3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学北师大版选择性必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦直线方向向量与平面法向量，分层设计从基础概念到综合应用，梯度清晰，助力知识巩固与数学思维发展。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方向向量平行、法向量求解|直接应用定义，如第1题方向向量平行求参数| |中档|结合几何图形、三角函数|多题型融合，如第6题多选结合菱形性质| |提升|空间几何证明、复杂法向量|解答题需逻辑推理，如第15题证明法向量|

4.1　直线的方向向量与平面的法向量 1.已知向量a＝（2， －1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向向量，则x的值是（　　） A.－1　　　　　　　 B.1或－1 C.－3 D.1 2.已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面的一个法向量为（　　） A.（1，－1，1） B.（2，－1，1） C.（－2，1，1） D.（－1，1，－1） 3.已知线段AB的两端点坐标为A（9，－3，4），B（9，2，1），则线段AB与坐标平面（　　） A.xOy平行 B.xOz平行 C.yOz平行 D.yOz相交 4.如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点，，，为一组基建立空间直角坐标系，则平面A1BC1的法向量是（　　） A.（1，1，1） B.（－1，1，1） C.（1，－1，1） D.（1，1，－1） 5.已知直线l1的方向向量a＝（2，－3，5），直线l2的方向向量b＝（－4，x，y），若a∥b，则x，y的值分别是（　　） A.6和－10 B.－6和10 C.－6和－10 D.6和10 6.（多选）若是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是（　　） A.⊥ B.⊥ C.⊥ D.⊥ 7.已知平面ABC，且A（1，2，－1），B（2，0，－1），C（3，－2，1），则平面ABC的一个法向量为　　　　. 8.在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（2cos x＋1，2cos 2x＋2，0）和点Q（cos x，－1，3），其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为　　　　. 9.若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的一个法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝　　　　. 10.已知A（2，2，2），B（2，0，0），C（0，2， －2）. （1）写出直线BC的一个方向向量； （2）设平面α经过点A，且是α的法向量，M（x，y，z）是平面α内的任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 11.已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1），且c＝ma＋nb＋（4，－4，1）.若c为平面α的法向量，则m，n的值分别为（　　） A.－1，2 B.1，－2 C.1，2 D.－1，－2 12.（多选）已知a＝（λ＋1，0，2），b＝（6，2μ－1，2λ），若a∥b，则λ与μ的值可以是（　　） A.2， B.－， C.－3， D.－3，2 13.已知空间直角坐标系Oxyz中的点A（1，1，1），平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P（x，y，z）是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为　　　　，点P的坐标满足的条件为　　　　. 14.已知直线l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），写出一个以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的一个单位向量的终点坐标为　　　　. 15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量. 16.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量. 4.1　直线的方向向量与平面的法向量 1.A　由题意得a∥b，所以解得x＝－1. 2.C　显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝（x，y，z），则有即取z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝（－2，1，1）. 3.C　因为＝（9，2，1）－（9，－3，4）＝（0，5，－3），所以AB∥平面yOz. 4.A　由题意可知，A1（1，0，1），B（1，1，0），C1（0，1，1），则＝（0，－1，1），＝（－1，0，1）.设平面A1BC1的法向量是n＝（x，y，z），则取x＝1，得n＝（1，1，1），∴平面A1BC1的一个法向量是（1，1，1）.故选A. 5.A　由题意得＝＝，且x≠0，y≠0，所以x，y的值分别是6和－10. 6.ABC　由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面ABCD内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确. 7.（2，1，0）（答案不唯一）　解析：＝（1，－2，0），＝（2，－4，2），设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），则令y＝1，得x＝2，z＝0，故平面ABC的一个法向量为n＝（2，1，0）. 8.或　解析：由OP⊥OQ，得·＝0，即（2cos x＋1）·cos x＋（2cos 2x＋2）·（－1）＝0.∴cos x＝0或cos x＝.∵x∈[0，π]，∴x＝或x＝. 9.2∶3∶（－4）　解析：＝，＝.因为a为α的法向量，所以a·＝0，且a·＝0，即x－3y－z＝0，且－2x－y－z＝0.联立解得y＝x，z＝－2x，故x∶y∶z＝2∶3∶（－4）. 10.解：（1）∵B（2，0，0），C（0，2，－2）， ∴＝（－2，2，－2），即（－2，2，－2）为直线BC的一个方向向量. （2）由题意＝（x－2，y－2，z－2）， ∵⊥平面α，AM⊂α， ∴⊥， ∴（－2，2，－2）·（x－2，y－2，z－2）＝0. ∴－2（x－2）＋2（y－2）－2（z－2）＝0. 化简得x－y＋z－2＝0. 11.A　c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n，－n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1）.由c为平面α的法向量，得解得 12.AC　由a∥b，可设b＝ka，即（6，2μ－1，2λ）＝k（λ＋1，0，2），得解得μ＝，λ＝－3或2，故A、C都符合选项.故选A、C. 13.（1，1，1）（答案不唯一）　x＋y＋z＝3　解析：由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为＝（1，1，1）.因为P∈α，所以⊥，所以（1，1，1）·（x－1，y－1，z－1）＝0，所以x＋y＋z＝3. 14.（2，1，0）（答案不唯一）　解析：设终点坐标为（x，y，z），因为l的一个方向向量为v＝（1，－2，0），设以（2，1，1）为起点，且垂直于直线l的单位向量为（x－2，y－1，z－1），且满足 即 可取x＝2，y＝1，z＝0，故终点坐标为（2，1，0）. 15.证明：设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（1，1，），D1（0，0，1），F，A1（1，0，1），＝（0，1，），＝，＝（－1，0，0）. ∵·＝·（0，，－1）＝－＝0， ·＝·（－1，0，0）＝0×（－1）＋1×0＋×0＝0， ∴⊥，⊥. 又A1D1∩D1F＝D1， ∴AE⊥平面A1D1F， ∴是平面A1D1F的法向量. 16.解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），D， C（1，1，0），S（0，0，1），因此 ＝，＝. 显然向量＝是平面SAB的一个法向量. 设n＝（x，y，z）为平面SDC的法向量， 则 即 取x＝2，则y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为（2，－1，1）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $