第3章 2 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量的数量积运算这一核心知识点，系统梳理向量模、夹角、投影向量的计算方法，结合正方体、平行六面体等空间几何体，构建从基础运算到综合应用的学习支架。 资料题型多样且层次分明，通过二面角中向量应用、正方体棱长计算等实例，引导学生用数学眼光观察空间形式，用数学思维进行逻辑推理和运算，提升数学语言表达能力。课中辅助教师讲解重点，课后帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝(　　) A．12 B．8＋ C．4 D．13 解析：选D．(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a|·|b|cos 120°＝2×4－2×5×＝13. 2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　) A．60° B．120° C．30° D．90° 解析：选B．由题意得a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，|a|＝＝＝＝＝，|b|＝＝＝＝＝.所以cos 〈a，b〉＝＝＝－.所以〈a，b〉＝120°.故选B． 3．(2026·宿迁期中)已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉＝，则空间向量a在向量e方向上的投影向量为(　　) A．2e B．－2e C．－a D．a 解析：选B．空间向量a在向量e方向上的投影向量为·e， 因为e为单位向量，所以|e|＝1，又〈a，e〉＝， 所以a·e＝4×cos ＝－2， 所以·e＝－2e. 4．已知平行六面体ABCD -A1B1C1D1的各棱长均为1，∠A1AB＝∠A1AD＝45°，∠DAB＝90°，则＝(　　) A． B．＋2 C． D．＋1 解析：选D．由已知可得·＝·＝1×1×cos 45°＝，·＝0，又＝＋＋，所以2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝3＋2，所以＝＋1.故选D． 5．(2026·安庆月考)如图，二面角α-l-β的棱上有两个点A，B，线段BD与AC分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱l.若二面角α-l-β的平面角为，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长度为(　　) A．2 B．2 C．2 D．2 解析：选C．由条件知·＝0，·＝0，＝＋＋， 又二面角α-l-β的平面角为， 则〈，〉＝， 所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2· ＝62＋42＋82＋2×6×8cos (π－)＝68，所以CD＝2. 6．(多选)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，AB＝1，则满足·m＝1的m可以是(　　) A． B． C． D． 解析：选AC． 由＝＝＝，正方体如图所示，根据向量数量积的几何意义有·＝||2＝1，·＝||2＝1，·＝－||2＝－1，·＝||2＝，综上，满足·m＝1的m可以是，. 7．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝__________． 解析：因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，所以2a·b＝46，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，所以|a－b|＝22. 答案：22 8．已知空间向量a，b满足|a|＝4，|b|＝3，sin 〈a，b〉＝，则a在b方向上的投影向量为________，投影数量为__________． 解析：由题意知sin 〈a，b〉＝，〈a，b〉∈[0，π]，所以cos 〈a，b〉＝±，则a在b方向上的投影向量为|a|cos 〈a，b〉＝±b，a在b方向上的投影数量为|a|cos 〈a，b〉＝±2. 答案：±b　±2 9．已知空间三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为60°.若|ka＋b＋c|>，则k的取值范围为________． 解析：因为a，b，c的模均为1，它们之间的夹角均为60°，所以a2＝b2＝c2＝1，a·b＝c·b＝a·c＝. 又(ka＋b＋c)2＝k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2c·b＝k2＋2k＋3>6，所以k2＋2k－3>0，即(k＋3)(k－1)>0，解得k<－3或k>1. 答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) 10．(13分)已知不共面的三个单位向量，，两两之间的夹角均为60°，＝＋＋，＝＋. (1)求证：⊥；(6分) (2)求cos 〈，〉．(7分) 解：(1)证明：因为·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，所以·＝(＋＋)·(－)＝·(－)＋(＋)·(－)＝2－2＝1－1＝0，所以⊥. (2)因为·＝(＋＋)·(＋)＝4，||2＝(＋＋)2＝6，||2＝(＋)2＝3. 所以||＝，||＝. 所以cos 〈，〉＝＝＝. 11．如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，·的取值范围是(　　) A．[0，1] B．[0，2] C．[1，3] D．[0，4] 解析：选B．由正方体的棱长为2，可得内切球的半径为1，正方体的体对角线长为2. 当弦MN的长度最大时，MN为内切球的直径，设内切球的球心为O， 则·＝(＋)·(＋)＝(－)·(＋)＝2－2＝2－1. 由于P为正方体表面上的动点，则OP∈[1，]，所以·∈[0，2]. 12. (多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确是(　　) A．(＋＋)2＝32 B．·＝0 C．与的夹角为60° D．正方体ABCDA1B1C1D1的体积为|··| 解析：选ABC．设正方体的棱长为a， 对于A，(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝3a2＝32，A正确； 对于B，·＝(－)·(＋)＝(＋－)·(＋)＝(－)·(＋)＋·(＋)＝2－2＋·＋·＝a2－a2＝0，B正确； 对于C，由于△AB1D1是等边三角形，所以与的夹角为60°，C正确； 对于D，|··|＝0，所以D错误. 13．(13分)如图，在空间四边形OABC中，D，E分别为BC，OA的中点，点G为△ABC的重心，设＝a，＝b，＝c. (1)试用向量a，b，c，表示向量；(5分) (2)若OA＝OC＝2，OB＝1，∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝60°，求·的值．(8分) 解：(1)＝＋＝＋ ＝＋×(＋) ＝＋(＋) ＝a＋(b－a＋c－a) ＝(a＋b＋c). (2)＝(＋) ＝(b－a＋c－a)＝(b＋c－2a)， ＝＋＝－b＋a， ·＝(a－b)·(b＋c－2a) ＝(a·b＋a·c－a2－b2－b·c＋2a·b) ＝×(×2×1×＋×2×2×－4－1－1×2×)＝－. 14．(15分)如图所示，已知斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝θ，且θ∈(0，). (1)求证：CC1⊥BD；(7分) (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．(8分) 解：(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则＝－＝a－b， 由底面ABCD是菱形，有|a|＝|b|， 则·＝c·(a－b)＝c·a－c·b＝|c|·|a|cos θ－|c|·|b|cos θ＝0， 所以⊥，即CC1⊥BD. (2)要使A1C⊥平面C1BD，只需A1C⊥C1D且A1C⊥C1B. 若A1C⊥C1D，则·＝0， 即(＋)·(－) ＝(＋＋)·(－)＝0， 即2－2＋||||cos ∠BCD－||·||cos ∠C1CB＝0， 由于∠C1CB＝∠BCD， 显然当||＝||时，上式成立． 同理可得，当||＝||时，A1C⊥C1B. 又C1D，C1B⊂平面C1BD，C1D∩C1B＝C1，所以A1C⊥平面C1BD. 因此，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD. 15．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝·，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数是(　　) A．7 B．5 C．3 D．1 解析：选D．方法一：由题图可知，＝＋，则·＝·(＋)＝2＋·，因为正方体棱长为1，AB⊥BPi，所以·＝0，·＝2＋·＝1＋0＝1，故集合{y|y＝·，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为1. 方法二：由向量数量积的几何意义知，·＝·＝1，同理知·＝1，所以所求集合中的元素个数是1. 学科网（北京）股份有限公司 $