=(-2,2,0), 练案[22] 由此可得P·A=(2,1,-√5)·（-√2,2,0)=-2×2 +1×2+0×(-3)=0, A组·基础自测 即PM⊥A立，可得AM L PM. 1.B因为AB=(-1,1,1),由共线向量可知与共线的非零向9.在给定空间直角坐标系中，B(0,0,0),C(2,0,0),4(0,4,0), 量都可以作为直线1的方向向量，又AB=(-1,1,1)= P(0,4,4) 之（-2.2,2)，所以(-22.2)是直线1的-个方向向量 (1)解法一：B=(0,4,4),设M(x,0,0）,则A7=(0,0- 故选B. 4,20),Bi=(x0,0,20）. 2.B设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则 由A立⊥B2得0×x0+4(y0-4)+4红=0，即%+0=4. 有2x+2+2=0, 由BM∥BP得Bi=入BP 4x+5y+3z=0 即(x0X0,）=A(0,4,4)=(0,4入，4)， 取x=1,则y=-2,z=2, r0=0, 所以n=(1,-2,2).因为ln|=3,所以平面ABC的一个单位 所以=4，所以4M+4=4,A=7即M(02,2). 法向量可以是（号子，一子】 lz0=4入， 所以直线AM的一个方向向量为A=(0,-2,2). 3.D选项A,B,C的说法显然正确.对于D选项，只有当a,b不共 解法二：BP=(0,4,4),AB=(0,-4,0). 线且a∥α，b∥α时，才能得出结论.依据是线面垂直的判定定理： 设Bi=入B2=(0,4A,4入)，则A=A店+B7=(0,-4,0)+ 与平面内两条相交直线都垂直的直线垂直于相交直线所在的平 (0,4入，4入)=(0,4λ-4,4λ). 面.故选D. 又AMLBP,即AM L BP 4.C由题意得P0=(-2,-1,1),则直线PQ的方向向量为 所以AM·B2=(0,4入-4,4A)·(0,4,4)=4(4入-4)+4× 入P可=(-2入，-入，A)(A≠0) 逐项分析即可知只有C符合要求.故选C :0解得小=子 5.CA41∥DD,且41=(0,0,1)，.A不正确； 所以AM=(0,-2,2)即为直线AM的一个方向向量. 380 (2)解法一：BC=(2,0,0),BP=(0,4,4). 「y=-2z, 设平面PBC的一个法向量为n=(x,y,z),则 解得 经验证显然选项D不合适，故选D. 「n·BC=2x=0, x=2 n·脉=4y+4=0,令2-1，则y=1, 5.x-y+2z+1=0根据题意，平面a的一个法向量n=(1, 故平面PBC的一个法向量为n=(0,1,-1) ! -1,2), 解法二：由PA⊥平面ABC知PA⊥BC,又AB⊥BC,且PA∩AB 点A(0,3,1)在平面a上，P(x,y,z)是平面a上任意一点， =A,则BC⊥平面PAB,所以BC⊥AM: .向量AP=(x,y-3,z-1), 而AM⊥PB,PB∩BC=B,所以AM⊥平面PBC 则n·AP=x-(y-3)+2z-2=x-y+2z+1=0, 故平面PBC的一个法向量即AM=(0,-2,2). 故点P的坐标满足的方程是x-y+2z+1=0. 10.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,1,0),6.(2,0,5)、由题意可设点D的坐标为(x,0,z),则B⑦=(x-2, C(0,0,2),设所求点D(x,y,z). -2,z),CA=(0,-2,5), :直线BD∥CA, -2=0解得=2， lz=5, 1z=5, ∴.点D的坐标为(2,0,5) 7.如图所示，建立空间直角坐标系A-yz,则P(0,0,1),C(1, 5,0), 由BD∥AC,DC∥AB,可得B∥AC,D元∥AB,因 此，y-1,2)=6(-10,2), 1(-x,-y,2-z)=k(-1,1,0), x=-1, 解得y=1, z=2. 即点D的坐标为(-1,1,2). 2 B组·素养提升 所以P元=(1,5，-1)即为直线PC的一个方向向量。 1.B如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z), 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则 因为D(0,5,0),所以PD=(0,3,-1), A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2), C(0,2,2),D1(0,0,2),所以E(1,1,2),所以C2=(1, 则n:0即+-=0令y=1,则=，=0，则 n·pPi=0,l5y-z=0, -1,2),又AC=(-2,2,0),BD=(-2,-2,0),A1D=(-2, 0,-2),A1D=(-2,0,0),则C2·A元=-4≠0，C2·BD=0, n=(0,1,3), C2·A1D=-6≠0，C2·AD=-2≠0，所以C应1B成.故 所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,√3) 选B. :8.以D为坐标原点，以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设E,F分别为DC,DC 的中点， A B /A 2A由题意知{：C=0又c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), MC 1b·c=0, B 两以628 根据题意可设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),B(a,b, 0),D(0,0,c),P(0,y,z),C(0,b,0), 即3m+n+1=0 {m+5n-9=0所以m=-1,n=2,故选A ! 则M3,60 3.A由题意知，A(1,0,0),B(0,1,0),P(0,0,2), 又因为PM∥平面BB,D,D,根据空间向量基本定理知，必存在 所以PA=(1,0,-2),P2=(0,1,-2), 实数对(m,n),使得Pi=mD成+nDD, 设平面PAB的法向量n=(,y,),则-2=0， y-2z=0. 即(3a6-y,-2=(ma,ab,c）) 即t=22, 1 ly=2z, 2 a=ma, 【m22 令：=方，则=1y=1,故选入 即 6-y=m6,解得 =2b, 4.D设平面的法向量为n=(x,y,z), -z=nc, lz=-nc,n∈R 又P=(0,2,4), 叫网8 则点P的坐标为(0，子，-心 ! 所以点P在平面DCC,D的边DC的垂直平分线EF上. —381