练案19 第三章 2 空间向量与向量运算-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

得=√a-+(0-+(0-号=5， 2.B因为AB·AC=0,AB·AD=0,A元.AD=0,所以BC:Bi= (A元-AB)·(AD-AB)=A元·AD-A元·AB-AB.AD+AB 所以A,6两点之间的距离是百。 =A>0, 所以cos∠CBD= B元.B ->0,故∠CBD是锐角 IBCIIBD 练案[19] 同理C·C⑦>0，D元·DB>0,可得∠BCD,∠BDC都是锐角， A组·基础自测 故△BCD是锐角三角形.故选B. 1.C2.D3.B4.B 3.B由题意得a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=e1-e1·e2-2e 5.C AB=e +e2 +e3,BC=e +Aez +e3, AC=B+BC=2e+(1+)e2 +2e3, =1-1x1x7-2=-3, 因为A,C,D三点共线，所以A元∥C⑦， lal=√a=W(e1+e2)=√e+2e1·e,+e 则存在唯一实数u,使得AC=uCD, =/1+1+1=3 r2=4μ， 则1+A二8u,解得=2故选C Ibl=√B=√(e1-2e2)7=√e-4e·e2+4e 2=4μ， =W1-2+4=5. λ=3， 6.AB如图所示， 3 (AA+AD+B)2=(AA+AD+ ima8=8流=学-号a6=1四 DC )2=AC2=3; A1C·(A1B-A1A)=A1C·AB=0; 4.D依题意·=1.s∠B4=3×2×7=3, AD与AB的夹角是D,C与D1A夹角的补 角，而DC与DA的夹角为60°，故AD与 币=3×2×7=3，.=2×2x}-2, 4,B的夹角为120°； D 正方体的体积为1AB1IAA11A⑦1.故A、B正确 动=团+d:-子+访+分动放A错误： 7.60°1解法一：连接AD,则LPAD就是B,乙与A,产所成角， 配=武+AG=兮+应+而.故B错误： 连接PD,在△PA1D中，易得PA1=DA1=PD=√2，即△PAD 为等边三角形，从而∠PA,D=60°，即B,C与A,P所成角的大小 =(-号+店+动 为60°，因此B,C·A12=2×√2×cos60°=1. 解法二：根据向量的线性运算可得 =号+存+亦号·应-号·市+ B元.A产=(4i+)·(Ad+)=市=1. 破市 由题意可得PA=B,C=2,则2×2×cos(B,亡，A1P)=1,从 =4+1+1-号x3x2x×-号x3x2x7+7x2x2× 而(B,元，AP)=60°. 8.3由题意，可得AB⊥BC,则A店·B元=0，AA与A店，B武的夹角 号=3，则1d1=5,放C错误； 均为60，则，店=B配.a=)11,又4，亡=A店+BC 记：=(3+店+动·a -A,则A,衣=(A店+BC-AM)2=A+B心+AA+2(A正 .BC-AA·AB-B元·AA)=2+AA-21A41=5,可得 =写d+店.4M+d.=号x9+3+3=9,故D正 1A41=3. 确；故选D. 9.(1)连接AB,则AA+AB=AB 5.<A正·BC=0,由题A正.C=(A+B正).Ci (2)24E+24D=2(AE+Ad)=24C=A, =店.(B丽-B心)+B成. (3)连接AM,则+1+分D=+应-成 =IA店1·1B·cos120°-1A·1B·cos120°+71Bd (4)AB+BC+CC+CA:+AA=0. ·1C⑦·cos120°<0，所以A位.Ci<A立.BC 10.(1)令=a,d=b,=c,则1al=bl=1cl=5,a·b=bc6.3a-b+3c连接BE, ~B配=(+Bd)=(-A店+B心. .ACI=a+b+c,..IACI=la+b+cl=(a+b+c) B D =a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3√2. 励=2（动- 3 (2)0s(AB,A1i)= AB·AD _(a+c)·(b-c= -2 =(+Bd, IABIIA DI la+cllb-cl 3×√3 又：E市=B-B屁 吾 成=子(+B)-之（-+B配) 故丽与的夹角的余弦值为-令 =7(d而+=(a-h+8c+a-2x) B组·素养提升 =(6a-5b+6c), 1.D DA+AE+CD-CB+EA=DE+BD+EA=BE+EA=BA. 377 .EF=3a-3b+3c. 六x=y=8=号2+4+2=2 7.在正四面体04BC中，1Oi1=101=10心1=1，(OA,0B)=8.-4:n=(x+2)a+(y-x)b-(y+ (0A,0C=(0B,0C〉=60°. 2)c, (1)a.0=oi10×cs∠A0B=1x1xs60P=之 :+2 =Yx=-(y+2), G 3 2 (2)(0i+0·(C+c)=(0i+0)·(0i-0元+0成- ∫5x-3y+4=0, 0C=(0+0B)·(0+0-20元)=0+20.0成- 1x-3y-4=0, 20A.0元+0i-20i.0元=12+2×1×1×cos60°-2×： 解得x=-2,y=-2,.x+y=-4. 1×1×cs60°+12-2×1×1×cos60°=1+1-1+1-1=1.9.假设存在实数入，4，使p=Aq+ur,则 (3)10+02+0元12=(0A+0i+0元)2=12+12+12+(2× a+b-c=(2λ-7m)a+(-3A+18u)b+(-5A+22μ)c. 1×1×c0s60°)×3=6. ‘a,b,c不共面， 所以10i+0i+0心1=6. 2λ-7u=1, 5 8.如图连接AM并延长与BC相交于E,连接AW并延长与CD相 -3入+18u=1,解得 交于F,则E,F分别是BC和CD的中点， 1 -5λ+224=-1， u=3 即存在实数A=号=子，使p=A0+rp,gr共面 10.(1)证明：AC=A店+4A心+A4 =破+布+宁杯+子 =(+号)+（市+号蓟） =(AB+B)+(A市+D) =A正+AF,A,E,C,F四点共面， 由M=A市-A立 (2)EF=AF-AE=AD+DF-(AB+BE) =子亦子破=子-应=武 =A市+子DD-丽-}B=-A+币+}， 号成a)=(d-剂 .x=-1,y=1,z= x+y+:=号 =(d-商=励， B组·素养提升 1.D由共面向量定理知选D. =号动1=号 2.D由0,0i,0心不能构成空间的一组基，知0i,0,0d三向 量共面，所以O,A,B,C四点共面， 练案[20] 3.A P+P+P元+Pi=Pt+G+P亡+G成+Pt+G元+Pt+ GD=4PG+(GA+GC)+(GB+GD) A组·基础自测 ·四边形ABCD是正方形，G是它的中心， 1.B由602=0i+20+30元，得0-0A=2(02-0)+ .G+G元=G+G⑦=0， 3(0元-0币)，即A巾=2P2+3P元，.AP,PB,P元共面.又三个 .原式=4P元，.选A 向量的基线有同一公共点P,P,A,B,C四点共面. 4.C解法一：连接AE 2.D0i=x0+号0i+}0元， :E,G分别是CD,BE的中点， ! 且M,A,B.C四点共面+号+号=1，x=号 应=2花+}d。 3.A、因为Ai=AB+BC+C=3a+6b=3(a+2b)=3AB,故 花=+花=破+4花+子而，又花=x硒+ AD∥AB,又AD与AB有公共点A,所以A,B,D三点共线. y AD+2AC, 4.C 1.11 5.C由于PM-PB+7B+6AA-4AD=PB+BA+6BA x+y+=2+4+4=1. -4A:D:PB +BA:+6BA -4A D PA +6(PA -PB) 解法二：因为B,C,D,G四点共面，由共面向量定理的推论可 -4(PD-PA)=11PA-6P2-4PD,于是M,B,A1,D四 知x+y+z=1. 点共面，故选C 5.①②③①正确.因为向量相等与始点无关：②正确，因为向 6.ACD因为m+n1,所以m三1-n,所以O品=(1-n·O量运算满足分配律和结合律：③正确，因为A+C=C+AB +nO,即O-OA=n(0-0A),即AP=nAB,所以AP与AB =CB=2a,所以C2与l平行，又B在l上，所以CeL 共线 6.-10A=-2x02-3y0元-4z0i, 又AP,AB有公共起点A,所以P,AB三点在同一直线上，即 由A,B,C,D四点共面，则有-2x-3y-4z=1, P∈直线AB.因为OP=mOA+nOB,故O,A,B,P四点共面. .2x+3y+4z=-1. 7.2如图，已知o心-子o-子(o+G) 7.证明：令A(e1+e2)+u(2e1+8e2)+v(3e1-3e2)=0, 则（入+2μ+3）e1+(入+8u-3v)e2=0. =引o++] e、e2不共线， =子a+(ai-0)+(0d-a]=i+4ai+1元. *t知8 —378练案[19] 第三章 空间向量与立体几何 §2空间向量与向量运算 b组·基础自测 二、填空题 一、选择题 7.如图，在长方体ABCD 1.下列命题中，真命题是 ABC,D1中，设AD=A41=1, ( A.同平面向量一样，任意两个空间向量都能 AB=2,P是CD1的中点，则 比较大小 B,C与AP所成角的大小为 B1C· B.两个非零向量相加一定可以用平行四边形 AP= 法则 8.如图，在平行六面体ABCD-AB1C,D1中，底 C.只有零向量的模等于0 面是边长为1的正方形，若∠AAB=∠AAD= D.空间中任意两个单位向量必相等 60°，且AC=√5，则AA= 2.空间向量a,b互为相反向量，已知1b1=3,则 D 下列结论正确的是 A.a=b B.a+b为实数0 C.a与b方向相同 D.lal =3 3.已知a,b,c是两两垂直的单位向量，则1a-2b+ 3c1等于 () 三、解答题 A.14 9.如图，已知平行六面体ABCD-AB,C,D1中，M B.W14 为AC1与B,D,的交点，化简下列向量表 C.4 D.2 达式： 4.如图，在长方体ABCD-A,B,C,D,中，AD=3, AB=4,A41=5,则AC·BB,的值为 (1)AA:+AB; ( D (2)R+10: (3)+)4B+24D: B (4)AB+BC+CC+C A+AA. A.52 B.25 C.252 D.53 5.设向量e1,e2,e3不共面，已知AB=e1+e2+e3, BC=e1+e2+e3,CD=4e1+8e2+4e3,若A, C,D三点共线，则入= () A.1 B.2 C.3 D.4 6.（多选题)在正方体ABCD-AB,C,D1中，有下 列说法，其中正确的有 A.（A4+AD+AB)2=3AB B.AC.(AB:-AA)=0 C.AD,与A,B的夹角为60° D.正方体的体积为AB·A4·AD —233 10.在平行六面体ABCD-AB,C,D,中，∠A1AB二、填空题 =∠A,AD=∠BAD=60°，AA1=AB=AD5.如图，空间四边形的各边和 =3. 对角线长均相等，E是BC的 (1)求IAC1I; 中点，则AE.CD A正. (2)求AB,与AD的夹角的余弦值. BC(填“<”“=”或“>”) 6.已知空间四边形ABCD中，AB=a-2c,CD= 5a-5b+8c,对角线AC,BD的中点分别为E, F,则E下= 三、解答题 7.已知如图所示的正四面体OABC的棱长为 1,求： 乃组·素养提升 (1)0A.0B: (2)(OA+OB)·(CA+CB): 一、选择题 (3)1OA+0B+0C1. 1.若A,B,C,D,E为空间中任意五个点，则DA+ A立+CD-CB+EA等于 ( A.DB B.AC C.AB D.BA 2.设A,B,C,D是空间不共面的四点，且满足 AB.AC=0,AB·AD=0,AC·AD=0,则 △BCD是 () A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 3.已知e1,e2是夹角为60°的两个单位向量，则 a=e1+e2与b=e1-2e2的夹角是() A.60° B.120°C.30° D.90° 8.A是△BCD所在平面外一点，M,N分别是 4.已知平行六面体ABCD-AB,C1D1如图所示， △ABC和△ACD的重心，若BD=4,试求MN 其中AB=BC=2,AA1=3,∠BAD=∠A1AD= 的长 ∠BA41=60°，线段AC,BD交于点O,点E是 线段A4,上靠近A的三等分点，则下列说法 正确的是 B A.0=-d++ BC=++切 C.1E01=3 D.EC·AA=9 —234