练案16 第二章 4.1 直线与圆锥曲线的交点-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

消去得-2-2-0， 所以y1+2=2,y1y2=-2, 所以三角形0PQ的面积为S= -IOTIIy -y2 I= 5 4+)P-4为=号 故选B. 52由双曲线离心率为2得号 a2+b2 练案[16] =4, a A组·基础自测 = 1.D(0,1)在y轴上，所以(0,1)在抛物线外部，将x=1代入 抛物线C:y2=4x中，则1yl=2<3,所以(1，-3)在抛物线外 又：IABI=5×号×2=5p, 部，将x=3代入抛物线C:y=4x中，则1y「=2√3<4，所以 (3,4)在抛物线外部，将x=2代人抛物线C:y2=4x中，则1y川 Sam=方×x号=5n=2 =2√2>2，所以(2，-2)在抛物线内部，将选项中的点分别在 6多解法一：抛物线子=4：的准线方程为x=-1,焦点为 直角坐标系中画出来，只有点D(2,-2)在抛物线内部，故当 点P位于点D(2,-2)处，此时经过点P的任意一条直线与C F(1,0),设A(x1y),B(x2,y2).由于1AF1=x1+1=3,得x1 均相交，故均有公共点，故选D. =2,所以y1=±2万.由抛物线的对称性，不妨设A(2,2万)， C(3,4) 由A,F,B三点共线可知直线AB的方程为y-0=2√2(x- 1),即y=22(x-1),代人抛物线方程消去y得2x2-5x+2 A(0,1) =0,解得x=2(舍去)或x=宁，所以与=分，放11=+1 0 D2.-2) 解法二：由题意知IAF1=3,p=2,由抛物线的焦点弦的性质 B1,-3) IAFI+IBFT=P =2知IBFI= 2 2.A:y=kx-k+1,.y-1=k(x-1),过定点(1,1)，定点在 7.(1)因为抛物线方程为y2=6x,所以准线方程为x=- 椭圆+ 4=1内部，故选A 2 F(子0小，又因为直线1的倾斜角为60，所以直线1的斜率为3.D联立方程可得 ’消去y化简得3x2-2x-1= x-y-1=0, k=tan60°=5，所以过焦点的直线1的方程为y= (x-）设A(),8B(, 0,解得1=1，=- ,即两交点坐标为(1,0)， 1 =6x, (片-号)，根据两点间的距离公式可得481= 联立 =-2)消去，得-5+ 4 =0,则x1+龙=5， √+04放选D 而AB1=MF+BFI=+号+名+号 =x1+x2+p, 4.B直线恒过点(2，b).只要点(2，b)在双曲线上或双曲线的 所以IAB1=5+3=8 内部（即含焦点的区域），则直线（与双曲线x2-y=1总有公 (2)由抛物线的定义，知IAB1=IAFI+IBFI=x1+x2+3=9, 共点.当x=2时，y2=x2-1=3,即y=±5，故be[-5, 所以x1+x2=6, √5]，故选B. 于是线段AB的中点M的横坐标是3. 区准线方程是x=哥，所以中点M到准线的距离为3+3的.D当x≤0时，曲线方程为y 42 9+4=1,与直线方程联立并消 元得13x+24x=0,解得x=0,=-4,此时直线与曲线有 8.(1)设曲线上任意一点M(x,y), 两个交点当>0时.前线方程为号苦=1，与直线方程联 由抛物线定义可知，曲线是以点F(1,0)为焦点，直线x=-1 为准线的抛物线， 立并消元得52-24x=0,解得=0（合去），6号，此时直 所以曲线的方程为y2=4x 线与曲线有一个交点.综上，直线与曲线有三个交点，故选D. (2)设P(,y),Q(x22),则y斤=4x12=4x2, 6.AC椭圆左焦点为F(-1,0), 所以斤-2=(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-2), .a2-b2=1,又：点P(0,1)在椭圆上， 因为A为PQ中点，所以y1+y2=2, 所以直线的斜率为w名之。 6=1,.a=2.故椭圆方程为乏+y=1. :直线1与椭圆C,和抛物线C2都相切， 所以直线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,此时直线1与 ∴.