第2章 2.2 第2课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦双曲线核心知识点，系统梳理渐近线方程、离心率计算、标准方程求解等内容，从基础定义应用到与几何图形、圆的综合问题，构建层层递进的学习支架，衔接椭圆知识，为后续抛物线学习奠定基础。 资料通过几何图形分析（如等边三角形、圆与渐近线位置关系）培养数学眼光，以逻辑推理推导离心率（如利用定义、勾股定理）发展数学思维，详细解析助力课中教学与课后查漏，提升学生问题解决与知识应用能力。

1．若双曲线C的两条渐近线方程是y＝±x，则双曲线C的离心率是(　　) A． B． C．2 D． 答案：A 2．已知双曲线C的虚轴长为2，一个焦点为(，0)，则C的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±4x D．y＝±x 解析：选A．由题意可知，双曲线C的焦点在x轴上，设其标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 由题意可得解得 故双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 3．已知双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线的夹角为，则a为(　　) A． B．2 C．或2 D．2 解析：选C．双曲线－＝1(a>0)渐近线方程为y＝±x，因为双曲线－＝1(a>0)的两条渐近线的夹角为，所以＝tan 或＝tan ，解得a＝或a＝2.故选C． 4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，当点F2到渐近线的距离为时，该双曲线的离心率e＝(　　) A． B． C．2＋ D． 解析：选D．由题设可得双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且F2(c，0)，所以＝，即b＝，又|F1F2|＝2c＝2，即c＝1，所以a＝＝，所以e＝＝. 5．(2026·玉溪月考)已知F1，F2是双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，过点F1与x轴垂直的直线与双曲线C交于A，B两点，若△ABF2是等边三角形，则双曲线C的离心率为(　　) A． B．＋1 C． D． 解析： 选D．由于△ABF2是等边三角形，故|F1F2|＝|BF1|， 由于通径长|AB|＝，　 所以|BF1|＝|AB|＝，故＝2c， 进而c2－2ac－a2＝0，故e2－2e－＝0，即(e－)(e＋1)＝0，故e＝(负值已舍去). 6．(多选)双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A，B，P，Q两点在C上，且关于x轴对称，则下列说法正确的是(　　) A．以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为＋＝1 B．双曲线C的离心率为 C．直线AP与BQ的斜率之积为－ D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为2 解析：选BCD．对于A，C的焦点和顶点分别为(±3，0)，(±，0)，从而以C的焦点和顶点分别为顶点和焦点的椭圆方程为＋＝1，故A错误； 对于B，双曲线C的离心率为＝，故B正确； 对于C，显然P，Q异于A，B，不妨设P(x1，y1)，Q(x1，－y1)， 因为点P，Q都在双曲线C上， 且A(－，0)，B(，0)， 所以直线AP与BQ的斜率之积为kAP·kBQ＝·＝＝－，故C正确； 对于D，双曲线C：－＝1的焦点、渐近线方程分别是(±3，0)，2x±y＝0，所以焦点到渐近线的距离d＝＝2，故D正确． 7．已知双曲线C的焦点在x轴上，离心率为，焦点到一条渐近线的距离为1，则双曲线C的标准方程为________________． 解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则渐近线方程为bx±ay＝0，焦点为(±c，0)，所以焦点到渐近线的距离为＝1，又＝，结合a2＋b2＝c2，可得a＝2，b＝1，c＝，所以双曲线C的标准方程为－y2＝1. 答案：－y2＝1 8．已知圆C：x2＋y2－4x＋3＝0与双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的渐近线有公共点，则双曲线D的离心率的取值范围为________． 解析：圆C：(x－2)2＋y2＝1，双曲线D：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为ax±by＝0，因为圆C与双曲线D的渐近线有公共点， 所以圆心C(2，0)到渐近线的距离d＝≤1， 所以3a2≤b2，所以c2＝a2＋b2≥4a2，即≥4，所以e＝≥2. 答案：[2，＋∞) 9．已知双曲线C：－y2＝1(m>0)的离心率为，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为_______________________________________． 解析：因为双曲线C：－y2＝1(m>0)的离心率为，所以有＝，解得m＝4，c＝＝，焦点坐标为(±，0)，该双曲线的渐近线方程为y＝±x，即±x－2y＝0，所以该双曲线焦点到渐近线的距离为＝1. 