练案13 第二章 2.2 双曲线的简单几何性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

的绝对值为4，.该曲线为双曲线， .2a=4,a=2,c=4,6=12, 因为P是C上一点，所以4-令=1，解得=±3， x22 一双曲线的标准方程为4立1 所以P(2,±3)，IPF1=3 又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1， :点(，2)在该双前线上心号音-1.解得=±4 31 所以Sr=7×1P1x1=×3×1=号 7.(1)当a=0时，方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和 故选D. x=-1. 4.C双曲线的右顶点P(2,0),直线1的方程为x=2, (2)当0<a<90时，方程为兰王=1 双曲线的两条渐近线方程为y=2x或y=-2x, cos o sin o 当x=2时，y=2或-2，即A(2,2),B(2,-2), cos&了na它表示焦点在y轴上的 1 1 则IPAI·IPBI=2×2=4. ①当0°<a<45°时，0< 故选C. 椭圆. 5.C由题意，设F(0,-4)、F2(0,4)、P(-6,4), ②当a=45时，它表示圆x2+y2=2, 则1F,F2I=2c=8,1PFI=√62+(4+4)7=10,1PF2I= ③当45°<a<90°时， 1 。>n。>0,它表示焦点在x轴上 √6+(4-4)7=6， 的椭圆. 则2a=1Pm1-1PF1=0-6=4,则e=会受-2放选C (3)当α=90时，方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和6.ACD等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=±x,故A y=-1. (4)当90°<a<180°时，方程为 +2 正确；由双曲线的方程可知IFF,1=22,所以以FF2为直 1 1 -=1,它表示焦 径的圆的方程为x2+y=2,故B错误；点P(xoo)在圆x2+ sin a -cos a y2=2上，不妨设点P(x,y%)在渐近线y=x上，所以 点在y轴上的双曲线. (5)当a=180°时，方程为x2=-1,它不表示任何曲线 6+6=2,解得x=1,则点P的横坐标为士1，故C正确： LYo =xo: 8.sin C-sin B=I 2 sin A, 由上述分析可得△PF,,的面积为子×2万×1=万，故D c-b=1g1 正确 2a=7×2=1, IABI IACI =1<IBCI =2. 7.号由题可知A,B,F,三点横坐标相等，设A在第一象限，将 2 ∴.动点A(x,y)的轨迹是以B、C为焦点的双曲线， r2a'-1, 1 c代人号上 号卡=1得y=±号即)，) .2c'=2 故1AB1=2沙=10,1A,1=￡=5， 62=c2-a2,b= 3 又IAF,I-IAFI=2a,得1AFI=IAF2I+2a=2a+5=13,解 “点抗速方程为后兰(：》 得a=4,代人=5得68=20，故c2=0+8=36,即c=6,所 4 4 以e=￡=6 3 由于c>b就是AB1>IACI,可知A点的轨迹是双曲线的右 4 支，还需除去点（分，0如图所示 练案[13] 8. 86=1x2 （4玩3元=1（入≠0，入≠1）的方程均可） 与双 A组·基础自测 y 1A由题痘得行-2景-4， 曲线子-；1渐近线相同的双曲线的方程为一力1○ .a2=46=4(c2-d2）=4c2-4a2, ≠0，入≠1). 5=(台-子商心率=5=5 5 故答案为上 =1(入≠0，入≠1)的方程均可 2 2.B由题意得m(m-1)<0, 9.:点A与圆心0连线的斜率为-4， ..0<m<1, .过A的切线的斜率为4 .“m>0”是“0<m<1”的必要不充分条件.故选B .双曲线的渐近线方程为y=±4x 3D因为F是双曲线C:-兮=1的右焦点。 设双前线方程为-6=入 所以F(2,0). 因为P℉⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yp) 点44，-1)在双曲线上16-6=A-爱 16 367 六双曲线的标准方程为，- 255255=1. 16 10.