2.4.1 直线与圆锥曲线的交点-【经纶学霸】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册4星学霸黑白题（北师大版）

§4直线与圆锥曲线的位置关系 4.1直线与圆锥曲线的交点 白题 基础过关 限时：45min 题组1直线与椭圆的交点 6.(2025·福建厦门高二期中)已知动点M(x, 1.(2025·辽宁葫芦岛高二期中)已知椭圆C: y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线1：x= 4+y=1,直线：x-2y+2=0,则1与C的位 的距离的比是常数等 25」 置关系为 (1)求动点M的轨迹方程，并说明它是什么 曲线。 A.相交 B.相切 (2)在(1)中所求曲线上是否存在一点P,使 C.相离 D.以上选项都不对 得它到直线4x-5y+40=0的距离最小？ 2直线L3x+y-3=0与椭圆C:16+人=1的 若存在，请求出最小距离和对应点P的坐 标；若不存在，请说明理由. 个交点坐标为 ( 113 A.(2,3) 13,13 2153 C.（-2,33) .3 3.(2025·河南郑州高二期中)直线”+ -=1与 a 椭圆+ 6=1(>b>0)的公共点有 ( 题组2直线与双曲线的交点 A.0个 B.1个 7.(2025·四川自贡高二期中)已知直线1： C.2个 D.无数个 y=2-8,双曲线c手2-1，则 4.北师大版教材变式(2025·云南昆明高二期中) A.直线1与双曲线C有且只有一个公共点 直线-y+1=0(k∈R)与椭圆+兰-1恒有 B.直线1与双曲线C的左支有两个公共点 m C.直线l与双曲线C的右支有两个公共点 公共点，则实数m的取值范围为 ( D.直线l与双曲线C的左右两支各有一个公共点 A.(1,4] B.[1,4) C.[1,4)U(4,+∞)D.（4,+∞) 8若过点M2,3)且与双圃线-卡=1(6>0)有 5.(2025·广东广州高三月考)已知直线l:y=x- 且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线 3流圆C元天1相交，则C的长错长的 的离心率是 A.2 B.3 C.2 D.4 取值范围是 2 第二章黑白题055 题组3直线与抛物线的交点 Q已知直线：2x+3=0与双曲线C:3习 13.（多选)已知抛物线C:y2=4x,经过点P的任 (a>0,b>0)无公共交点，则C的离心率的取值 意一条直线与C均有公共点，则点P的坐标 范围是 ( 可以为 () A+) B.3 A.(0,1) B.（1,1) C.(3,4) D.（2,-2) c,1 D,】 14.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A为准线 上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位 10.(2025·山东临沂高二月考)若直线y=kx+2 置关系为 与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个交 A.相交 B.相切 点，则实数飞的取值范围是 C.相离 D.以上都有可能 1若直线2与单位圆和曲级着兮1均相切。 15.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过 点M(-1,4)作y轴的垂线交抛物线C于 则直线1的方程可以是 点A,且满足IAFI=IAM1,则抛物线C的方 (写出符合条件的一个方程即可) 程为 ;设直线AF交抛物线C于另 12.(2025·河南驻马店高二期中)已知双曲线 一点B,则点B的纵坐标为 :0>0,b>0)的离心率为2，焦点 16.(2025·陕西汉中高二月考)已知抛物线C: F到渐近线的距离为1. x2=2py(p>0)的焦点F在直线x-y+1=0上. (1)求抛物线C的方程； (1)求双曲线E的标准方程； (2)直线l:y=kx-1与双曲线E的左支交于 (2)设直线1经过点A(-1,-2),且与抛物线 C有且只有一个公共点，求直线1的 不同两点，求实数k的取值范围. 方程 选择性必修第一册·BS黑白题0566.B解析：如图，根据题意，4r=π (IABI 2 2 ,1AB1=4,设1AF1= a,IBF1=b,过点A作AQ⊥l于点Q,过点B作BP1l于点P,由抛物 线定义，得|AF1=IAQ1,IBFI=IBPI.在梯形ABPQ中，21CDI= 1AQ1+|BP1=a+b.由题意可得AF⊥BF,则IAB12=IAF12+1BF12,即 16=a2+R.1cD1P=(a6）2_a2+62+2ab_16+2ab 4+a6 ≤4+ 2 4 4 a2+b2 4=8,1CD1≤22（当且仅当a=b=22时，等号成立），1CD1 的最大值为2√2.故选B. (第6题) (第7题) 7.BCD解析：如图，过点P作PP'⊥l,垂足为P', 由抛物线的定义知IPP'I=IPFI,.Rt△PFQ与Rt△PP'Q全等， 则∠FPQ=∠P'PQ..IPFI=2+√2，IQFI=√2，∠PFQ=90° an∠FPp=V2 pF-m 2 2p 、2.2=1,则∠PpF=45°，直线PF的倾斜角 为45°，故A错误；设直线1与x轴交于点K,则IKF1=p,由上可知， ∠QFK=45°，则△QFK为等腰直角三角形，：1QFI=√2，.p2+ p2=2,得p=1,所以抛物线方程为y2=2x,故B正确；设P(x1,1), 3 M(22).PF1=+号=2+2,1=子+2.P,F,M三点共 线，pr=e,即1 ,则，力 2一，化简得 7131 1222222 （n-1)01)=0方，=1，即=》= 44 3 3 IMFI 又：1=+2，为=2-反，则1MF1=+2=2-2,心P 2-5=3-22,故C正确；设线段PM的中点为E(0,%),则 2+W2 空号，由上可知，直线Pp的方程为y=分6=号 2 1,E(},1,上可知Q(子，1），则1QE1=2,又1PW1= 1PF1+|FMI=2+2+2-2=4=2IQE1,.点Q在以线段PM为直径 的圆上，故D正确故选BCD. 8号解折：如图，设圆c的半径为R,则1C01=-1又c到1：y=4的 距离为R,则C到直线y=3的距离为R-1.所以C的轨迹是以O为焦 点，以直线y=3为准线的抛物线，顶点为C(0,子），则1PC1≥ 1C01-1≥1C'01-1= 1 2 1=4 3 0.3 y=-] (第8题) (第9题) 9.、1 5解析：如图，由题意可知，抛物线C:x2=4y的焦点为F(0, 参考答案 1),准线方程为y=-1,设Q(x,y）,圆M:x2+(y-5)2=4,即为x2+y2= 10w-21,则18+0 √x2+y2-8y+16 √x2+(y-1)7 √x2+y2-2y+1 √/10y-21-8y+16_√2y-5_1 V10y-21-2y+1√8y-202 因为IQ=号1QP1,则1PF1+1PQ1+1QF=IPF1+1P01+ IQA1≥IPF1+IAPI,当且仅当A,Q,P三点共线时，等号成立，设点P 到准线y=-1的距离为d,则IPFI+1API=d+IAPI≥5，当且仅当P为 坐标原点0时，等号成立，综上所述，1PF1+1PQ1+2IQF1≥5，当且 仅当P为坐标原点0，Q为(0,3)时，等号成立，所以1PF1+PQ1+ 子QPI的最小值为5 压轴挑战 11 （44) 2 解析：由am2+ay2-(x+y-1)2=0,可得号(+y) x+y-11）2 ,所以2·√2+之=，所以x+y之=2 1x*y-1√a √2 方程表示点(x,y)到点(0,0)的距离与直线x+y-1=0的距离之比为常 数√2者方程2+r2-(+y-1)2=0表示的曲线是抛物线，则 =1,解得a=2点(0,0)为抛物线的焦点，直线x+y1=0为抛物 a 线的准线，过(0,0)与直线x+y-1=0垂直的直线方程为y=x,由 1 x+y-1=0,解得 x=- 2 所以抛物线的准线与对称轴的交点坐标为 （y=x, 1 y= 2 (分)又地物线的顶点是熊点(0,0)与（分 11 的中点，所以 港物线的顶点坐标为（冬，！）】 §4 直线与圆锥曲线的位置关系 4.1直线与圆锥曲线的交点 白题 基础过关 1.A 解析：由x-2+5=0,消去y并整理得+W2x-1=0,显然4= x2+4y2=4, (2)2-4x1x(-1)=6>0,因此方程组x-2+2=0有两个不同的 (x2+4y2=4 解，所以1与C相交.故选A (V3x+y-√3=0， 2.D解析：由x2y2 可得13x2-24x-4=0,解得x=2或x= =1, 164 153 3,当=2时，y=-3,当x=二3时，y= ,所以直线与椭圆的 13 交点坐标2，.（品） 故选D. 3.C解析：如图，直线文+=1和椭圆号 y2 =1(a>b>0)均过(a,0),(0,), 结合图象可知直线x+工=1与椭圆女+ a2 户=1(a>b>0)的公共点有2个.放选C. 4.C解析：由于直线y=kx+1恒过点M(0,1),要使直线y=x+1与椭 圆兰+上=1恒有公共点，则只要M(0,1)在椭圆的内部或在椭圆上 4 m 黑白题035 m>0, 即可，即 ≠4，解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范圈为[1， 12 m ≤1， 4)U(4,+∞).故选C. ）解析：将)=-3代人2+子=1，得52-6g+9-4m 4m m 0,则4=36-20(9-4)>0，解得m心号因为C的长轴长为2，m- 4瓜，所以C的长轴长的取位范围是(25，+m）放答案为 (25+） 6.解：(1)设d为点M到直线1的距离，由题意可得M d (x-4)2+y74 ,整理得25(2-8+16+y2)=16(2-25x 2t* 需），即得92+2y=23,即云+号=1，放点M的轨速是焦点在 25'9 x轴上，长轴和短轴分别是10和6的椭圆 4x-5y+40=0, y↑/4x-5y+40=0 (2)存在由x22 消去y可得 （25+9=1, 5x2+64x+275=0,显然△=642-4× 5×275<0,故直线4x-5y+40=0与椭圆 无公共点.如图所示，设直线4x-5y+ 0 40=0与该直线平行，其方程可设为 4x-5y+入=0. 联立-5y+A=0, 消去y可得25x2+8入x+入2-225=0.由4= (9x2+25y2=225. 64λ2-4×25×（λ2-225）=0，解得入=-25或入=25.结合图象可得，当 A:25时，直线红列+25=0与椭圆若号=1的公共点P到直线 4-5y+40=0的距离最小，最小距离为4=140-251-15V④，此时方 √42+52 41 程25x2+8入x+入2-225=0，即x2+8x+16=0,解得x=-4,代入直线4x- 5+25=0,解得)号，即此时点P(-4,号） 7.C解析：在同一平面直角坐标系中分 x 别画出1：y=2x-8与C:4-2=1的 图象如图所示.由图可知直线1：y=2x 8过点Q(4,0),它在双曲线的右顶 点A(2,0)的右边，联立直线与双曲线 10 「26 (y=2x-8, x= 3 x=- 5’ 方程得x 解得 4y2=1, ,或 则直线1与双曲线C的 4 y=-3 12 y=5, 右支有两个公共点B,C故选C. 8C解折：由题意，过点M2,3)与双曲线2-卡=1(6>0)有且只有 一个公共点的直线有3条，根据双曲线的几何性质，可得M(2,3)在 双曲线上，可得4- 2=1,解得b=3.又由双曲线的实半轴长a=工 则半焦距c=V@+62=2,所以该双曲线的离心率e=。=2.故选C. 9.D解析：如图，双曲线C:。 x2 y2 =1(a,b>0)的一条渐近线方程为 6因为直线：2x+3y=0与C无公共交点，所以6三子即 a ≤号，所以e=日 62 a =1+”2≤3又e之1，所以C的离心率的取 选择性必修第一册·BS 值范为(1，]放选D, 2+3y=0y1 (第9题) (第10题) 10.(-1,1)解析：当直线y=kc+2与双曲线x2-y2=1的渐近线y=±x 平行时，k=±1，此时直线与双曲线的其中一支有一个交点.若直线 y=x+2与双曲线x2-y2=1的左、右两支各有一个交点，可得直线 y=x+2一定在两渐近线之间，则k的取值范围为(-1,1).故答案为 （-1,1). 1.y=±25±V可（写出特合条件的一个方程即可）解析：易知直线 3t3 的斜率存在设直线方程为=地，由：+1，消去y得(1+格) x2+2hbx+b2-1=0,则△1=4262-4(1+k2)(b2-1)=0,化简得62= (y=kx+b, 1+2,由x2y2_,消去y得(3-42)x2-8bx-4b2-12=0,则 431, 42=64k262-4(3-42)(-462-12)=0,化简得62=4k2-3,由 低每得了子则=56=±所以监线 b2=4k2-3, 2w3√2i 方程为y=±3°土3，故答案为y=士 （(写出将合条 的一个方程即可)， 12解，（因为双虚线子千=10>0,6>0）的离心幸=2，可得 =2,即c=√2a.又因为焦点F(c,0)到渐近线bx-ay=0的距离 a 为1，根据点到直线距离公式d=16c1 a6而c2=a2+6,所以d=6, 则b=1.由c2=a2+b2且c=2a,b=1,可得(2a)2=a2+1,解得a2= 1.所以双曲线E的标准方程为x2-y2=1. (2)将直线y=x-1代入双曲线方程x2-y2=1,得到x2- (kx-1)2=1,展开可得x2-(k2x2-2kx+1)=1,整理得(1- k2)x2+2x-2=0.因为直线与双曲线左支交于不同两点，所以 1-k2≠0， 4=(2k)2-4(1-k2)×(-2)>0, 2k x1十x2=- 人43c0, 由1-k2≠0，解得k≠±1.对于△= -2 11-p>0 (2k)2-4(1-2)×(-2)>0,即42+8(1-2)>0，解得-√2<<√2.由 场生0（共合品>0）得2法0怒得0由 1-0,解得2>1，即>1或k<-1综合以上条件，取交集 -2 得-√2<k<-1.则实数k的取值范围为(-√2，-1). 13.BD解析：因为点(0,1)在y轴上，所以点(0,1)在抛物线外部. 将x=1代入抛物线C:y2=4x中，则1y1=2>1,所以(1,1)在抛物线 内部 将x=3代入抛物线C:y2=4x中，则1y1=25<4,所以(3,4)在抛物 线外部. 将x=2代入抛物线C:y2=4x中，则|yl=2√2>2，所以(2，-2)在抛 物线内部. 综上，（1,1)和(2，-2)均在抛物线内部，故当点P位于这两点处，此 时经过点P的任意一条直线与C均相交，即均有公共点，故选BD. 14.B解析：设4（号，），F(号，0)，则AF的中点坐标为(0， 黑白题036 a 中垂线的斜率为k=,所以直线AF的中垂线 2 ,hap=-a 方程为y=+分，代入=2p,可得-2四+02=0,4= a 4a2=0..线段FA的中垂线与抛物线相切.故选B. 15.y2=4x-1解析：依题意1AF1=IAM1,根据抛物线的定义可得直 线x=-1为抛物线的准线，所以号=1，即p=2,所以抛物线方程为 y2=4x,则F(1,0),当y=4时，42=4x,所以A(4,4),所以直线AF的 方程为y= 3(x-1),设直线与抛物线的另一个交点为B(1,y1), y2=4x, 联立直线与抛物线方程〈 4 消去x得y2-3y-4=0,可得 =3(x-1), y1=-1. 16.解：(1)抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在y轴上，且开口向上，直线 x+1=0与y轴的交点为(0,1)，则F(0,1),所以号=1，p=2,抛 物线的方程为x2=4y. (2)当直线1的斜率不存在时，直线x=-1与抛物线只有一个公共 点.当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y+2=k(x+1), y+2=k(x+1),x2 x2=4y →4+2=kx+k,x2-4x+8-4k=0,4=16k2-4(8- 4k)=16k2+16k-32=0,k2+k-2=0,解得k=1或k=-2.所以直线1的 方程为y=x-1或y=-2x-4.综上所述，1的方程为x=-1或y=x-1 或y=-2x-4. 4.2直线与圆锥曲线的综合问题 白题基础过关 1.BC解析：当直线AB的斜率存在时，设过点(0,1)斜率存在的直 (y=kx+1, 线AB方程为y=x+1,由 消去y并整理得(2+2)x2+ 21, 2k-1=0,4>0恒成立，设A(1,),B(,2),则+22+， -2k 2+p,MB1=1+12=1+及·V+)2-4 -1 x1x2 m√a是22a() 2+k2 [√2,2W2),当直线AB的斜率不存在时，IABI=22,因此IAB1∈ [2,22],所以弦长IAB1可能是2，√5.故选BC 2.B解析：设F(c,0),令x=c,则y=±2如果A,B在同一支上，则有 1MB1=24,如果A,B在两支上，则有1AB1=2xa,因为1AB1=16 a (24∠16， 这样的直线有4条，所以{ā 解得9 <a<64,故选B. 2Wa<16, 3.-1解析：由题意得，，0>0)消去x可得2-2w2印=0， △=4p2+8p>0,设A(1,y1）,B(x2,y2）,则y1+y2=2p,y1y2=-2p, 故1AB1=√(x-x2)2+(yy2)2=√2(y1y2)户=2× √(y1+y2)2-4y12=√2×√4o2+8p=8,p=2(负值已舍去)，则准 线方程为x=-1.故答案为x=-1. 4解：1)已知46,0.82.)是横网三若-1(c0)上两点，可 6,0 得 2t621, 41 解得：6所以椭圆C的标准方程为二+子 (a2621, b2=3. 63=1. (2)设过点(0，-1)的直线1的斜率不存在时，直线方程为x=0,与椭 圆父+二=1相交的交点坐标分别为(0，，(0，-3)，此时交点弦 63 参考答案 长1PQ-258,不行合感意，所以设道点(0，-)的直线1方程 为y点1.与满国后 -=1联立，消去y得(1+2k2)x2-4x-4=0, 4k =4 设交点P(1,),Q(,2),则+1+2=1+22，则 1PQ1=√1+21x1-x21=√1+2√(x1+x2)2-4x1x2=√1+· √4@经理5. 1=0→(52+1)(k2-1)=0,即k=±1，所以直线1的方程为y=x-1或 y=-x-1. 5.解：(1)由题意得。=7，令a=2x,c=7x,x>0,则6=Vc-a2= √7-4-3x又焦点到渐近线的距离为5，所以1bl √a2+b2 37=5=3,所以x=1,所以a=2,c=7,6=5,所以双曲 /4x2+3x2 线C的标准方程为x2-。=1 y=x+2, (2)设A(1,y1),B(2,y2),联立方程组{x2y21 消去y整理得 .43 =1, x2+16x+28=0,则4=162-4×28=144>0，x1+x2=-16,x1x2=28,所 以1AB1=√1+h2·√(x1+x2)2-4x1x2=V2×√162-4×28=122.又 原点到直线AB的距离d= 2 /12+1 =2,所以Sm=子1hAB1d= 2×122xv2=12 6B解析：联立，4得2+2(+1)2-4=0，即3+4x-2=0, 则弦的中点的横丝标为子×（子）=子，纵坐标为-子+1=日。 甲（子号）放选B 7.D解析：设弦端点坐标为A(x1y1),B(x2y2),由A,B在双曲线上， 则行引两式作差可得（好-对》-(-月）=0，即（，+，)： 气x号-y2=1, (x1-x2)-（1+y2)（为1-y2)=0,又弦AB被点(2,1)平分，则 1+=4代人上式可得4(1-)-2(-2)=0，则 (y+y2=2, 12=2,即所求直线方程为y1=2(x-2),化简可得2x-y-3=0,故 无1-光2 选D. 四重难点拨 解决中点弦的问题的两种方法： (1)韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元 二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； (2)点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交 点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解. 8.C解析：设斜率为1的平行直线为y=x+n与椭圆交于A,B两点， 设A(11,B(,2),线段B中点为M(,),y1=1,x= 1一x2 x1+x2y1+y2 2,y= A,B两点在椭圆+=1上，4+了=1且 2 43 车号=1，两式相减得，-0.即名国)( x经y吃 43 4 n=0c2.23x2=-即y 3 6名+2-41× 年*，故这些直线被椭圆截得的线段的中点所在的直线方程为y= 3 3 4 x.故选C. 黑白题037