其斜率存在且不为0，设直线I的方程为y=kx+m(k≠0)， 抛物线相交于两点. [x" 设T为1与x轴交点，则10T1=2 由2+y=1得(22+1)x2+4hme+2m2-2=0, y=kx +m, 一371 由题意得4=16k2m2-4(2k2+1)(2m2-2)=0, 故圆A的方程为(x-2)2+(y-1)2=4. .m2=2k2+1① B组·素养提升 由=4，得k2-4y+4m=0, 1.B由直线mx+y=4和圆0：x2+y2=4没有交点，得 Iy=kx+m, 4 =>2, .4=1-mk=0..mk=1,② m+n 由①②得 2’或 21 即+<4，所以吗+号≤空+号<1，放点（a)在第圆 lm=√2【m=-2. 4 六直线1的方程为孕+厅或=一县-万 1有2个交点.故选B. 7.x=0或x+y+1=0过点(0，-1)且斜率不存在的直线方程 2.D由方程组{ y=b 为x=0,与抛物线相切 =。,消去y,得-x+1=0.根据题 过点(0，-1)斜率存在的直线方程为y=kx-1(k≠0)， y=x2+1, [得-44=0 意，4=(- -411=0,卿(2 =4,所以离心率e= △=16+16k=0,.k=-1. =a2+6 .直线方程为y=-x-1. a a +(合=5枚选D 综上可知，所求直线方程为x=0或x+y+1=0. 3.A直线1的方程为y=√5(x-2),将直线1的方程与抛物线 8(、)联立直线与双南线方程并清去y得1 的方程y2=8x联立，消去x得，3y2-8y-165=0,设BC的 /104 22)x2-8kx-10=0.由于直线1与双曲线C的右支交于两个不 中点为).则=有所以=碧即n号有)】 1-22≠0， 4=(-8k)2+40(1-2k2)>0. 8 所欧红中重线的方为7青（》，令=0 同点，则12>0， 得号放1=-号引学散逃 -10 (1-28>0, 4.B过点F作PQ的垂线，垂足为H,则∠QFH=60°，设1FH 解得 <<-县 =,因为10=2，所以m60=2,所以-2，所以 2 故的取值范图足(-、-引 P号，2m 3+1 3,放选B 9.解法一（代数法）：由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知0< 5.4将双曲线方程化为标准方程为2-号=1，当经过点( m<5. 2)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=1,直线x=1与 「y=kx+1, 由号+号-1，消去得m+5g层+0+51-m）=0 2-兰=1的图形有且只有1个公共点。 当经过点(1,2)的直线斜率存在时，设直线方程为y=k(x- 又直线与椭圆总有公共点，所以△≥0对于一切实数k恒 1)+2,代入双曲线的方程整理得(2-2)x2+(2k2-4k)x- 成立， k2+4k-6=0. 即(10k)2-4(m+5k2)×5(1-m)≥0，即5k2≥1-m对一切 实数k恒成立，所以1-m≤0，即m≥1. ①当2-k2=0,k=±√2时，y=±√2(x-1)+2,直线与双曲线 故m的取值范围为[1,5). 的渐近线y=±√2x平行，直线与双曲线只有1个公共点； 解法二（几何法）：已知直线y=x+1过定点(0,1). ②当k≠±2时，由△=(2k2-4k)2-4×(2-2)(-2+4k-6) 因为椭圆子+片=1的焦点在：轴上，所以0≤m<5,则短半 。-3k+8=0,解得么=弓.此时直线与双确线相切，只有1个 轴长为m 公共点 由图（图略）可知只要定点(0,1)在椭圆内或椭圆上，直线与椭圆！ 综上，过点P(1,2)且与双曲线只有一个公共点的直线有 4条 就恒有公共点，所以m≥1，即m≥1. 故m的取值范围为[1,5). 6.1 3 设点B为椭圆的左顶点，由题意知AM∥BQ,且IAMI= 10.(1)解法一：由2=4y,得-4x-46=0(*). 1BQ, 1 由直线1与抛物线C相切，得△=(-4)2-4×(-4b)=0,解得 b=-1. 则} 1=a-c 故实数b的值为-1. 1 解法二：设A(2t,t),则抛物线在点A处的切线方程为2tx= 求得a=3c,即e=3 2(y+t),即y=tx-t2.由条件知t=1,所以b=-t2=-1. (2)由(1)知b=-1,故方程(*)为x2-4x+4=0,解得 放答案为行 x=2. 7.直线1与曲线C恰好有一个公共点， 将其代人x2=4y,得y=1,即点A的坐标为(2,1) 又圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心 ·方程组(a+)x-l,只有一组实数解，消去y,得[(a+ ly=ax A到抛物线的准线y=-1的距离，即r=11-(-1)1=2. 1)x-1]2=ax,即(a+1)2x2-(3a+2)x+1=0(*). —372 ①当a+1=0,即a=-1时，方程(*)是关于x的一元一次方 程解得=-1，这时，原方智组有唯一保士 1， 369 ① 4,又 ②当a+1≠0，即a≠-1时，方程(*)是关于x的一元二次方 =1. 369 ② 由4=(3a+2)2-4(a+1)2=a(5a+4)=0,解得a=-4 ①-②，得+)-5+1+)1-）=0， 或 36 a=0(舍去).此时方程组有唯一解=一5， 即8(x-）+41n）-0. 36 9 ly=-2. 1 综上，实数a的取值集合是{-1，-5} .41 所以所求直线的斜率为二=-子 x1-X2 b=3 2.D焦点为F(7,0).c=√7，a2+62=7 8.(1)由题意得 9 4 解得 b2=9, 上可设双商线方程为号。-1。 ① a2+京=1 a2=12 并设M(x1y),N(x2y2.将y=x-1代人①并整理，得(7- 所以e=,1- 91 2a2)x2+2a2x-a2(8-a2)=0, 2a2 .x1+x2= 3、3 7-2a, 2a2 (2)=0-号=-子则直线AP的方程为y=一子+3，即 2 2 已知得-722a=-号×2，解得d=2, x+2y-6=0, 故双曲线的方程为 2 a-√0-3+-35 25=1. 2 3.D 易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为子的直线方程为y= 由(1)知G: 12+9=1, 「J2=4x, 号(x+2).联立抛物线方程为)=4红，得 设点B到直线AP的距离为d,则d=2×9=125 =子(+2).解得 35 5 2 则将直线AP沿着与P垂直的方向平移25单位即可， 不妨设M(1,2),N(4,4),所以F7=(0,2),F=(3,4),所以 5 FM·FN=8. 此时该平行线与椭圆的交点即为点B, 4.D如图，点P在以点F,F2分别为 设该平行线的方程为：x+2y+C=0, 左，右焦点的双曲线号- -京=1(a>0, 则G+61-25解得c=6或C=-18 b>0)上，且满足PF·PF=0, 当C=6时，联立2+9=1， PF,P听，mLP,= [x+2y+6=0 IPF,I 1 =-3, 六PE,=3, 3 设1PF2I=x,则1PF1I=3x, .IF,f2I=2c=W√IPF,I2+IPF2I2=√9x2+x2=√10x, 即80，-3)或(-3,2）月 由双曲线定义得2a=IPF,I-IPF21=3x-x=2x, 当B(0,-3)时，此时，=号，直线1的方程为 心该双曲线的离心率e=￡=2e=四 a2a=2 故选D. y=号-3.即3x-2-6=0。 5.D设M为椭圆C上一点，且k2w=-1,直线A,M的方程为 当(-3，-)时，此时=直线1的方程为 y=-(x-2)=-x+2. [x 由4+3=1得7x2-16x+4=02+x=1 y=2x,即x-2y=0, 79 y=-x+2, =子M号号) 2 当C=-18时，联立2+9=1， x+2y-18=0 设N为椭圆C上的一点，且ky=-2,直线A,N的方程为y= 得2y2-27y+117=0, -2(x-2)=-2x+4, 4=272-4×2×117=-207<0,此时该直线与椭圆无交点. 综上直线1的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0. 同理可得（治，） 练案[17] 号 24 9 3 .A= 7+2 4,6=26 8 A组·基础自测 19 +2 1.D设弦两端点A(x1,y),B(x2y2),则x1+2=8,少1+y3= 直线PA斜率的最大值为子，最小值为子 一373练案[16] 第二章 圆锥曲线 §4[4.1直线与圆锥曲线的交点] 名组·基础自测 二、填空题 一、选择题 7.过点(0，-1)且与抛物线y=4x相切的直线 1.已知抛物线C:y2=4x,经过点P的任意一条直 方程为 线与C均有公共点，则点P的坐标可以为 8.若线1y=低+2与双线c号-y=1的右支交 ( 于两个不同点，则k的取值范围是 A.(0,1) B.(1,-3) 三、解答题 C.(3,4) D.(2,-2) 9.若直线y=kx+I(k∈R)与焦点在x轴上的椭 2直线y=:-6+1与裤调写+羊=1的位置关 听+后1心有公共点，求实数n的取值 m 系为 范围. A.相交B.相切 C.相离 D.不确定 3.若直线1：x-y-1=0与椭圆C:+号=1交 于A,B两点，则IAB1= ) A2② B.32 C.32 D.42 3 2 4 3 4.不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x2- y2=1总有公共点，则b的取值范围是 A.(-3,3) B.[-√3，w3] 10.如图，直线1：y=x+b与抛物线C:x2=4y相 C.（-2,2) D.[-2,2] 切于点A. 5.直线y=x+3与曲线-1=1 94 (1)求实数b的值； A.没有交点 B.只有一个交点 (2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线 C.有两个交点 D.有三个交点 相切的圆的方程， 6.(多选题)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C,: >+3=1(a>b>0)的左焦点为F(1.0 且点P(0,1)在C,上.直线1同时与椭圆C1和 抛物线C2:y2=4x相切，则 A椭圆G的方程为号+y=1 B箱圆G的方银为对+ -=1 C.直线1的方程)y= 2x+2或y=- 2t-v2 D.直线1的方程y=- 2+2或y= 2x-√2 -227 乃组·素养提升 三、解答题 一、选择题 7.若直线l:y=(a+1)x-1与曲线C:y2=ax(a 1.若直线mx+y=4和⊙0：x2+y2=4没有交 ≠0)恰好有一个公共点，试求实数α的取值 点，则过点(m,0)的直线与椭圆写+千=1的 集合 y 交点个数为 A.0或1B.2 C.1 D.0 2已知双街线C号-茶=1a06>0.若直 线)=。与抛物线y=+1只有一个公共 点，则双曲线C的离心率为 3 B.5 c曾 D.5 8.（2024·新课标全国I卷)已知A(0,3)和 3.已知抛物线y2=8x,过点A(2,0)作倾斜角为 3,引为椭圆c+芳=1(a>6>0)上 的直线1，若1与抛物线交于B,C两点，弦 两点 BC的中垂线交x轴于点P,则线段AP的长为 (1)求C的离心率； (2)若过P的直线I交C于另一点B,且△ABP A. n.g 的面积为9，求1的方程 e60 D.83 4.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为1，P是 抛物线上位于第一象限内的一点，过点P作 的垂线，垂足为Q,若直线QF的倾斜角为 150°，则IPF1= ( A.2 B c D.3 二、填空题 5.过点P(1,2)与双曲线C:2x2-y2=2有且只 有一个公共点的直线共 条 6.在平面直角坐标系xOy中，已知点A,F分别为 椭圆c号+苦-1(。>60)的右顶点和右袋 点，过坐标原点0的直线交椭圆C于P,Q两 点，线段AP的中点为M,若Q,F,M三点共线， 则椭圆C的离心率为 —228