练案14 第二章 3.1 抛物线及其标准方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[14] 第二章 圆锥曲线 §3[3.1 抛物线及其标准方程] 儿组·基础自测 6.(多选题)已知点A(-2,4)在抛物线y=-2x 一、选择题 (p>0)上，抛物线的焦点为F.延长AF与抛物线 1.对抛物线x2=4y,下列描述正确的是( 相交于另一点B.O为坐标原点，则下列结论中正 A.开口向上，焦点为(0,1) 确的是 () A.抛物线的准线方程为x=2 B开口向上，焦点为0,6 B.抛物线的焦点坐标为(-2,0) C.开口向右，焦点为(1,0) C.点B的坐标为(-2，-2) D.开口向右，焦点为(60 D.△OAB的面积为8 二、填空题 2.已知抛物线2=2y的准线方程为y=4,则实7.(2024·北京卷)抛物线y2=16x的焦点坐标 数a的值为 为 A.8 C.-8 8.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反 3.在同一平面直角坐标系中，方程9x2+4y2=1 射后，与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准 线方程为 (提示：抛物线的光学性质： 与3x+2y2=0的曲线大致为 从焦点发出的光线经抛物线反射后与轴平 行) 三、解答题 9.设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正 半轴上，过点F的直线交抛物线于A,B两点， B 线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是 3,求抛物线的标准方程 C 4.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准 线及对称轴的距离分别为10和6，则p的值可10.求顶点在坐标原，点，对称轴为坐标轴，过点 为 (-2,3)的抛物线的标准方程. A.1 B.2 C.9 D.2或18 5.已知点F是抛物线x2=4y的焦点，点P为抛 物线上的任意一点，M(1,2)为平面上一点，则 IPMI+IPFI的最小值为 () A.3 B.2 C.4 D.23 —223 8组·素养提升 三、解答题 7.求适合下列条件的抛物线的标准方程： 一、选择题 1.AB是抛物线y2=2x的一条焦点弦，1AB|=4, (1)过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线 交抛物线于A、B两点，且|AB|=6; 则AB中点C的横坐标是 c (2)抛物线顶点在原点，对称轴是x轴，点 A.2 BR方 D.2 P(-5,2√5)到焦点的距离是6. 2.如图抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F,过 抛物线上一点A(3,y)作准线l的垂线，垂足为 B,若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方 程为 A.y=2 1 B.y2=x C.y2=2x D.y2=4x 8.一辆卡车高3m,宽1.6m,欲通过断面为抛物 3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为0，经过 线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍， 点A(x,2),且F为抛物线C的焦点，若1AF1= 若拱口宽为am,求使卡车通过的a的最小整 31OF1,则p= 数值. A号 B.1 C.2 D.2 4.已知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,点 P1(x1,1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3)在抛物线上， 且2x2=x1+x3,则有 A.IP FI+IP,FI =IFPI B.IP F12+IPF12=IPF12 C.2PFI=IP FI+IPFI D.IP,F12=IP FIIP:FI 二、填空题 5.已知点A(0,2),抛物线y2=2px(p>0)的焦点 为F,准线为l,线段FA交抛物于点B,过B点 作l的垂线，垂足为M,若AM⊥MF,则p= 6.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(-1, 0)关于原点0对称.点P(xo,yo)在抛物线 y2=4x上，且直线AP与BP的斜率之积等于 2,则x= —224.可得∠BFC=∠ABF=60°.Rt△BCF中，ICFI=IBFIcos60°= 练案[14] p,解得IBF1=2p, A组·基础自测 1.A:抛物线的标准方程为x2=4y, 由By轴，可得3+号=2p,p=2, .抛物线的标准方程为y2=4x。 ∴2p=4,p=2,解得号=1，因此揽物线的焦点为(0,1)，准线3.C因为点A(,2)在抛物线上，14F1 为y=-1,可得该抛物线的开口向上 =310F1I, 2.C因为抛物线2=2ay的准线方程为)=4，所以-号=4，解 所以+分-号，所以=， 得a=-8.故选C. 所以A(p,2),所以4=2p2,解得p OF 3D由9+4y2=1,得 =√2. X= 故选C. 94 4.C:点P、P2、P3在抛物线上，且2x2 子>了，所以情圆的焦点在y轴上，所以排除AB, 因为 =x1+x,两边同时加上p, 由3+2=0，得产=-弓，可蜘知抛物线的焦点在x轴的负 得2(+）=+号+西+分， 即2IP2FI=IPFI+IP3FI,故选C. 半轴上，所以排除C, 故选D. 5.2 由抛物线的定义可得1BMI=BF1,F(号，O,又AM1 4.D由题意可设点M的坐标为(x,6), 由题意得+=10， MF,故点B为线段M中点，即B(朵，，所以1=2×子→p =5. 2px=36, 即p2-20p+36=0,p=2或p=18. 6.1+√2：点B与点A(-1,0)关于原点0对称，B(1,0), 5.A如图，在平面直角坐标系中作出图 据题意，得2，又店=4…2=喝-1，即号22 象，过点P作准线的垂线，垂足为N 由题意可得IPMI+IPFI=IPMI+ -1=0,解得0-2告区-1±2，舍去负值，得=1+2 IPWI≥IMWI. 2 显然，当P,M,N三点共线时，IPMI+ 7.（1)设抛物线的准线为1，交x轴于K IPFI的值最小. 因为点M(1,2),F(0,1),准线方程为y=-1, 点1的方程为x=受，如图，作 所以当P,M,N三点共线， AA'⊥1于A',BB'⊥I于B,则IAFI 即点N的坐标为(1，-1)时，(1PMI+IPFI)mim=IMNI=3. =IAA'I=IFKI=Iml,同理IBFI= 6.ABD将(-2,4)代人抛物线方程可得p=4,因此抛物线方 程为y2=-8x,所以准线方程为x=2,焦点坐标为(-2,0)， 又|AB1=6,则21ml=6. 故A、B正确； ∴.m=±3，故所求抛物线方程为y2=±6x 易知AF⊥x轴，所以B(-2,-4),故C错误；又因为1AB1=8, (2)设焦点F(a,0),1PF1=√(a+5)2+20=6,即a2+ 所以SAOM=7×8×2=8,故D正确故选AD, 10a+9=0,解得a=-1或a=-9.当焦点为F(-1,0)时， p=2,抛物线开口方向向左，其方程为y=-4x:当焦点为 7.（4,0)由题意抛物线的标准方程为y2=16x,所以其焦点坐 F(-9,0)时，p=18,抛物线开口方向向左，其方程为y 标为(4,0) =-36x. 8.x=-2由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦8.以隧道顶点为原点，拱高所在直线为y轴建立直角坐标系，则 点，故准线方程为x=-2 9.设抛物线的方程为x2=2py(p>0),A(x1,y1),B(,,y2),由抛 B点的坐标为（分，-4），如图所示，设隧道所在抛物线方 物线定义可知y1+y2+p=8, 程为x2=my,则 又AB的中点到x轴的距离为3， a 所以y+y2=6,所以p=2, (经)=m(4) 所以抛物线的标准方程为x2=4y: m=-a,即抛物线方程为2=-ay 10..点(-2,3)在第二象限， 将(0.8，y)代入抛物线方程，得 ∴.设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0), 又点(-2,3)在抛物线上， 0.82=-ay,即y=_0.8 ps9】 p号 欲使卡车通过隧道，应有4-1y川>3， “抛物线方程为了=一号或父=号 即导-0 ->3 B组·素养提升 由于a>0,得上述不等式的解为a>12.21,.a应取13. 1.C设A(x,y),B(),则AB中点C的横坐标为+ 2 练案[15] 1AB1=x1+3+p=1+2+1=4, !A组·基础自测 六+场=3期的-2 1.D抛物线的标准方程可设为x2=-2py(p>0),由题意知 2.D设直线l交x轴于点C, 子-即=3因此所求抛物线的标准方程为F。6 .AB⊥l,lLx轴，∴.AB∥x轴 选D. -369