由1过两点(a,0)、(0,b),得l的方程为bx+ay-ab=0. 由原点到1的距离为 c得， ab 3 2+b 将b=√-a代入平方后整理得， 16(-16 c2+3=0 FA=A正，F,B·FB=0OA为Rt△F,F2B的中位线，.OA ⊥FB. 解关于号的元次方程得号-子支子 又：01所在直线斜率为-占 3或e=2. F,B所在直线方程为y=合(x+c) 因0<a<b,故e=二=+B」 Y= a 2>2 6(x+c), 联立 6 所以应合去e=2,5,故所求离心率e=2. at, 3 则IOB12= ac2 a'bc2 B组·素养提升 a2-6)3+(a2-6=c, 1.C根据双曲线离心率大于1，椭圆离心率在(0,1)之间，则 整理得2=3a2,…么=尽， e,e4都大于e1,e2, a 根据椭圆越接近圆，则其离心率越接近0，故e2<e1, .双曲线C的渐近线方程为y=±√3x 根据双曲线开合程度越大，则离心率越大，故4>e3, .()椭圆方程可化为号+号=1，焦点在：轴上，且c=)-4 综上e2<e<e<e4, 故选C =5. 2.A.IPO川=IPF, 2 设双曲线的方程为子月 =1(a>0,b>0), 点P的横坐标为宁101= 2 94 则有信衣-1解得=3，心=2. 由双曲线的方程可得渐近线方程为y= 2t, La2+b2=5, 点P的飘华标为写或-怎。 放双曲线的标准方程为号-号1 (2)不妨设M在双曲线的右支上， Sm-分×5x号-3放选A 则有IMFI-MFI=25, 又IMF,I+IMF2I=63, 3.A由条件知c=5,即a2+b2=5. 双线后-关-1(a>06>0)的渐近线方程为y: 解得IMF,I=45,IMFI=23,又1F,F2I=2c=25,所以在 b x,而 △MFF2中，边MF,最长， a 12+20-48 直线2x+y=0的斜率为-2，则-2×6=-1，即a=2b,所以 由余弦定理可得s∠M,62X2月×25<0， 所以∠MF,F,为钝角， (2)P+6=5,6=1,所以。2=46=4放双面线的方程为号 故△MFF2是钝角三角形. 8.(1)由题意可设所求的双曲线方程为 -y2=1. 4.C若以MN为直径的圆经过右焦点F2, a262 =1(a>0,6>0),则有e=合=2，=2，a=1,则6= .MF·NF=0, 又IME2I=INF2I, 后所求的双南线方程为-号-1 .△MWF,为等腰直角三角形， (2):直线I与y轴相交于M且过焦点F(-2,0), 设IMF,I=INF,I=m,∴.IMNI=√2m, .l的斜率一定存在，设为k,则l:y=k(x+2): IMF,I -IMF I =2a,INFI-INF2 I =2a, 令x=0得M(0,2k), .1NFl-lMFI=IMWI=4a,∴.m=2√2a, :1M01=21QF1且M、Q、F共线于1， 设MW的中点为H,则IHFI=2a且HF2⊥MN, .M0=2Q或M0=-2Q,设Q(xyo), .在Rt△HF,F2中，4c2=4a2+(2a+22a-2a)2化为c2= 当0-20时0=-专0=号。 3e=日=5选C ∴(-告， 5.44由双曲线C的方程，知a=3,b=4,c=5, ·点A(5,0)是双曲线C的右焦点， ·Q在双曲线x2- 31上， 且IPQ1=1QAI+IPA1=4b=16,点P,Q在双曲线的右支上，由 1642 双曲线的定义，得IPFI-IPAI=6,IQFI-IQAI=6. .927 1心k=t2四 2 .IPFI +1OFI =12+IPAI +10AI =28. 当M0=-2Q时，1Q1>1M01不成立， ·.△PQF的周长为1PFI+1QF1+1PQI=28+16=44. 6.y=±3x如图， m-- 则所求的直线1的方程为y=±牙(x+2) 368练案[13] 第二章 圆锥曲线 §2[2.2 双曲线的简单几何性质] 名组·基础自测 二、填空题 一、选择题 7.(2024·新课标全国1卷)设双曲线c:多 1.若焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程是y= =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F、F2,过 ±2x,则该双曲线的离心率是 () F2作平行于y轴的直线交C于A,B两点，若 A.⑤ B.5 C.⑦ IFA|=13,1AB=10,则C的离心率为 2 D.√7 8.旅行者2号探测器(Vogager2)于1977年8月 2“m>0"是 ￥12 m+m-=1表示的曲线是双曲 20日在肯尼迪航天中心发射升空，迄今为止 已经造访四颗气态巨行星（木星、土星、天王 线”的 星、海王星)及其卫星，它的运行轨道为双曲 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 线，假设方程为千-了=1，请写出一个 C.充要条件 双曲线的渐近线相同的双曲线标准方程 D.既不充分也不必要条件 3已知F是双曲线C2-分=1的右焦点，P是 三、解答题 9.双曲线与圆x2+y2=17有公共点A(4,-1), C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是 圆在A点的切线与双曲线的渐近线平行，求双 (1,3),则△APF的面积为 ( 曲线的标准方程. A号 B c 4卫知双曲线号-苦=1的右顶点为P,过点P 2 的直线1垂直于x轴，并且与两条渐近线分别 相交于A,B两点，则1PA1·IPB1= A.√2 B.2 C.4 D.-4 5.（2024·全国甲卷理科)已知双曲线的两个焦 10设双通线号-茶=10<a<6)的半能距为c 点分别为(0,4)，(0，-4)，点(-6,4)在该双 直线l过(a,0),(0,b)两点，且原点到直线1的 曲线上，则该双曲线的离心率为 ( 距漓为源，求双线的离心率 A.4 B.3 C.2 D.√2 6.(多选题)已知F1,F分别是双曲线C:y2-x2 =1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一 点，且以线段FF2为直径的圆经过点P,则 A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.以F,F2为直径的圆的方程为x2+y2=1 C.点P的横坐标为±1 D.△PF,F,的面积为2 —221 8组·素养提升 6已知双曲线C:无-=1(@>0,6>0)的左 一、选择题 右焦点分别为F,F2,过F,的直线与C的两条 1.如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线C:(i=1, 渐近线分别交于A,B两点，若FA=AB,FB· 2,3,4),其离心率分别为e则4条圆锥曲线 F,B=0,则双曲线C的渐近线方程 的离心率的大小关系是 为 三、解答题 7.已知双曲线过点(3，-2)且与椭圆4x2+9y2= 36有相同的焦点， (1)求双曲线的标准方程； (2)若点M在双曲线上，F,F2是双曲线的左、 A.e2<e1<e4<e3 B.e1<e2<e3<e4 右焦点，且IMF,I+IMF2I=6√3，试判断 C.e2<e1<e3<e4 D.e1<e2<e4<e3 △MF,F2的形状. 2双南线c:营-号=1的有焦点为P.点P在C 的一条渐近线上，O为坐标原点.若1PO1=IPF1, 则△PFO的面积为 3g B.3 2 C.22 D.32 1:1 -y2 3.已知双曲线-b31(a>0,b>0)的焦距为 1, 25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=08.已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个 垂直，则双曲线的方程为 焦点F(-2,0). 4若-y-1 B.x2-r (1)求双曲线方程； s1 (2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线 c号号-1 D. 1与y轴交于点M,若1MQ1=21QF1,求直线1 5“20-1 的方程 4设双的线号 云-京=1(a>0,6>0)的左、右焦点 分别为F,F2,过F,的直线分别交双曲线的 左、右两支于M,N.若以MN为直径的圆经过 ., 右焦点F2,且MF2I=INF2I,则双曲线的离心 率为 A.√6 B.√5 C.5 D.√2 二、填空题 5知F为双周线c:号-后=1的左焦点，P,Q 为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍， 点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长 为 —222—