第3章 1 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦空间向量这一核心知识点，系统梳理从平面向量到空间向量的延伸，涵盖向量的基本概念、线性运算及共线共面判定，构建从基础辨析到几何体应用的学习支架。 资料通过概念辨析题（如第1题区分向量与有向线段）培养抽象能力，结合三棱柱、四面体模型（如第4题、第14题）提升空间观念与推理能力，课中辅助分层教学，课后助力学生查漏补缺，强化数学语言表达与问题解决能力。

1．下列命题是真命题的是(　　) A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 解析：选D．对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A是假命题；对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的大小相等且方向不相同即可，故B是假命题；对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C是假命题；对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D是真命题． 2．在空间四边形ABCD中，点M，G分别是BC和CD的中点，则＋(＋)＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C． 因为点G是CD的中点， 所以＋＝2， 所以＋(＋)＝＋＝. 3．下列条件中，能说明空间中不重合的三点A，B，C共线的是(　　) A．＋＝ B．－＝ C．||＝|| D．＝ 解析：选D．对于空间中的任意向量，都有＋＝，选项A不满足题意；若－＝，则＋＝，而＋＝，则＝，即B，C两点重合，选项B不满足题意；||＝||，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项C不满足题意；＝，则A，B，C三点共线，选项D满足题意． 4．在三棱柱ABC-DEF中，G为棱AD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．－a＋b－c B．－a＋b＋c C．－a＋b＋c D．a－b＋c 解析：选D．＝＋＝＋＝(－)＋(－)＝(a－b)＋(c－a)＝a－b＋c. 5．已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是(　　) A．平行四边形 B．空间四边形 C．等腰梯形 D．矩形 解析：选A．因为＋＝＋，所以＝. 所以∥且||＝||. 所以四边形ABCD为平行四边形． 6．(多选)如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则(　　) A．＝ B．＋＝ C．＋＋＝ D．－(＋)＝ 解析：选ACD．因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知＝，故A正确；若＋＝，则＝－＝，由题图可知，不共线，矛盾，故B错误；因为＋＋＝＋＝，故C正确；因为－(＋)＝－×2＝－＝，故D正确． 7．如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，与相等的向量是________；的相反向量是__________． 解析：由相等向量与相反向量的定义知，与是相等向量，与，是相反向量． 答案：　和 8．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点M在BB1上，点N在DD1上，且BM＝BB1，D1N＝D1D，若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________． 解析：＝＋＋＋＝－－＋＋＝－＋＋，故x＝－1，y＝1，z＝，x＋y＋z＝. 答案： 9．(2026·龙岩期中)设向量e1，e2，e3不共面，已知＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3，若A，C，D三点共线，则λ＝________． 解析：因为＝e1＋e2＋e3，＝e1＋λe2＋e3，＝4e1＋8e2＋4e3， 所以＝＋＝2e1＋(λ＋1)e2＋2e3，因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数x使得＝x， 所以解得 所以λ＝3. 答案：3 10．(13分)如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点．化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： (1)＋；(4分) (2)＋＋；(4分) (3)－－.(5分) 解：(1)＋＝. (2)因为M是BB1的中点．所以＝.又＝， 所以＋＋＝＋＝. (3)－－＝－＝.向量，，如图所示． 11．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 解析：选C．若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然，A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1.所以α＋β＝1是A，B，C三点共线的充要条件，故选C． 12．如图，在四面体ABCD中，E，G分别是CD，BE的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝____________．(用a，b，c表示) 解析：由题意得＝＋＝＋＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋－＝＋＋＝a＋b＋c. 答案：a＋b＋c 13．光岳楼，亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，始建于公元1374年，在《中国名楼》站台票纪念册中，光岳楼与鹳雀楼、黄鹤楼、岳阳楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼．其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上缘边长与底边边长之比约为，则＋＋＝__________. 解析：如图，延长EA，FB，GC，HD相交于一点O，则＝，＝，所以＋＋＝＋＋＝＋＋＝＋＝＋＝. 答案： 14．(13分)如图，在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点． (1)化简：－(＋)；(4分) (2)求证：四边形EFGH是平行四边形；(4分) (3)设EG，FH交于点O，求证：＋＋＋＝0.(5分) 解：(1)连接AF(图略)，因为F为BC的中点，所以＝(＋)，所以－(＋)＝－＝. (2)证明：＝－＝－＝，同理得＝，所以＝，所以四边形EFGH是平行四边形． (3)证明：因为四边形EFGH是平行四边形，EG，FH交于点O，则O为EG的中点， 因为E，G分别为AB，CD的中点，所以＝(＋)，＝(＋). 由＋＝0，可得＋＋＋＝0. 15．(15分)在平面四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋. (1)拓展到空间，写出空间四边形ABCD类似的命题，并加以证明；(7分) (2)在长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1C的中点，利用(1)的结论表示.(8分) 解：(1)在空间四边形ABCD中，E，F分，所成的比为λ，即＝＝λ，则有＝＋. 证明如下： ＝＋＋ ＝＋＋ ＝(＋)＋＋(＋) ＝＋＋＋＋＝＋. (2)由(1)的结论可得＝＋＝＋. 学科网（北京）股份有限公司 $