第2章 1.2 第1课时 课后达标检测-【优学精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修一同步教参（北师大版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质及应用核心知识点，系统梳理从标准方程化归、离心率计算（涉及a,b,c关系）到焦点、长轴短轴应用，再到与圆、三角形结合的综合问题，构建从基础到综合的学习支架。 资料特色在于融入金烧蓝嵌珠椭圆盒、油纸伞影子等现实情境，培养用数学眼光观察世界的能力。解析逻辑严谨，如离心率推导、三角形边长关系论证，发展数学思维。题目分层设计，课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

1．(2026·亳州期中)椭圆x2＋4y2＝4的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选B．x2＋4y2＝4可化为＋y2＝1，则离心率e＝＝＝. 2．(2026·邢台期中)已知m>0，椭圆E：＋＝1的长轴长是短轴长的倍，则m＝(　　) A．2 B． C．4 D．2 解析：选B．椭圆E：＋＝1的长轴长为2，短轴长为2＝2m，由题意2＝2m，平方化简得m2＝2，又m>0，解得m＝. 3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦距为6，离心率为，则b＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 解析：选B．记椭圆的半焦距为c，由2c＝6得c＝3，于是由＝得a＝6，可知b＝＝＝3. 4．(2026·津南月考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的长轴长为(　　) A．12 B．10 C．9 D．11 解析：选B．将x2＋y2－6x＋8＝0配方得(x－3)2＋y2＝1，故圆心为(3，0)，即得椭圆＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为(3，0)，而该椭圆的短轴长为8，则其长半轴长a＝＝5，所以该椭圆的长轴长为10. 5．如图所示的金烧蓝嵌珠椭圆盒嵌表来自19世纪的英国，此盒表的盒内可放化妆品或首饰，美观且实用，现收藏于故宫博物院．该盒的上底面为椭圆，盒长9 cm，宽4 cm，则该椭圆的离心率为(　　) A． B． C． D． 解析：选C．由已知可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 则2a＝9，2b＝4，故a2＝，b2＝4， 所以该椭圆离心率为＝. 6．(多选)(2026·衡阳期中)已知椭圆C：＋＝1的两个焦点为F1，F2，P为C上不与F1，F2共线的点，则下列说法正确的有(　　) A．实数m的取值范围是(0，9)∪(9，＋∞) B．若椭圆C的焦点在x轴上，则|PF1|＋|PF2|＝6 C．若m＝8，则△PF1F2的周长为12 D．若m＝18，则椭圆C的离心率为 解析：选ABD．对于A，由题意可得m>0且m≠9，故A正确； 对于B，若椭圆C的焦点在x轴上，则a2＝9，解得a＝3，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，故B正确； 对于C，若m＝8，则a2＝9，b2＝8，c2＝9－8＝1，解得a＝3，c＝1，所以|F1F2|＝2c＝2， 则△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝8，故C错误； 对于D，若m＝18，则a2＝18，b2＝9，椭圆C的离心率e＝＝＝，故D正确． 7．(2026·太原期中)已知经过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点的弦的中点坐标为(－2，1)，则C的标准方程为________． 解析：椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点和上顶点的坐标分别为(－a，0)，(0，b)， 由题意可得解得所以C的标准方程为＋＝1. 答案：＋＝1 8．(2026·东莞期中)椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，且|PF1|＝2|PF2|，∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率为________． 解析：因为P是椭圆上一点，所以|PF1|＋|PF2|＝2a，再由|PF1|＝2|PF2|， 可得|PF1|＝，|PF2|＝， 因为∠F1PF2＝90°，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，即＋＝4c2， 可得＝，即e＝， 则椭圆的离心率为. 答案： 9．(2026·渭南期中)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两焦点，点M在椭圆C上，则·的最小值是________． 