练案10 第二章 1.1 椭圆及其标准方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[10] 第二章 圆锥曲线 §1[1.1 椭圆及其标准方程] 名组·基础自测 C.△F,PF2的周长为4（√2+1） 一、选择题 D.△F,PF,的内切圆半径为（万-1） 1.已知F(-3,0),E,(3,0),动点M满足MF1+ 二、填空题 IMF,I=5,则点M的轨迹是 A.点 B.椭圆 C.线段 （）7已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两 D.不存在 2已知椭圆 焦点的距离和为8，焦距为25，则此椭圆的 +F=1(a>6>0)的右焦点为 标准方程为 3,0),点(0，-3)在椭圆上，则椭圆的方程8.已知椭圆荟+亏=1上的底M到该稀圆一个 焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标 A.? B.2 y2 45+36=1 36+27=1 原点，那么线段ON的长是 c+ 三、解答题 9.求满足下列条件的椭圆的标准方程： 3椭圆老+ 6+5=1的两个焦点分别为F、F,过 (1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3,2); (2)a:c=13:5,且椭圆上一点到两焦点的距 F2的直线交椭圆于A、B两点，则△ABF,的周 离的和为26. 长是 A.10 B.12 C.16 D.20 4如果方程+m31表示焦点在少轴上 的椭圆，则m的取值范围是 i A.(3,4) 仔+ c.(3.7) D仔 5.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0,-4), C(0,4),则顶点A的轨迹方程是 ) 4. 36+20=1(x≠0) B.+ 20+36=1(x≠0) x2 y C6+20=1(x0) 6,(多选题)已知P是椭圆E:苦+香=1上一点， F,F2为其左、右焦点，且△FPF2的面积为 3,测下列说法正确的是 A.P点纵坐标为3 B.∠F,PF,> —215 10已知点(-号小，B是圆F-)+y=4已知椭圆c:号+亏=1的左右焦点分别为 5 4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分 F,F2,过点F,的直线1与椭圆C的一个交点为 线交BF于P,求动点P的轨迹方程. A,若1AFI=4,则△AF,F2的面积为() A.25 B.√13 C.4 D.√15 二、填空题 5,设F是椭圆)+芳=1的左焦点，P为精圆上 任一点，点Q的坐标为(-1,4)，则1PQ1+ IPFI的最大值为 6若椭圆+1的焦点在轴上，过点 (1,2)作圆2+y=1的切线，切点分别为A, 分组·素养提升 B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶，点， 一、选择题 则椭圆方程是 1.卫知方程m+ m=1表示焦点在y轴 三、解答题 上的椭圆，则m的取值范围是 ( )7设椭圆酷+芳=1(0>6>0)的两个焦点为F、 A.m<2 F2,椭圆上的点D,E满足D,E,F,三点共线，求 B.1<m<2 △FDE的周长 C.m<-1或1<m<2 D.m<-1或1<m<号) 2.(2024·新课标全国Ⅱ卷)已知曲线C:x2+y2 =16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线 段PP',P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨 迹方程为 A云+号-1>0 8设人，人分别是椭圆群+yr=1的左，右焦点. B若黄-1y>0) B为椭圆上的点且坐标为(0，-1) (1)若P是该椭圆上的一个动点，求|PF,I· c6-1s0, IPF2I的最大值； D. ,x2 (2)若C为椭圆上异于B的一点，且BF,= 16+8=1(y>0) 入CF,求入的值 3.中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到两 焦点的距离之和为18，且两个焦点恰好将长轴 三等分的椭圆的方程是 +垢- B. c+51 D.y 81+36=1 —216练案[10] 8.4设椭圆的另一个焦点为E,则1MF+1ME1=10, 又：IMFI=2,.IMEI=8,又ON为△MEF的中位线， A组·基础自测 1.DF1(-3,0),F2(3,0),.1FF21=6, 1ON1=之1WE1=4 又IMFI+IMF2I=5<6,∴.点M的轨迹不存在 9.(1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0，-2)，(0,2).由 ra2-b2=9, 椭圆的定义知，2a=√/32+(2+2)7+√32+(2-2)7=8， 2.D由题意可得0+号=1，解得公二9 所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12. 又焦点在y轴上， 故解圆的方程为后+号=1 所以椭圆的标准方程为亡+女 3.D由题意得a=5,b=4, 由椭圆定义可知，IAF,I+IAF,I=IBFI+IBF,I=2a=10, (2)由题意知，2a=26,即a=13,又日=号，所以c=5, 所以△ABF的周长为|AFI+IABI+IBF,I=IAF,1+IAF,I+ 所以b2=a2-c2=132-52=144, IBF2I+IBF I=20. 因为焦点所在的坐标轴不确定， 所以程圆的标准方程为流+南1政高+高 .y2 169+144=1 10.如图所示，由题意知， y 故选D. 2 女D因为方程m+m31表示焦点在y轴上的椭圆，所 + 1. IPAI IPBI,IPFI +IBPI =2, 以4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,解得子<m<4 ∴.IPAI+IPFI=2,且IPAI+IPFI>IAFI, .动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆， 5.B由IAB1+IACI=12>IBCI=8,得点A的轨迹是以B,C 为焦点的椭圆. 设椭圆方程为若+云=1(a>6>0),则c=4,a=6,所以公= 动点P的轨迹方程为亡+兮=1，即2+亭=1 a2-c2-20, 4 所以椅圆方程为品品引 B组·素养提升 Iml -1>0, 又因为A,B,C三点要构成三角形，所以点A的轨迹方程为20 ,x21.D由题意得2-m>0, 2-m>1ml-1. +6=1(*0, rm>1或m<-1, 即 m<2, 6.CD由已知a=2√2，b=2,c=2,不妨设P(m,n),m>0,n> .3 0m令×25X=3,n=子放A错误：由号 1 m<2 1<m<或m<-,故迷D =1,得m=4 2.A设点M(x,y),则P(x,%),P'(x,0),因为M为PP的中 2 点，所以y。=2y,即P(x,2y),又P在圆x2+y2=16(y>0)上， 川》 所以2+42=16(y>0),即石+子=1(y>0,即点M的轨 1mP=(空2到+号=婴+2m,1m,P= 连方程为名+学-1(>0.放法 (-2+￥-9-2E1eP+1p,P-(2e2 3.C椭圆上的点到两焦点的距离之和为18知a=9,:两个焦 点将长轴三等分，2c=了(2a）=6,c=3,6=。2-6= 翠x2-16=子>0m∠Rp4,=1Pg2o 72,故选C. 2IPFI·IPF,I >0,∠F,PF,<牙，故B错误；由椭圆定义，△EPE的周长 4D椭圆C号+号=1中，E,1=2)-5=4,由M,1= 4及椭圆定义得IAFI=2, =2a+2c=4√2+4，故C正确；设△F,PF,的内切圆半径为r, 之·(4万+4)=3r=2(万-).放D正确，故选0① 76+=1由已知2a=8,2x=25,所以a=4c=5,所 以6子=a2-c2=16-15=1.又椭圆的焦点在y轴上，所以椭圆 的标准方程为后+=1 -363 因此△AF,F2为等腰三角形，底边上的高h=的2倍为3. √1，P-(af,)=-下=5， 2.B椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，短半轴长为1，长轴长 是复精长份2倍，成√低-2.部得m子 所以△AFB的面积为Sa=2AE·h=5.故选D, 3.B abeA,心不同的方程千+养=1共有16个 5.11由题意可得a=3,b=√5，c= a-b2=9-5=2, 由题意a2<b2,.a=1时，b=2,4,5:a=2时，b=4,5: 所以F(-2,0),F(2,0)， 《=4时.6=5，共6个所求就率P=合号 因为IPF,I+IPF,I=2a=6 所以IPFI+IPQI=6-IPF,I+ IPQI≤6+IQF2I; 4.B由题意得。1E 2 因为QF2= .a2=4,又b2=1, /(-1-2)2+(4-0)2=5 .c2=3,焦距为2c=2√5. 所以IPFI+1PQI≤11. :5.A 椭圆+ 圆a+G=1(a>6>0,k>0且k≠1)的离心率e,= 故答案为11. 6号+千=1木题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方 瓜·a-a- a√E a 程，点(1,2)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线方程 圆+1a>b>0)的离心率c=-《,故选 为1，一个切点为10)，设另一条的方程为y-(分-小r6c由题意，在芸+号1中，有u=5,6=3,e=后-下 32 +m,由1= 得m= ,故另一条切线的方程 5 /25-9=4, √-m+1 短半轴为3，长半轴为5，焦距为4×2=8，离心率©=台 3 为y=-4x+ 子代人圆的方程联立解得切点为（号，号），则 直线AB的方程为y=-2x+2,故椭圆的上顶点坐标为(0， 2》.因此e=1,b=2a=5,所求椭圆方程为号+￥=1 在5。+g6=1中，有a=5-,6=0-6,e 7.如图，根据椭圆的定义可得 √a-b2=√25-k-(9-6)=4, .长半轴为√25-k,短半轴为9-k,焦距为4×2=8， 25-k>0,解得k<9,离心率e= 4 l9-k>0, √25-k1 ∴.A、C正确，B、D错误故选AC 7(-,4u(+）张意得+>1，解得 IDF I+IDF,I =2a.IEF I+IEF,I =2a. 232 ∴△FDE的周长为IEFI+IEF2I+IDF,I+IDFI=4a 9 8(1)因为椭圆的方程为+=1，所以a=2,6=1,c=5, 即k<-42或>42 3 3 即IF,F2I=2 8 如图，IAB1=2c=4, 又因为IPFI+IPF2I=2a=4, 2 所以F1P1≤(1-（告=4， 点C在椭圆上， ∴.ICB1+1CAI=2a=3+5=8, 当且仅当1PF,I=IPF2I=2时取等号，所以1PF,I·IPF2I的 =元音分 最大值为4. 2)设C(xo,).因为B(0,-1),E(-3,0),所以B配=(-5,9.a=2b,当焦点在x轴上时，设方程为+y 户=1，则 16 + 1),C=（-5-,-%). 因为B立=AC京，即(-5,1)=A(-5-xo,-0), =1=17,即 8+17=1 得=》=六 当焦点在y轴上时，设方程为 .y2 6 +46=L,则 6=1, 入 又学+后=1，所以有A461-7=0, .b2=8 =1 解得入=-7或入=1.因为C异于B点，故入=1舍去，所以 入=-7. 大师调方程为后+号1号 练案[11] 10.解法一：设焦点坐标为F(-c,0),F(c, 0),M是椭圆上一点，依题意设M点坐标 A组·基础自测 1.B由题意知a=2,b=5,c=1,最长弦过两个焦点，长为2a= !: c号 4,最短弦垂直于x轴，长度为当x=c=1时，纵坐标的绝对值 364