答案：1 10．(13分)设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点．已知原点到直线l的距离为c，求双曲线的离心率． 解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，于是有＝c，即4ab＝c2，两边平方得16a2b2＝3c4，所以16a2(c2－a2)＝3c4，即3c4－16a2c2＋16a4＝0，即3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝，因为b>a>0，所以>1，e2＝＝1＋>2，故e2＝4，所以e＝2. 11．曲线＋＝1(m<6)与曲线＋＝1(5<n<9)的(　　) A．焦距相同 B．焦点相同 C．离心率相等 D．渐近线相同 解析：选A．根据题意，曲线＋＝1(m<6)表示焦点在x轴上的椭圆，曲线＋＝1(5<n<9)即－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线，椭圆的焦距为2＝4，双曲线的焦距为2＝4，故A正确；椭圆焦点在x轴上，双曲线焦点在y轴上，故B错误；椭圆的离心率小于1，双曲线离心率大于1，故C错误；椭圆无渐近线，故D错误．故选A． 12．(多选)已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．过F2的直线l交双曲线C的右支于P，Q两点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，点A，P均在第一象限，则(　　) A．当l垂直于x轴时，|AB|＝2 B．·的最小值为6 C．点P到两条渐近线的距离之积为 D．＋＝＋ 解析：选ACD．对于A，当l垂直于x轴时，xA＝xB＝c＝，双曲线C的渐近线方程为y±x＝0，故|yA|＝|yB|＝＝，此时|AB|＝2，故A正确； 对于C，设P(m，n)，故点P到两条渐近线的距离之积为×＝＝＝，故C正确； 对于B，D，因为F2(，0)，可设直线AB的方程为x＝ty＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得(t2－2)y2＋2ty＋6＝0，Δ＝24t2－24t2＋48＝48>0， 而y1y2＝，又y1y2<0，故－<t<，此时·＝－2y1y2＋y1y2＝－y1y2＝，因为0<2－t2≤2，故·≥3，当且仅当t＝0时等号成立，故·的最小值为3，故B错误； 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)由可得(t2－2)y2＋2ty＋2＝0，Δ>0且t2－2≠0，故y3＋y4＝－，而y1＋y2＝－，故y3＋y4＝y1＋y2，故x3＋x4＝x1＋x2，故＋＝＋，故D正确． 13．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与双曲线在第二象限的交点为A，在△AF1F2中，|F1A|＝|F1F2|，∠AF2F1＝30°，则双曲线C的离心率是________． 解析：因为|F1A|＝|F1F2|，所以|F1A|＝|F1F2|＝2c，由双曲线的定义知|AF2|－|F1A|＝2a， 所以|AF2|＝2a＋2c. 如图，取AF2的中点M，连接F1M， 所以|F2M|＝|AF2|＝a＋c， 又∠AF2F1＝30°，得|F1M|＝c， 所以在Rt△F1MF2中，|F1M|2＋|F2M|2＝|F1F2|2， 即c2＋(a＋c)2＝(2c)2，得a2－2c2＋2ac＝0，所以1－2e2＋2e＝0， 解得e＝， 因为e>1，所以双曲线C的离心率是. 答案： 14．(13分)已知双曲线M与双曲线N：－＝1有共同的渐近线． (1)若M经过抛物线y＝－x2＋8x－14的最高点，求双曲线M的方程；(6分) (2)若双曲线M的两个焦点分别为F1，F2，点P为M上的一点，且|PF1|＝|PF2|＋10，求双曲线M的方程．(7分) 解：(1)依题意可设M的方程为－＝λ(λ≠0). 抛物线y＝－x2＋8x－14＝－(x－4)2＋2的最高点为(4，2)，将(4，2)代入M的方程，得λ＝，则M的方程为－＝1. (2)由题意易知|PF1|－|PF2|＝10＝2a，a＝5. 当焦点在x轴上时，设双曲线M的方程为－＝1，λ>0，则6λ＝25，3λ＝， 则双曲线M的方程为－＝1； 当焦点在y轴上时，设双曲线M的方程为－＝1，λ<0， 则－3λ＝25，－6λ＝50， 则双曲线M的方程为－＝1. 综上所述，双曲线M的方程为－＝1或－＝1. 15．(15分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，点A1(－1，0)，A2(，)都在双曲线C上，且C的右焦点为F. (1)求C的离心率及其渐近线方程；(7分) (2)设点P(x0，y0)(x0≠2)是双曲线C右支上的任意一点，记直线PF和PA1的斜率分别为k1，k2，证明：k1＝.(8分) 解：(1)由题意，把点A1(－1，0)，A2(，)代入双曲线C的方程，得解得 所以双曲线C的方程为x2－＝1， 故离心率e＝＝2，渐近线方程为y＝±x.　 (2)证明：由题意得，k1，k2一定存在且k2≠±1，F(2，0)，x0≥1且x0≠2， kPF＝k1＝，kPA1＝k2＝， 则＝＝， 又点P的坐标满足x－＝1， 则y＝3x－3， 故＝ ＝＝－＝－k1， 所以k1＝. 学科网（北京）股份有限公司 $