解析：设M(m，n)，因为c＝＝，所以不妨令F1(－，0)，F2(，0)， 所以·＝(－－m，－n)·(－m，－n)＝m2－5＋n2， 又因为＋＝1，所以n2＝4－，所以·＝m2－5＋4－＝－1， 又因为m∈[－3，3]，所以m2∈[0，9]， 所以(·)min＝0－1＝－1，此时m＝0. 答案：－1 10．(13分)(2026·无锡期中)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为F1(1，0)，且离心率为. (1)求椭圆C的方程；(5分) (2)已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点F1，F2为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标．(8分) 解：(1)由题意可知 可得a＝，b2＝a2－c2＝4， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设P(x0，y0)，由题意可知|F1F2|＝2， 则S＝|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，即y0＝±1，又因为＋＝1， 即＋＝1，解得x0＝±， 所以点P的坐标为(，1)或(，－1)或(－，1)或(－，－1). 11．已知焦点在x轴上的椭圆C：＋＝1(b>0)，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋4相交，则C的离心率的取值范围是(　　) A．(0，) B．(0，) C．(，1) D．(，1) 解析：选B． 因为以椭圆C：＋＝1(b>0)短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋4相交，则<b，解得b>2，又椭圆焦点在x轴上，则b<a＝3，故2<b<3，则椭圆C的离心率e＝＝∈(0，). 12．在手工课上，老师带领同学们一起制作了一个近似北京鸟巢体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知大椭圆的长轴长为40 cm，短轴长为20 cm，小椭圆的短轴长为8 cm，则小椭圆的长轴长为________． 解析：因为两个椭圆的扁平程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，所以两个椭圆长轴长与短轴长的比例相同，设小椭圆的长轴长为2a，则＝，得2a＝16， 所以小椭圆的长轴长为16 cm. 答案：16 cm 13．(13分)已知离心率为的椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点M(5，). (1)求椭圆C的标准方程；(6分) (2)若点P在椭圆C上，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，且|PF1|－|PF2|＝2，求△PF1F2外接圆的方程．(7分) 解：(1)由题意 解得所以椭圆C的标准方程为＋＝1. (2)如图，因为P点在椭圆上，所以|PF1|＋|PF2|＝2a＝14，又|PF1|－|PF2|＝2， 所以|PF1|＝8，|PF2|＝6，又|F1F2|＝2c＝10， 因为|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，所以△PF1F2为直角三角形， 所以△PF1F2的外接圆是以O(0，0)为圆心，5为半径的圆，其方程为x2＋y2＝25. 14．(15分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c，0)，点A(c，)在E上． (1)求椭圆E的离心率；(5分) (2)若O为坐标原点，直线OA与E相交的另一个交点为B，B关于y轴的对称点为C，若四边形AFBC的面积为，求|AB|.(10分) 解：(1)因为点A(c，)在E上，所以＋＝1，可得＝，即e＝，所以椭圆E的离心率为. (2)由A(c，)，结合椭圆的对称性可得B(－c，－)，C(c，－)， 则AC⊥BC，BF⊥x轴，则S△ABC＝|BC|·|AC|＝·2c·2·＝bc，S△ABF＝|BF|·2c＝··2c＝， 依题意，四边形AFBC的面积为，则S△ABC＋S△ABF＝bc＋＝＝， 则bc＝，由(1)可得，a∶b∶c＝2∶1∶，则b＝1，c＝，则A(，)， 则|AB|＝2|OA|＝2×＝. 15．(2026·松江期中)体现中华传统文化的油纸伞至今已有1 000多年的历史．如图，是一把撑开后摆放在地面上的油纸伞，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2＝________． 解析：设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则2b＝4，如图，AB为伞沿所在圆的直径，C，B分别为椭圆的左、右顶点， 由题意可得AB＝4，B＝45°，阳光照射方向与地面的夹角为60°，即C＝60°， 则A＝180°－60°－45°＝75°，sin 75°＝sin (30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝， 在△ABC中，＝，即＝，即＝， 解得a＝，而b＝2， 故e2＝1－＝1－＝3－5. 答案：3－5 学科网（北京）股份有限公司 $