练案18 第三章1 空间直角坐标系-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

微能圆方E为后+号-士 (2)若过点(0，-多)的动直线的 斜率存在，则可设该直线方程为： 3 y=kx-2, 1-2+ml 设P(x,y1),Q(x22),T(0,t), SAFB二 1-2+ml=2, r3x2+4y2=36 1+ml 12+ml 由 y=低-3可得(3+4)8 解得m= 号或-3（合去），成选C -12kx-27=0, 故△=144k2+108(3+4k2)=324+576k2>0, 5.4过P作垂直于准线的直线，垂足为N,交抛物线于M,则 12k 27 IMPI+IMFI=IMPI+IMWI=IPNI=4为所求最小值 且+63+4=34， 6(-232⑧ 13’13 设椭圆上关于直线y=4x+m对称的两点 而T币=(x1,为-t),T0=(22-), 故T币·T0=2+（y-t)（3-t）= 为P(),Q(,直线P0的方程为y=-子+6，代人 1 +(-,-- 椭圆方程号+号-1，整理得15-8h+16-4极=0 =1+)-(子++)+（子+ 由条件知4=-192(462-13)>0， 解得-压<6<厘①. =+)×(3)-含+×31+（侵+ 2 2 -276-7-18-12+3(3+1）+(3+2y8 又四的中点（色艺，）在直线y=4+m上，且 2 3+4h 46 13 [(3+242-12-45]g+3(3+-27 3+4k 2 因为T巾.T≤0恒成立， 所以m-4产=， 4 r(3+2t)2-12t-45≤0 2 2 故 即6=-13m (3+-27≤0 ,解得-3≤1≤号 4m②. 将2代入①可得-2 13 cm、2g 若过点(0，一多)的动直线的斜率不存在， 13 则P(0,3),Q(0,-3)或P(0,-3),Q(0,3), 故所求m的取值范围为-2至，2 此时需-3≤1≤3，两者结合可得-3≤1≤子 -1313 7.(1)设点P(x,y),则依题意有Y。·y x+万-万 ,整理得 综上，存在T0,(-3≤≤）使得币.币≤0恒成立 苦+少-1由于≠士反，所以求得的商线C的方程为号 练案[18] + A组·基础自测 y=1(x≠±2) 「x2 i1.B (2)由2+少=1消去y得，（1+2)2+4hx=0. 线段BC的点坐标为生，25，）=(21，-2， [y=kx+1, 则△0BC的边BC上的中线长为√2+12+(-2)2=3. -4k 故选B. 解得=0，=1+2水(G西分别为M,N的横坐标)， 2.D易知点B的坐标为(2，-3，-5)， 由1MN1=个+1x-名1=+F×1+2F 4k .1AB1=√/(2-2)2+(-3+3)2+(-5-5)2=10. 3.D由于垂足在xOy平面上，故竖坐标为0，横坐标、纵坐标不 -号巨，解得，k=±1 变，故选D. 4.A点P(2,5,6)与点Q(2,-5,-6)的横坐标相同，而纵坐 所以直线1的方程为x-y+1=0或x+y-1=0. 标、竖坐标，分别是互为相反数，两点关于x轴对称 &(1)因为椭圆的离心率为e=子，放a=2c,6=Bc,其中e为半5，设平面Ac的方程为++c+d=0.a,6c不同时为0， 代入A,B,C三点的坐标， 焦距， rb+c+d=0, 所以4(-2,0，B0,-5c),c0,-） 得a+2b+c+d=0, l2a+b+3c+d=0, 故安原 解得b=-a,c=-a,d=2a, 所以平面ABC的方程为x-y-z+2=0. 故c=5,所以a=25,b=3, 故选A. -375 6.ABD因为√2+12+1下=万<5，故A正确：√2+22+2= 分时，1取最小值为子，所以当m=之时，MB1的最小值为 3<5,故B正确：√3+02+4=5，故D正确； √22+（-3)+57=√38>5，故C错误.故选ABD. 厚=网，即A,B两点的最短距离是，故选B 2 2 7B的中点M的坐标为2，子，3)， 2 5.② 6￥ 由Ai=)MC可知点M为AG,上靠近点A的三等分 1cw1=√2-02+(3-1+(3-02= 点，如图所示，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，则： 2 8.(5,13,-3)由平行四边形的对角线互相平分，知线段AC (g号号)a,a受) 的中点即为线段BD的中点，又AC的中点的坐标 结合空间中两点之间距离公式有： 为（子4，-小 m=(-号)+(-子+(-8)= 设顶点D的坐标为(x,y,z),则由中点坐标公式， 得告4,1告 2 解得x=5,y=13,z=-3,故D(5,13,-3) 9.如图所示，以C为原点，以CA,CB,CC1所在直线为坐标轴，建 立空间直角坐标系， M 6.(-1,-2,-3)√6由题得B(-1,2,3)关于x轴的对称点 C. B'的坐标为(-1，-2，-3)：点C(1,-1,2)关于xOy平面的 A 对称点为点C(1,-1,-2), 因为1CA1=1CB1=1,1A41I=2,所以V点坐标为(1,0,1)， 所以1B'C'1=√(1+1)2+(-1+2)2+(-2+3)7=6. M点坐标为行，2 7.(1)由空间两点间的距离公式，得 由两点间的距离公式得 1AB1=√(1-2)2+(5-3)2+(2-4)2=3， 1BC1=√(2-3)2+(3-1)2+(4-5)2=6， 1m=√-+(0-) +(1-2)2= 6 1AC1=(1-3)2+(5-1)2+(2-5)2=29. 故MN的长为为 ∴.△ABC中最短边是BC,其长度为6 10.设A(x,0,0),B(0,y,0),C(0,0,z), (2)由中点坐标公式，得4C的中点坐标为(2,3，)， 由IAPI=IAP2I得√(x-3)2+1+1 ∴.AC边上中线的长度为 =√(x-2)+4+9, 所以x=-3,同理，由IBPI=1BP21得y=-1, √2+3-3+(4- 由1cR1=c,得：=-子， 8.根据题意，可得A(a,0,0),B(a,a,0),D1(0,0,a),B(a,a, a). 所以A点坐标为(-3,0,0)，B点坐标为(0，-1,0)，C点坐 过点E作EF⊥BD于点F,如图所示， 标为00.-2) B组·素养提升 1.A点P(1,3,4)在x轴上的射影Q的坐标为(1,0,0)， .点P到x轴的距离为 1PQ1=√(1-1)2+(3-0)2+(4-0)2=5. ￥ 2.DIAB1=2-(-1)]2+(4-0)2+(3-1)2=√29 在Rt△BB,D1中，IBB,I=a, 14C1=[5-(-1)]+(8-0)+(5-1)=2√29， IBDI=a,IB D1=a, 1BC1=√(5-2)2+(8-4)2+(5-3)2=√29， .IABI IBCI IACI. 所以1B,E1=a:2-6 3a 3 .三点A,B,C共线，故选D 3B'(a,0,a),C(0a,0),点E的坐标为号，号，号)，则 所以在R△BEB,中，IBEI= 3a. 由Rt△BEF∽Rt△BDD, e,号0）1E1=√层+0+子-号放选 /a2 得IBP1= 3a,IEF1=号 4.B因为点B是平面xOy内的直线x+y=1上的动点，所以可 设点B(m,1-m,0),由空间两点之间的距离公式， 所以点P的坐标为台，号o, 得IAB1=√(-1-m)2+[-1-(1-m)]+(2-0) = m-2n+9令1=2m2-2n+9-2m-2+号当m 则点上的坐标为行否合) 由两点间的距离公式， -376 得=√a-+(0-+(0-号=5， 2.B因为AB·AC=0,AB·AD=0,A元.AD=0,所以BC:Bi= (A元-AB)·(AD-AB)=A元·AD-A元·AB-AB.AD+AB 所以A,6两点之间的距离是百。 =A>0, 所以cos∠CBD= B元.B ->0,故∠CBD是锐角 IBCIIBD 练案[19] 同理C·C⑦>0，D元·DB>0,可得∠BCD,∠BDC都是锐角， A组·基础自测 故△BCD是锐角三角形.故选B. 1.C2.D3.B4.B 3.B由题意得a·b=(e1+e2)·(e1-2e2)=e1-e1·e2-2e 5.C AB=e +e2 +e3,BC=e +Aez +e3, AC=B+BC=2e+(1+)e2 +2e3, =1-1x1x7-2=-3, 因为A,C,D三点共线，所以A元∥C⑦， lal=√a=W(e1+e2)=√e+2e1·e,+e 则存在唯一实数u,使得AC=uCD, =/1+1+1=3 r2=4μ， 则1+A二8u,解得=2故选C Ibl=√B=√(e1-2e2)7=√e-4e·e2+4e 2=4μ， =W1-2+4=5. λ=3， 6.AB如图所示， 3 (AA+AD+B)2=(AA+AD+ ima8=8流=学-号a6=1四 DC )2=AC2=3; A1C·(A1B-A1A)=A1C·AB=0; 4.D依题意·=1.s∠B4=3×2×7=3, AD与AB的夹角是D,C与D1A夹角的补 角，而DC与DA的夹角为60°，故AD与 币=3×2×7=3，.=2×2x}-2, 4,B的夹角为120°； D 正方体的体积为1AB1IAA11A⑦1.故A、B正确 动=团+d:-子+访+分动放A错误： 7.60°1解法一：连接AD,则LPAD就是B,乙与A,产所成角， 配=武+AG=兮+应+而.故B错误： 连接PD,在△PA1D中，易得PA1=DA1=PD=√2，即△PAD 为等边三角形，从而∠PA,D=60°，即B,C与A,P所成角的大小 =(-号+店+动 为60°，因此B,C·A12=2×√2×cos60°=1. 解法二：根据向量的线性运算可得 =号+存+亦号·应-号·市+ B元.A产=(4i+)·(Ad+)=市=1. 破市 由题意可得PA=B,C=2,则2×2×cos(B,亡，A1P)=1,从 =4+1+1-号x3x2x×-号x3x2x7+7x2x2× 而(B,元，AP)=60°. 8.3由题意，可得AB⊥BC,则A店·B元=0，AA与A店，B武的夹角 号=3，则1d1=5,放C错误； 均为60，则，店=B配.a=)11,又4，亡=A店+BC 记：=(3+店+动·a -A,则A,衣=(A店+BC-AM)2=A+B心+AA+2(A正 .BC-AA·AB-B元·AA)=2+AA-21A41=5,可得 =写d+店.4M+d.=号x9+3+3=9,故D正 1A41=3. 确；故选D. 9.(1)连接AB,则AA+AB=AB 5.<A正·BC=0,由题A正.C=(A+B正).Ci (2)24E+24D=2(AE+Ad)=24C=A, =店.(B丽-B心)+B成. (3)连接AM,则+1+分D=+应-成 =IA店1·1B·cos120°-1A·1B·cos120°+71Bd (4)AB+BC+CC+CA:+AA=0. ·1C⑦·cos120°<0，所以A位.Ci<A立.BC 10.(1)令=a,d=b,=c,则1al=bl=1cl=5,a·b=bc6.3a-b+3c连接BE, ~B配=(+Bd)=(-A店+B心. .ACI=a+b+c,..IACI=la+b+cl=(a+b+c) B D =a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a=3√2. 励=2（动- 3 (2)0s(AB,A1i)= AB·AD _(a+c)·(b-c= -2 =(+Bd, IABIIA DI la+cllb-cl 3×√3 又：E市=B-B屁 吾 成=子(+B)-之（-+B配) 故丽与的夹角的余弦值为-令 =7(d而+=(a-h+8c+a-2x) B组·素养提升 =(6a-5b+6c), 1.D DA+AE+CD-CB+EA=DE+BD+EA=BE+EA=BA. 377练案[18] 第三章 空间向量与立体几何 §1 空间直角坐标系 名组·基础自测 三、解答题 一、选择题 9.三棱柱ABC-AB,C,是直三棱柱，在底面 △ABC中，ICA|=ICBI=1,∠BCA=90°，棱 1.已知0为原点，B(4,-3,-5),C(0,5,1),则 △OBC的边BC上的中线长为 1A4I=2,M,N分别是A,B1,AA的中点，求 A.2 B.3 MN的长. C.4 D.5 2.设点B是点A(2,-3,5)关于xOy平面的对称 点，则IAB1= A.10 B.38 C.√38 D.10 3.在空间直角坐标系中，已知，点P(1,√2，√3)，过 点P作xOy平面的垂线PQ,垂足为Q,则点Q 的坐标为 ( A.(0,√2,0)》 B.(0,√2,3)》 C.(1,0,3) D.(1,√2,0) 4.在空间直角坐标系中，点P(2,5,6)与点Q(2, -5,-6)的位置关系是 ( )10.已知点P1,P2的坐标分别为(3,1，-1)，(2， A.关于x轴对称 -2,-3),分别在x,y,z轴上取点A,B,C,使 B.关于xOy平面对称 它们与P,P2两点距离相等，求A,B,C的 C.关于原点对称 坐标. D.以上都不对 5.已知点A(0,1,1),B(1,2,1),C(2,1,3),则平 面ABC的方程为 A.x-y-z+2=0 B.x-y+z=0 C.x+y+z+2=0 D.x-y-z=0 6.(多选题)空间直角坐标系中，坐标原点到下 列各点的距离不大于5的是 ( A.(1,1,1) B.(1,2,2) C.(2,-3,5) D.(3,0,4) 二、填空题 7.设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0),则AB的 中点M到，点C的距离ICM= 8.已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1, 3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐 标为 —231 8组·素养提升 三、解答题 一、选择题 :7.已知△ABC的三顶点A(1,5,2),B(2,3,4),C(3, 1,5) 1.在空间直角坐标系中，点P(1,3,4)到x轴的 (1)求△ABC中最短边的边长； 距离是 ( (2)求AC边上中线的长度. A.5 B.√17 C.w10 D.√26 2.已知三点A(-1,0,1),B(2,4,3),C(5,8,5), 则 A.三点构成等腰三角形 B.三点构成直角三角形 C.三点构成等腰直角三角形 D.三点构不成三角形 3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的 正方体ABC0-A'B'CO',则A'C的中点E与 AB的中点F的距离为 ( Z 8.如图所示，已知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长 为a,过点B,作BE⊥BD1于点E,求A,E两点之 A.√2a B② 间的距离。 D C.a 4.已知空间直角坐标系0-yz中有一点 A(-1,-1,2),点B是平面xOy内的直线 x+y=1上的动点，则A,B两点的最短距离是 A.√6 B.34 2 C.3 D.17 2 二、填空题 5.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为a,AM= 2C点N为B的中点则W 6.在平面直角坐标系中，点A(-1,2)关于x轴的对 称点为A'(-1,-2).那么，在空间直角坐标系 中，B(-1,2,3)关于x轴的对称点B'的坐标为 ,若点C(1,-1,2)关于x0y平面的对称 点为点C',则B'CI= —232