2.4.2 直线与圆锥曲线的综合问题(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦直线与圆锥曲线位置关系，以方程联立为基础，通过韦达定理、定义转化等方法系统解决中点、弦长、切线等问题，知识逻辑从基础计算到综合应用层层递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题（含2024新高考Ⅱ卷真题）|联立消元、韦达定理求中点/弦长、抛物线定义转化|从直线与椭圆/抛物线/双曲线方程联立，到根与系数关系应用，构建“代数运算→几何性质”逻辑链| |综合运用|4题|切线判别式、向量数量积、存在性问题转化|结合圆、向量等知识，深化方程思想与数形结合，形成“基础方法→综合应用”提升路径|

4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 1.直线y=x－1被椭圆2x2＋y2=4所截得的弦AB的中点M的坐标是（　　） A．　 B． C．　 D． 2.直线x－y＋1=0被椭圆＋y2=1所截得的弦长|AB|=（　　） A．　 B． C．2　 D．3 3.已知抛物线C：x2=2py（p＞0），若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为（　　） A．x2=8y　 B．x2=4y C．x2=2y　 D．x2=y 4.已知直线l：y=x＋3与双曲线－=1相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则OM的斜率为（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 5.〔多选〕〔一题多解〕（2024•新高考Ⅱ卷10题）抛物线C：y2=4x的准线为l，P为C上动点．过P作⊙A：x2＋（y－4）2=1的一条切线，Q为切点．过P作l的垂线，垂足为B．则（　　） A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|= C．当|PB|=2时，PA⊥AB D．满足|PA|=|PB|的点P有且仅有2个 6.〔多选〕设椭圆的方程为＋=1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（　　） A．直线AB与OM垂直 B．若点M坐标为（1，1），则直线方程为2x＋y－3=0 C．若直线方程为y=x＋1，则点M坐标为（，） D．若直线方程为y=x＋2，则|AB|= 7.已知椭圆＋=1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1的一条直线与椭圆交于A，B两点．若直线AB的倾斜角为，则弦长|AB|=　　　　． 8.已知抛物线C：x2=4y，F为其焦点，若直线l：y=x＋1与抛物线C在第一象限交于点M，则|MF|=　　　　． 9.已知双曲线C：－=1（a＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y=x＋2与双曲线C的一条渐近线平行，过点F2作MF2⊥l，垂足为M，则△MF1F2的面积为　　　　． 10.已知椭圆＋=1（a＞0，b＞0）的离心率为，点T（2，）在椭圆上． （1）求椭圆的方程； （2）已知直线y=x＋m与椭圆交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），且•=－1，求实数m的值． 11.已知动点P在椭圆C：＋=1上，若点A的坐标为（3，0），点M满足||=1，•=0，则||的最小值为（　　） A．　 B．2 C．　 D．2 12.〔多选〕已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到准线的距离是2，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（　　） A．C的准线方程为x=－1 B．线段AB的长度的最小值为4 C．M的坐标可能是（4，2） D．存在直线l，使得OA与OB垂直 13.已知双曲线C：x2－my2=1（m＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点F2共线，若|AB|∶|AF1|∶|BF1|=2∶2∶3，则|AB|=　　　　． 14.如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线交于M，N两点，且|MN|=8. （1）求抛物线C的方程； （2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求•的最小值． 4.2　直线与圆锥曲线的综合问题 1.A　由消y得2x2＋（x－1）2＝4，即3x2－2x－3＝0，解得x1＝，x2＝，所以弦AB的中点M的横坐标为x0＝＝，纵坐标为y0＝x0－1＝－，故选A. 2.A　由得交点为（0，1），，则｜AB｜＝＝. 3.C　由解得或则交点坐标为（0，0），（4p，8p），则＝4，解得p＝1.故所求抛物线C的方程为x2＝2y. 4.D　设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），解方程组得5x2＋54x＋117＝0，故x1＋x2＝－，所以x0＝＝－，y0＝x0＋3＝－，故kOM＝＝. 5.ABD　对于A，易知l：x＝－1，故l与☉A相切，A正确；对于B，A（0，4），☉A的半径r＝1，当P，A，B三点共线时，P（4，4），所以｜PA｜＝4，｜PQ｜＝＝＝，故B正确；对于C，当｜PB｜＝2时，P（1，2），B（－1，2）或P（1，－2），B（－1，－2），易知PA与AB不垂直，故C错误；对于D，法一（直接法）　设P（，t），由PB⊥l可得B（－1，t），又A（0，4），｜PA｜＝｜PB｜，根据两点间的距离公式，＝＋1，整理得t2－16t＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，则关于t的方程有两个解，即存在两个这样的P点，D选项正确.故选A、B、D. 法二（利用抛物线定义转化）　根据抛物线的定义，｜PB｜＝｜PF｜，这里F（1，0），于是｜PA｜＝｜PB｜时P点的存在性问题转化成｜PA｜＝｜PF｜时P点的存在性问题，A（0，4），F（1，0），AF中点（，2），AF中垂线的斜率为－＝，于是AF的中垂线方程为：y＝x＋，与抛物线y2＝4x联立可得y2－16y＋30＝0，Δ＝162－4×30＝136＞0，即AF的中垂线和抛物线有两个交点，即存在两个P点，使得｜PA｜＝｜PF｜，D选项正确. 6.BD　假设直线与椭圆交于椭圆的左顶点A（－，0）和上顶点B（0，2），显然△ABO不是等腰直角三角形，AB与OM显然是不垂直的.故A错误.设直线方程为y＝kx＋b（b≠0）.联立直线与椭圆的方程，消去y得，（2＋k2）x2＋2kbx＋b2－4＝0.设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝－，y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2b＝－＋2b＝.故点M的坐标为（－，）.对于B，点M（1，1），则解得即所求直线方程为2x＋y－3＝0.故B正确.对于C，若直线方程为y＝x＋1，即k＝1，b＝1，则M点坐标为（－，），故C错误.对于D，若直线方程为y＝x＋2，即k＝1，b＝2，｜AB｜＝｜x1－x2｜＝＝×＝.故D正确. 7.　解析：易知F1（－1，0），∵直线AB的倾斜角为，∴直线AB的斜率为1，可得直线AB的方程为y＝x＋1.联立整理得7x2＋8x－8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1＋x2＝－，x1·x2＝－，则由弦长公式得｜AB｜＝·＝×＝. 8.4　解析：由题意得F（0，1），p＝2，准线方程为y＝－1，对于直线l：y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，即直线l过点F（0，1），联立得3y2－10y＋3＝0，解得y＝3或y＝，由于M在第一象限，且l：y＝x＋1的斜率大于0，故M的纵坐标为3，则｜MF｜＝yM＋＝3＋1＝4. 9.2　解析：由题意可知所以a＝1，c2＝a2＋b2＝4，即c＝2，所以F1（－2，0），F2（2，0），直线l：y＝x＋2，令y＝0，得x＝－2，故直线l过点F1，因为直线l的斜率为，且MF2⊥l，所以∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，又点F2到直线l的距离｜MF2｜＝＝2，所以△MF1F2的面积为｜MF2｜·｜F1F2｜·sin 30°＝2. 10.解：（1）因为椭圆的离心率为e＝＝， 所以＝，则a2＝3b2. 因为点T在椭圆上，所以＋＝1， 解得b2＝3，则a2＝9， 所以椭圆的方程为＋＝1. （2）设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）. 联立得7x2＋6mx＋3m2－9＝0. 所以Δ＝（6m）2－4×7×（3m2－9）＞0， 即0≤m2＜21， 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝. 因为·＝－1， 所以·＝（x1－2，y1）·（x2－2，y2） ＝3x1x2＋（m－2）（x1＋x2）＋8＋m2 ＝3×＋（m－2）×（－）＋8＋m2＝＝－1， 整理得m2＋6m＋9＝0，解得m＝－3， 满足Δ＞0，故m＝－3. 11.B　因为｜｜＝1，所以点M的轨迹为以A为圆心，半径为1的圆，因为·＝0，所以PM⊥AM，要使｜｜最小，只需｜｜最小，设P（m，n），－6≤m≤6，则＋＝1，其中｜AP｜＝＝＝＝｜m－6｜，因为－6≤m≤6，所以当m＝6时，｜AP｜min＝3，此时｜｜min＝＝2. 12.AB　由已知可得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，则点F（1，0），准线的方程为x＝－1，A正确；当AB⊥x轴时，｜AB｜有最小值，令x＝1，代入抛物线方程解得y＝±2，所以｜AB｜min＝｜2－（－2）｜＝4，B正确；设直线l的方程为x＝my＋1，代入抛物线方程可得y2－4my－4＝0，则yA＋yB＝4m，所以xA＋xB＝m（yA＋yB）＋2＝4m2＋2，当m＝1时，可得M（3，2），C错误；因为yAyB＝－4，所以xAxB＝1，所以·＝xAxB＋yAyB＝1－4＝－3，D错误.故选A、B. 13.　解析：因为｜AB｜∶｜AF1｜∶｜BF1｜＝2∶2∶3，设｜AB｜＝｜AF1｜＝t，｜BF1｜＝t，由双曲线定义可得｜AF2｜－｜AF1｜＝｜AF2｜－｜AB｜＝｜BF2｜＝2，所以｜BF1｜＝｜BF2｜＋2＝4，即t＝4， t＝，即｜AB｜＝. 14.解：（1）由题意可知F，则该直线方程为y＝x－， 代入y2＝2px（p＞0），得x2－3px＋＝0. 设M（x1，y1），N（x2，y2），则有x1＋x2＝3p. 因为｜MN｜＝8，所以x1＋x2＋p＝8， 即3p＋p＝8，解得p＝2， 所以抛物线C的方程为y2＝4x. （2）设直线l的方程为y＝x＋b，代入y2＝4x， 得x2＋（2b－4）x＋b2＝0. 因为直线l为抛物线C的切线， 所以Δ＝0，解得b＝1. 所以直线l的方程为y＝x＋1. 由（1）可知x1＋x2＝6，x1x2＝1. 设P（m，m＋1）， 则＝（x1－m，y1－（m＋1）），＝（x2－m，y2－（m＋1））， 所以·＝（x1－m）（x2－m）＋[y1－（m＋1）]·[y2－（m＋1）] ＝x1x2－m（x1＋x2）＋m2＋y1y2－（m＋1）·（y1＋y2）＋（m＋1）2. 因为x1＋x2＝6，x1x2＝1， 所以y1y2＝（x1－1）（x2－1）＝x1x2－（x1＋x2）＋1＝－4. 因为－＝4（x1－x2）， 所以y1＋y2＝4×＝4， 所以·＝1－6m＋m2－4－4（m＋1）＋（m＋1）2＝2（m2－4m－3）＝2[（m－2）2－7]≥－14， 当且仅当m＝2，即点P的坐标为（2，3）时，·取得最小值，最小值为－14. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $