练案12 第二章 2.1 双曲线及其标准方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

在Rt△MF,F,中，IF,FI2+1ME22=IMF2, 又0<e<1,. 5」 即4e2+号8=1MF, 3se<1 r0+6 面r1+1M,1=√42+音8+子6=2a, 2x, ∫x0=2x-6, 9 7.设M(x,y),则 %+0 Lyo =2y, 整理，得3c2=3d2-2ab. 2 =y, 又c2=a2-b2,3b=2a.. 624 点P在圆=1上+=1 ·e2=c2=a2-62 a9…es5 31 把[化36代人-1，得2g6,-1, Lyo=2y, 8 4 解孩三设号创代人横时方程得后器= 即x-3) 2 +y2=1为所求。 8.(4)由题意6=6=2=万， B组·素养提升 从而a=√尽+c=2, 1.A设所求椭圆的方程为mx2+n2=1(m>0,n>0,m≠n), 1 则有3m+4n=1, [m=5’,2 所以裤日方程为疗+号-1，离心率为：=号 2m+m=1解得+亏=1 (2)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， n=5, 2.B设椭圆的两个焦点为F,F2,圆与椭圆交于A,B,C,D四 个不同的点，设1FFI=2c,则IDFI=c,IDF2I=3c.由椭圆定 义，得2a=IDFI+IDF2I=3c+c, 0 所以离心率e= 2=月-1.故选B. a5+1 B 3c由椭圆c号+ =1,得1M,1+1ME,1=6, 从而设AB:y=+t,(k≠0，t>2),A(x1,y1),B(x2,y2), IME1·IMR,1≤(MEI+IME =9,当且仅当1MF,I= 2 联立片+兮1 ,化简并整理得(1+22)x2+4x+22-4 IMF,I=3时等号成立. Ly=kx+t 4.D由椭圆的定义及其对称性可知IFPI+IFPI=IF,P2I =0, +IF PoI=...=IFPI+IF PsI I=IFAl+IF BI =2a, 由题意△=16k22-8(2k2+1)(t-2)=8(42+2-)>0, 1FPoI=a,故结果应为50×2a+1F,Pol=101a. 即k,1应满足4+2->0，所以+=1+2F,x西 -4kt 、、二+之=1设随圆E的标准方程为2+ x2 a+F=1(a>b>0), 2-4 2a=12, =2k+1' ∫a=6, 半焦距为c,则2-互，{c=35 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(-x2,y2), a-2, 所以AD:y=兰(x-)+,在直线AD方程中令x=0, .62=02-c2=36-27=9, x1+x2 椭圆E的方程为6+兮=山 得 Yc x1y2+x2y (k2+t)+3(c,+t) x1+X2 x1十x2 6[ 解法一：由题意得F,(-c,0),F2(c,0),设点 2西+(+)_4(-22+t=2=1所以t=2, x1+X2 -4kt t (三)则由中点公式可得线段P所，的中点个之，》。 此时么应满足42-子=4-2>0，即k应满足k<- 1k≠0 2 .线段PF,的斜率与KF,的斜率之积等于-1， m-0.罗-0 成>盟 ote=-1. a 综上所述，=2满足题意，此时6<2或4>2 -c 2c ㎡-(+（-≥0， 练案[12] A组·基础自测 .a-2a2c2-3c4≤0,3e+2e2-1≥0， 1.C由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c=5,设双曲线的标 e≥写，或e≤-1（含去）e≥ 准方程为 卡=1(a>0,6>0),则有G+6=心=3，手 又稀圆的离心率0<e<1,放停≤e<1,放答案为停， 存=1，解得心=2.公=1，故所求双曲线的标准方程为号-子 解法二：设P(m小则（芒-+m2=46,m=4 =1. :2.D由条件知IMWI=4,又动点P满足IPMI-IPNI=2< ()≥0e≥9， IMW,所以根据双曲线的定义知动点P的轨迹是以M,N为 焦点的双曲线的一支（靠近点N的一支）.