2.2.1 双曲线及其标准方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 以双曲线定义为核心，通过基础巩固与综合运用分层训练，系统构建“定义辨析-方程应用-性质探究-实际建模”的解题体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|1-10题|定义法判断轨迹、标准方程求焦点、斜率积求轨迹方程|从双曲线定义生成标准方程，推导a,b,c关系，应用于焦点坐标与轨迹求解| |综合运用|11-14题|焦点三角形性质、参数方程法、实际问题建模|结合椭圆与双曲线对比，通过“Ω点”探究深化定义理解，联系军事演习情境发展数学建模与应用意识|

2.1　双曲线及其标准方程 1.设动点P到A（－5，0）的距离与它到B（5，0）距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（　　） A．－=1　 B．－=1 C．－=1（x≤－3）　 D．－=1（x≥3） 2.双曲线方程为x2－2y2=1，则它的右焦点坐标为（　　） A．　 B． C．　 D．（，0） 3.已知F1，F2是双曲线C：x2－=1的左、右焦点，点P在C上，且PF2⊥x轴，则∠PF1F2=（　　） A．　　 B．　　 C．　　 D． 4.已知两定点F1（－3，0），F2（3，0），在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中，是双曲线的是（　　） A．||PF1|－|PF2||=5 B．||PF1|－|PF2||=6 C．||PF1|－|PF2||=7 D．||PF1|－|PF2||=0 5.〔多选〕已知方程＋=1表示的曲线为C．给出以下四个判断正确的是（　　） A．当1＜t＜4时，曲线C表示椭圆 B．当t＞4或t＜1时， 曲线C表示双曲线 C．若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1＜t＜ D．若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线，则t＞4 6.〔多选〕已知A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，若声速为340米/秒，则下列说法正确的是（　　） A．爆炸点在以A，B为焦点的椭圆上 B．爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上 C．若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为米 D．若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），则爆炸点到B监测点的距离为680米 7.若曲线C：mx2＋（2－m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为　　　　． 8.已知动点M与两定点A（－1，0），B（1，0）构成△MAB，且直线MA，MB的斜率之积为4.设动点M的轨迹为C，则轨迹C的方程为　　　　． 9.双曲线－=1（a＞0）的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且|MF1|=5，则|MF2|=　　　　． 10.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），且经过点P（5，2）； （2）焦点在坐标轴上，经过点（－2，），（－2，2）． 11.若椭圆或双曲线上存在点P，使得点P到两个焦点F1，F2的距离之比为2∶1，且存在△PF1F2，则称此椭圆或双曲线存在“Ω点”，下列曲线中存在“Ω点”的是（　　） A．＋=1　 B．＋=1 C．x2－=1　 D．x2－y2=1 12.〔多选〕已知双曲线C：x2－=1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上的一点，∠PF1F2=30°，I是△PF1F2的内心，则下列结论正确的是（　　） A．△PF1F2是直角三角形 B．点I的横坐标为1 C．|PI|=2－2 D．△PF1F2的内切圆的面积为π 13.〔一题多解〕与双曲线－=1有相同的焦点，且经过点（3，2）的双曲线的标准方程是　　　　． 14.（2026•南京质检）在一次军事演习中，某时刻三艘舰艇呈“品”字形列阵（此时舰艇可视作静止的点），如图中的点A，B，C，且OA=OB=OC=3，假设敌舰艇在某处发出信号，A点接收到信号的时间比B点接收到信号的时间早秒（注：v0为信号传播速度），C处舰艇保持静默． （1）建立适当的坐标系，并求敌舰艇所有可能出现的位置的轨迹方程； （2）在A，B两处的舰艇对敌舰艇攻击后，C处舰艇派出无人机到敌舰艇处观察攻击效果，则无人机飞行的最小距离是多少？ 2.1　双曲线及其标准方程 1.D　由题意知，P点的轨迹应为以A（－5，0），B（5，0）为焦点的双曲线的右支.由c＝5，a＝3，知b2＝16，∴P点的轨迹方程为－＝1（x≥3）. 2.B　将双曲线方程化为标准方程为x2－＝1，∴a2＝1，b2＝，∴c2＝a2＋b2＝，∴c＝，故右焦点的坐标为. 3.A　由题意得a＝1，b＝，c＝，当x＝时，y＝±2，故｜PF2｜＝2.｜F1F2｜＝2，所以tan∠PF1F2＝＝，又∠PF1F2∈（0，），所以∠PF1F2＝.故选A. 4.A　对于选项A，因为｜F1F2｜＝6，所以｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝5＜｜F1F2｜，故动点P的轨迹是双曲线；对于选项B，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝6＝｜F1F2｜，所以动点P的轨迹是以F1为端点向左延伸和以F2为端点向右延伸的两条射线；对于选项C，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝7＞｜F1F2｜，所以动点P的轨迹不存在；对于选项D，因为｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝0，所以｜PF1｜＝｜PF2｜，根据线段垂直平分线的性质可知，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线. 5.BCD　A错误，当t＝时，曲线C表示圆；B正确，若C为双曲线，则（4－t）·（t－1）＜0，∴t＜1或t＞4；C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4－t＞t－1＞0，∴1＜t＜；D正确，若曲线C为焦点在y轴上的双曲线，则∴t＞4. 6.BD　依题意，A，B两监测点间距离为800米，且A监测点听到爆炸声的时间比B监测点迟2秒，设爆炸点为C，则｜CA｜－｜CB｜＝340×2＝680＜800，所以爆炸点在以A，B为焦点的双曲线的一支上，所以A选项错误，B选项正确；若B监测点的声强是A监测点的4倍（声强与距离的平方成反比），所以＝4，即｜CA｜＝2｜CB｜，结合｜CA｜－｜CB｜＝680，可得｜CB｜＝680.所以C选项错误，D选项正确.故选B、D. 7.（2，＋∞）　解析：由曲线C：mx2＋（2－m）y2＝1是焦点在x轴上的双曲线，可得－＝1，即有m＞0，且m－2＞0，解得m＞2. 8.x2－＝1（y≠0）　解析：设点M的坐标为（x，y），当x＝－1时，直线MA的斜率不存在；当x＝1时，直线MB的斜率不存在.于是x≠1且x≠－1.此时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.由题意有·＝4，化简得x2－＝1，因为x≠1且x≠－1，即y≠0，所以轨迹C的方程为x2－＝1（y≠0）. 9.9　解析：由题意得，2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2，｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a＝4，所以｜5－｜MF2｜｜＝4，解得｜MF2｜＝1或｜MF2｜＝9，当｜MF2｜＝1时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＜8，不满足题意，故舍去；当｜MF2｜＝9时，｜MF1｜＋｜MF2｜＝14＞8，满足题意，所以｜MF2｜＝9. 10.解：（1）因为双曲线的焦点坐标为F1（－，0），F2（，0），且经过点P（5，2），则有2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝－ ＝－ ＝－＝2，解得a＝，又c＝， 则b2＝c2－a2＝1，所以所求双曲线的标准方程为－y2＝1. （2）依题意，设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）， 于是得解得m＝，n＝－， 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 11.D　假设｜PF1｜＝2｜PF2｜，若曲线是椭圆，则｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜PF2｜＋｜PF2｜＝3｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝，｜PF2｜＝；若曲线是双曲线，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2｜PF2｜－｜PF2｜＝｜PF2｜＝2a，即｜PF1｜＝4a，｜PF2｜＝2a.可以验证，对于选项A、B、C，满足上述数量关系的｜PF1｜，｜PF2｜，｜F1F2｜不能构成△PF1F2，只有选项D，由于a＝1，c＝，所以｜PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，可以构成三角形，即存在“Ω点”的曲线是x2－y2＝1. 12.ABC　由已知可得，｜PF1｜－｜PF2｜＝2，｜F1F2｜＝2，设｜PF2｜＝x，｜PF1｜＝x＋2，则cos∠PF1F2＝＝，得x＝2，所以｜PF2｜＝2，｜PF1｜＝4，即｜PF2｜2＋｜F1F2｜2＝｜PF1｜2，所以PF2⊥F1F2，所以A正确；设内切圆半径为r，则·（｜PF1｜＋｜PF2｜＋｜F1F2｜）·r＝·｜PF2｜·｜F1F2｜，得r＝－1，所以点I的横坐标为－（－1）＝1，内切圆的面积为S＝π·（－1）2＝（4－2）π，所以B正确，D错误；不妨设点P在第一象限，则P（，2），I（1，－1），所以｜PI｜＝＝2（－1）＝2－2，所以C正确.故选A、B、C. 13.－＝1　解析：法一　∵焦点相同，∴设所求双曲线的标准方程为－＝1（a＞0，b＞0），∴c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20，①.∵双曲线经过点（3，2），∴－＝1，②.由①②得a2＝12，b2＝8，故双曲线的标准方程为－＝1. 法二　设所求双曲线的方程为－＝1（－4＜λ＜16）.∵双曲线过点（3，2），∴－＝1，解得λ＝4.故双曲线的标准方程为－＝1. 14.解：（1）如图，以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设敌舰艇的位置为P（x，y），由题意可知｜PB｜－｜PA｜＝v0·＝4＜｜AB｜＝6. 由双曲线的定义可知，敌舰艇的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支， 且2a＝4，c＝3，所以b＝.所以敌舰艇的轨迹方程为－＝1（x≤－2）. （2）设方程－＝1（x≤－2）上一点M（x0，y0）， 由题意知－＝1（x0≤－2）， 即＝4＋，又C（0，3）， 所以｜MC｜＝ ＝ ＝ ＝（y0∈R）， 所以当y0＝时，｜MC｜min＝2，即无人机飞行的最小距离是2. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $