练案11 第二章 1.2 椭圆的简单几何性质-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[11] 第二章 圆锥曲线 §1[1.2椭圆的简单几何性质] 名组·基础自测 二、填空题 一、选择题 7.已知点P(1,6),椭圆 +聋=1，点P在循圆外 1过都醛+ =1的焦点的最长弦和最短弦的： 则实数k的取值范围为 1 8.已知长方形ABCD,AB=4,BC=3,则以A,B为焦 长分别为 点，且过C,D的椭圆的离心率为 A.8,6 B.4,3 三、解答题 C.2,3 D.4,23 9.求长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(-2， 2.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是 -4)的椭圆的标准方程. 短轴长的2倍，则m的值为 A日 C.2 D.4 8.见知A=1245abEA,侧方程+方=1表 示焦点在y轴上的椭圆的概率为 A 话 4已知椭圆 +y少=1(a>1)的离心率为5 则 其焦距为 A.5 B.23 C.5 D.25 5.方程x ≥+2=1(a≥b>0,k>0且1)与 方程装+1(a≥b≥0)表示的椭圆，那么它 们 A.有相同的离心率 B.有共同的焦点 C.有等长的短轴、长轴 D.有相同的顶点 6.(多选题)已知椭圆 +9=1与椭圆、 25-+ )=1,则 ( A.k<9 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 —217 10.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它二、填空题 到x轴的距离等于短半轴长的了，求椭圆的5.已知椭圆E的中心在坐标原点，长轴在x轴 离心率 上，离心率为，且E上一点到E的两个焦点 的距离之和为12，则椭圆E的方程为 知FE,分别是椭圆+存1(a>6>0】 左，右焦点若直线x=上存在点P,使得线 段P℉的垂直平分线过点F2,则离心率的范围是 三、解答题 7已知点P(o)是椭圆、+41上一点， 点的坐标为(6,0)，求线段PA中点M的轨迹 8组·素养提升 方程 一、选择题 1.求经过点A(√3，-2)和点B(-23,1)的椭圆 的方程 ( + B.+ 105 -1 C.2 15+10=1 目8.(2024·北京卷已知椭圆E:7+2=1(036 a 2.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆 >0),以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四 交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个 边形是边长为2的正方形.过点(0，t)(t>√2) 焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的 且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点 离心率为 A,B,过点A和C(0,1)的直线AC与椭圆E的 A.5-√2 B.3-1 另一个交点为D. 号 (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)若直线BD的斜率为0，求t的值. 已知卫，B是椭圆C:,+=1的两个焦点 点M在C上，则IMFI·IMF2I的最大值为 ( ) A.13 B.12 C.9 D.6 2 4.设AB是椭圆 2之+=1(4之b≥0)的长油，皆 把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的 垂线，分别交椭圆的上半部分于点P,P2,…, P9,F,为椭圆的左焦点，则IFAI+IFP,I+ IFP2I+…+IFPg+IF,B1的值是（) A.98aB.99aC.100aD.101a —218因此△AF,F2为等腰三角形，底边上的高h=的2倍为3. √1，P-(af,)=-下=5， 2.B椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，短半轴长为1，长轴长 是复精长份2倍，成√低-2.部得m子 所以△AFB的面积为Sa=2AE·h=5.故选D, 3.B abeA,心不同的方程千+养=1共有16个 5.11由题意可得a=3,b=√5，c= a-b2=9-5=2, 由题意a2<b2,.a=1时，b=2,4,5:a=2时，b=4,5: 所以F(-2,0),F(2,0)， 《=4时.6=5，共6个所求就率P=合号 因为IPF,I+IPF,I=2a=6 所以IPFI+IPQI=6-IPF,I+ IPQI≤6+IQF2I; 4.B由题意得。1E 2 因为QF2= .a2=4,又b2=1, /(-1-2)2+(4-0)2=5 .c2=3,焦距为2c=2√5. 所以IPFI+1PQI≤11. :5.A 椭圆+ 圆a+G=1(a>6>0,k>0且k≠1)的离心率e,= 故答案为11. 6号+千=1木题主要考查圆的切线方程以及椭圆的标准方 瓜·a-a- a√E a 程，点(1,2)在圆外，过点(1，)与圆相切的一条直线方程 圆+1a>b>0)的离心率c=-《,故选 为1，一个切点为10)，设另一条的方程为y-(分-小r6c由题意，在芸+号1中，有u=5,6=3,e=后-下 32 +m,由1= 得m= ,故另一条切线的方程 5 /25-9=4, √-m+1 短半轴为3，长半轴为5，焦距为4×2=8，离心率©=台 3 为y=-4x+ 子代人圆的方程联立解得切点为（号，号），则 直线AB的方程为y=-2x+2,故椭圆的上顶点坐标为(0， 2》.因此e=1,b=2a=5,所求椭圆方程为号+￥=1 在5。+g6=1中，有a=5-,6=0-6,e 7.如图，根据椭圆的定义可得 √a-b2=√25-k-(9-6)=4, .长半轴为√25-k,短半轴为9-k,焦距为4×2=8， 25-k>0,解得k<9,离心率e= 4 l9-k>0, √25-k1 ∴.A、C正确，B、D错误故选AC 7(-,4u(+）张意得+>1，解得 IDF I+IDF,I =2a.IEF I+IEF,I =2a. 232 ∴△FDE的周长为IEFI+IEF2I+IDF,I+IDFI=4a 9 8(1)因为椭圆的方程为+=1，所以a=2,6=1,c=5, 即k<-42或>42 3 3 即IF,F2I=2 8 如图，IAB1=2c=4, 又因为IPFI+IPF2I=2a=4, 2 所以F1P1≤(1-（告=4， 点C在椭圆上， ∴.ICB1+1CAI=2a=3+5=8, 当且仅当1PF,I=IPF2I=2时取等号，所以1PF,I·IPF2I的 =元音分 最大值为4. 2)设C(xo,).因为B(0,-1),E(-3,0),所以B配=(-5,9.a=2b,当焦点在x轴上时，设方程为+y 户=1，则 16 + 1),C=（-5-,-%). 因为B立=AC京，即(-5,1)=A(-5-xo,-0), =1=17,即 8+17=1 得=》=六 当焦点在y轴上时，设方程为 .y2 6 +46=L,则 6=1, 入 又学+后=1，所以有A461-7=0, .b2=8 =1 解得入=-7或入=1.因为C异于B点，故入=1舍去，所以 入=-7. 大师调方程为后+号1号 练案[11] 10.解法一：设焦点坐标为F(-c,0),F(c, 0),M是椭圆上一点，依题意设M点坐标 A组·基础自测 1.B由题意知a=2,b=5,c=1,最长弦过两个焦点，长为2a= !: c号 4,最短弦垂直于x轴，长度为当x=c=1时，纵坐标的绝对值 364 在Rt△MF,F,中，IF,FI2+1ME22=IMF2, 又0<e<1,. 5」 即4e2+号8=1MF, 3se<1 r0+6 面r1+1M,1=√42+音8+子6=2a, 2x, ∫x0=2x-6, 9 7.设M(x,y),则 %+0 Lyo =2y, 整理，得3c2=3d2-2ab. 2 =y, 又c2=a2-b2,3b=2a.. 624 点P在圆=1上+=1 ·e2=c2=a2-62 a9…es5 31 把[化36代人-1，得2g6,-1, Lyo=2y, 8 4 解孩三设号创代人横时方程得后器= 即x-3) 2 +y2=1为所求。 8.(4)由题意6=6=2=万， B组·素养提升 从而a=√尽+c=2, 1.A设所求椭圆的方程为mx2+n2=1(m>0,n>0,m≠n), 1 则有3m+4n=1, [m=5’,2 所以裤日方程为疗+号-1，离心率为：=号 2m+m=1解得+亏=1 (2)直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾， n=5, 2.B设椭圆的两个焦点为F,F2,圆与椭圆交于A,B,C,D四 个不同的点，设1FFI=2c,则IDFI=c,IDF2I=3c.由椭圆定 义，得2a=IDFI+IDF2I=3c+c, 0 所以离心率e= 2=月-1.故选B. a5+1 B 3c由椭圆c号+ =1,得1M,1+1ME,1=6, 从而设AB:y=+t,(k≠0，t>2),A(x1,y1),B(x2,y2), IME1·IMR,1≤(MEI+IME =9,当且仅当1MF,I= 2 联立片+兮1 ,化简并整理得(1+22)x2+4x+22-4 IMF,I=3时等号成立. Ly=kx+t 4.D由椭圆的定义及其对称性可知IFPI+IFPI=IF,P2I =0, +IF PoI=...=IFPI+IF PsI I=IFAl+IF BI =2a, 由题意△=16k22-8(2k2+1)(t-2)=8(42+2-)>0, 1FPoI=a,故结果应为50×2a+1F,Pol=101a. 即k,1应满足4+2->0，所以+=1+2F,x西 -4kt 、、二+之=1设随圆E的标准方程为2+ x2 a+F=1(a>b>0), 2-4 2a=12, =2k+1' ∫a=6, 半焦距为c,则2-互，{c=35 若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D(-x2,y2), a-2, 所以AD:y=兰(x-)+,在直线AD方程中令x=0, .62=02-c2=36-27=9, x1+x2 椭圆E的方程为6+兮=山 得 Yc x1y2+x2y (k2+t)+3(c,+t) x1+X2 x1十x2 6[ 解法一：由题意得F,(-c,0),F2(c,0),设点 2西+(+)_4(-22+t=2=1所以t=2, x1+X2 -4kt t (三)则由中点公式可得线段P所，的中点个之，》。 此时么应满足42-子=4-2>0，即k应满足k<- 1k≠0 2 .线段PF,的斜率与KF,的斜率之积等于-1， m-0.罗-0 成>盟 ote=-1. a 综上所述，=2满足题意，此时6<2或4>2 -c 2c ㎡-(+（-≥0， 练案[12] A组·基础自测 .a-2a2c2-3c4≤0,3e+2e2-1≥0， 1.C由题意得，双曲线焦点在x轴上，且c=5,设双曲线的标 e≥写，或e≤-1（含去）e≥ 准方程为 卡=1(a>0,6>0),则有G+6=心=3，手 又稀圆的离心率0<e<1,放停≤e<1,放答案为停， 存=1，解得心=2.公=1，故所求双曲线的标准方程为号-子 解法二：设P(m小则（芒-+m2=46,m=4 =1. :2.D由条件知IMWI=4,又动点P满足IPMI-IPNI=2< ()≥0e≥9， IMW,所以根据双曲线的定义知动点P的轨迹是以M,N为 焦点的双曲线的一支（靠近点N的一支）.故选D. 365