故选D. 365 3.B双曲线中a2=16,得a=4,则2a=8 ra2+b62=9, 由双曲线的定义可得IMF,I-IMF21=2a=8, 解方程组{ 因为IMF,I=31MF2l,所以31MF,I-IMF2I=8,解得IMF,I 62 F1b2=5. =4, 故选B :所求前线的方程为片-号1， IPF I-IPF,I =2a=b, 9.设所求双曲线的标准方程为mx2+y=1(mn<0),将点 4.C由题意得c2=a2+62, M(1,1)、W(-2,5)代人上述方程，得到 2c=25, 8 [m= 「m+n=1, 7 部得低： l4m+25n=l,解得{ 1 n=-7 则该双曲线的方程为-子=1 5.A设动圆的圆心为M,半径为，圆x2+y子=1与2+y-8x 所以所求双面线的标准方程为号-号-1 8 +12=0的圆心分别为01和02，半径分别为1和2， 10.圆F:(x+5)2+y2=1, 由两圆外切的充要条件，得1MO,I=r+1, .圆心F(-5,0),半径r1=1.圆F2:(x-5)2+y2=42, 1MO21=r+2. ∴.圆心F2(5,0),半径r2=4. ∴.IM02I-1M011=1,又101021=4， 设动圆M的半径为R,则有 ..动点M的轨迹是双曲线的一支（靠近O). IMF I=R+1,IMF,I=R+4. 6AB若m>n>0,则mr2+mr2=1可化为兰+上 i+=1,因为m ∴.IMF,I-IMFI=3. m n ·M点轨迹是以月、F,为焦点的双曲线左支，且a=3 ,c= >n>0,所以<六，即曲线C表示熊点在y轴上的椭圆，放 m 5=6-c- A正确：因为m>0>n,所以m2+m2=1可化为 1 1 双准线方程为号货-（≤》 m n 1,曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确；若m=n> B组·素养提升 2 0,则m+a心产=1可化为+少=力，此时曲线C表示圆心 .B双曲线6-号=1中，a=4,c=5,当点P在双曲线右支上 时，点P到左焦点的最小距离为a+c=9. 在原点，半径为的圆，若m=n<0,m2+y=1不是圆，故 ·点P到左焦点的距离是6， ∴.点P在双曲线的左支上 错误；若m=0,n≠0，则m+心=1可化为y=,当n ∴.IPFI-IPFI=2a=8, .IPF2I=8+IPF I=8+6=14. 0时，无意义，当n>0时，y=±店，此时曲线C表示平行于x2.A若双曲线的方程为- n 4=1, 轴的两条直线，故D错误；故选AB. 则a=1,c=5,不妨设IPFI=21PF,I,则由双曲线的定义可 7 x 620=1解法一：由已知得，c=6,且焦点在y轴上，则另 得1PFI-1PF2I=1PF21=2a=2,即(x-5)2+y2=4,与双 一焦点坐标是(0,6). 曲线方程4x2-y2=4联立可得5x2-25x-3=0,其判别式 因为点A(-5,6)在双曲线上，所以点A与两焦点的距离的差 4=20+60=80>0,且x-25t80-5±25，当x=35 的绝对值是常数2a,即 2×5 5 5 2a=/(-5)2+(6+6)2-/(-5)2+(6-6)7 ≥1，故存在“L点”. =113-51=8, 3.D0为△MF,E:的中位线，所以1O1=之MEl,又由双曲 得a=4,2=c2-a2=6-42=20. 因此，所求的双曲线标准方程是6一分=1 线定义知，IMF,I-1MFI=10,因为1MF,I=18,所以1MFI =8,所以1N01=4,故选D. 解法二：由焦点坐标知c=6,.2+62=36, 4.D对点A特殊化，不妨设点A为双曲线的右焦点，依题意得 F(-5,0),A(5,0), ·双曲线方程为二 36-a=1. IFNI INAI =8,IFMI INAI, 双曲线过点A(-5,6), .36-25 所以1FN-1W1=8,FFM-品-号述D IFAI 236-a=1d2=16,6=20 5-号=1（≤-）因为1wA+1AC1=1wM8+1BC,4C1= 双曲线方程为兰之」 1620=1. √(3-0)2+(2-2)2=3,1BC1=√(3-0)2+(2+2)7=5，所以 4-5=1椭圆的焦点为R(0,-3),F(0,3),故可设双 1MA1-1MB1=2<4,故点M的轨迹是以(0,2)，(0，-2)为焦 点的双曲线的下支.此时a=1,c=2,b2=c2-a2=3.故点M 曲线方程为-1(a>0,b>0),且c=3,a+6=9 的轨迹方程为)了2-号=1（≤-1）. 由条件知，双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为4，可得两交 6±4|V屋+8x+20-屋-8+20=4. 点的坐标为A(15,4),B(-15,4), 由点4在双黄线上知，台-空=1 即√(x+4)+2-√(x-4)2+2=4。 其几何意义是动点(x,2)到定点(-4,0)和(4,0)的距离之差 -366 的绝对值为4，.该曲线为双曲线， .2a=4,a=2,c=4,6=12, 因为P是C上一点，所以4-令=1，解得=±3， x22 一双曲线的标准方程为4立1 所以P(2,±3)，IPF1=3 又因为A(1,3),所以点A到直线PF的距离为1， :点(，2)在该双前线上心号音-1.解得=±4 31 所以Sr=7×1P1x1=×3×1=号 7.(1)当a=0时，方程为x2=1,它表示两条平行直线x=1和 故选D. x=-1. 4.C双曲线的右顶点P(2,0),直线1的方程为x=2, (2)当0<a<90时，方程为兰王=1 双曲线的两条渐近线方程为y=2x或y=-2x, cos o sin o 当x=2时，y=2或-2，即A(2,2),B(2,-2), cos&了na它表示焦点在y轴上的 1 1 则IPAI·IPBI=2×2=4. ①当0°<a<45°时，0< 故选C. 椭圆. 5.C由题意，设F(0,-4)、F2(0,4)、P(-6,4), ②当a=45时，它表示圆x2+y2=2, 则1F,F2I=2c=8,1PFI=√62+(4+4)7=10,1PF2I= ③当45°<a<90°时， 1 。>n。>0,它表示焦点在x轴上 √6+(4-4)7=6， 的椭圆. 则2a=1Pm1-1PF1=0-6=4,则e=会受-2放选C (3)当α=90时，方程为y2=1,它表示两条平行直线y=1和6.ACD等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=±x,故A y=-1. (4)当90°<a<180°时，方程为 +2 正确；由双曲线的方程可知IFF,1=22,所以以FF2为直 1 1 -=1,它表示焦 径的圆的方程为x2+y=2,故B错误；点P(xoo)在圆x2+ sin a -cos a y2=2上，不妨设点P(x,y%)在渐近线y=x上，所以 点在y轴上的双曲线. (5)当a=180°时，方程为x2=-1,它不表示任何曲线 6+6=2,解得x=1,则点P的横坐标为士1，故C正确： LYo =xo: 8.sin C-sin B=I 2 sin A, 由上述分析可得△PF,,的面积为子×2万×1=万，故D c-b=1g1 正确 2a=7×2=1, IABI IACI =1<IBCI =2. 7.号由题可知A,B,F,三点横坐标相等，设A在第一象限，将 2 ∴.动点A(x,y)的轨迹是以B、C为焦点的双曲线， r2a'-1, 1 c代人号上 号卡=1得y=±号即)，) .2c'=2 故1AB1=2沙=10,1A,1=￡=5， 62=c2-a2,b= 3 又IAF,I-IAFI=2a,得1AFI=IAF2I+2a=2a+5=13,解 “点抗速方程为后兰(：》 得a=4,代人=5得68=20，故c2=0+8=36,即c=6,所 4 4 以e=￡=6 3 由于c>b就是AB1>IACI,可知A点的轨迹是双曲线的右 4 支，还需除去点（分，0如图所示 练案[13] 8. 86=1x2 （4玩3元=1（入≠0，入≠1）的方程均可） 与双 A组·基础自测 y 1A由题痘得行-2景-4， 曲线子-；1渐近线相同的双曲线的方程为一力1○ .a2=46=4(c2-d2）=4c2-4a2, ≠0，入≠1). 5=(台-子商心率=5=5 5 故答案为上 =1(入≠0，入≠1)的方程均可 2 2.B由题意得m(m-1)<0, 9.:点A与圆心0连线的斜率为-4， ..0<m<1, .过A的切线的斜率为4 .“m>0”是“0<m<1”的必要不充分条件.故选B .双曲线的渐近线方程为y=±4x 3D因为F是双曲线C:-兮=1的右焦点。 设双前线方程为-6=入 所以F(2,0). 因为P℉⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yp) 点44，-1)在双曲线上16-6=A-爱 16 367练案[12] 第二章 圆锥曲线 §2[2.1双曲线及其标准方程] 名组·基础自测 二、填空题 一、选择题 7.双曲线的一个焦点坐标是(0，-6)，经过点 A(-5,6),则双曲线的标准方程为 1.与稀圆子+y=1共焦点且过点P2,1)的 8.已知双线与椭侧号+名=1有相同的焦点， 曲线方程是 ( B. 且与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线 A. 4y2=1 3y2=1 的方程为 C.-y= n苓=1 三、解答题 9.已知双曲线经过两点M(1,1)、N(-2,5),求 2.已知定点M(-2,a),N(2,a),a为常数，且 双曲线的标准方程。 IPMI-PWI=2,则动点P的轨迹是( A.一条射线 B.椭圆 C.双曲线 D.双曲线的一支 3若点M在双曲线后号=1上，双前线的焦点 为F,F2,且IMF,I=3IMF2I,则IMF2I等于 A.2 B.4 10.如图示，已知定圆F1:x2+y2+10x+24= C.8 D.12 0,定圆F2:x2+y2-10x+9=0,动圆M与定 4已知双曲线芒- 线云~示=1(a>0,b>0)的左右焦 圆F,、F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程. 点分别为F,F2,点P在双曲线的右支上，若 1PFI-1PF2|=b,且双曲线的焦距为2√5，则 该双曲线的方程为 () 香-1 B. 321 C-苦1 -苦1 5.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都 外切，则动圆圆心的轨迹是 A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 6.（多选题)已知曲线C:mx2+y=1,下列结论 正确的是 () 1 A.若m>n>0,则C是椭圆，其焦点在y轴上 B.若m>0>n,则C是双曲线，其焦点在x 轴上 C.若m=n,则C是圆 D.若m=0,n≠0，则C是两条直线 —219 8组·素养提升 三、解答题 7.当0°≤a≤180°时，方程x2cosa+y2sina=1 一、选择题 1双脂线装号-1上P点到无东点的距高是 表示的曲线怎样变化？ 9 6,则点P到右焦点的距离是 ( A.12 B.14 C.16 D.18 2.若双曲线上存在点P,使得P到两个焦点的距 离之比为2：1，则称此双曲线存在“L点”，下 列双曲线中存在“L点”的是 ( A2-=1 B.x2- 91 C.x2 51 n克-1 3.已知双曲线若-号=1的无右焦点分别为 F,F2,若双曲线的左支上有一点M到右焦点 F2的距离为18，N是MF,的中点，0为坐标原 点，则INO1等于 A号 B.1 8.在△ABC中，A,B,C所对三边分别为a,b,c, C.2 D.4 B(-1.0).C1,0),求满足sinC-sinB=2inA 4设P为双衡较后-)=1的左焦点，在：销上 时，顶点A的轨迹，并画出图形 F点的右侧有一点A,以FA为直径的圆与双 曲线左、右两支在x轴上方的交点分别为M、 N,则FNI-FML的值为 IFAI A号 B. 2 c D.4 二、填空题 5.已知点A(0,2),B(0,-2),C(3,2),若动点 M(x,y)满足IMA|+IACI=IMBI+IBCI,则 点M的轨迹方程为 6.数学家华罗庚曾说过，“数缺形时少直观，形少 数时难人微”，事实上，有很多代数问题可以转化 为几何问题加以解决如：与√(x-a)2+(y-b)? 相关的代数问题可以考虑转化为点A(x,y)与点 B(a,b)之间距离的几何问题.结合上述观，点，可 得方程√/R+8x+20-√2-8x+20=4的解 为 —220