练案7 第一章 2.2 圆的一般方程-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

练案[7] 第一章 直线与圆 §2[2.2 圆的一般方程] b组·基础自测 :三、解答题 一、选择题 9.经过两点P(-2,4),Q(3,-1),且在x轴上 1.将圆x2+y2-2x-4y+4=0平分的直线是( 截得的弦长为6的圆的方程. A.x+y-1=0 B.x+y+3=0 C.x-y+1=0 D.x-y+3=0 2.方程2x2+2y2-4x+8y+10=0表示的图形是 A.一个点 B.一个圆 C.一条直线 D.不存在 3.(2024·北京卷)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心 到直线x-y+2=0的距离为 ( A.√2 B.2 C.3 D.32 4.圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切， 则该圆的方程是 () A.x2+y2+y=0 B.x2+y2-10y=0 C.x2+y2+x=0 D.x2+y2-10x=0 5.由方程x+y+x+(m-1)y+m2=0所确 定的圆的最大面积是 4 2 B.3 C.3m D.不存在 6.(多选题)已知圆x2+y2-4x-1=0,则下列说 法正确的是 A.关于点(2,0)对称 B.关于直线y=0对称 C.关于直线x+3y-2=0对称 D.关于直线x-y+2=0对称 二、填空题 7.点P(1,-2)和圆C:x2+y2+m2x+y+m2=0 的位置关系是 8.若方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(2， -4)为圆心，4为半径的圆，则F= —209 10.已知△ABC顶点的坐标为A(4,3),B(5,2),三、解答题 C(1,0),求其外接圆的一般方程. 7.求经过A(4,2),B(-1,3)两点，且在两坐标轴 上的四个截距之和是2的圆的方程. 分组·素养提升 一、选择题 1.两圆x2+y2-2x-5=0和x2+y2-4x-6y+4 =0的圆心连线方程为 A.3x-y-3=0 B.x-3y+3=0 8.设定点M(-3,4),动点N在圆x+y=4上运 C.3x+y-3=0 D.x+3y-3=0 动，以OM,ON为两边作平行四边形MONP,求点 2.已知x2+y2+4x-2y-4=0,则x2+y2的最大 P的轨迹 值为 A.9 B.14 C.14-65 D.14+65 3.如果直线l将圆x2+y2-2x-6y=0平分，且 不通过第四象限，那么直线1的斜率的取值范 1, 围是 A.[0,3] B.[0,1] co引 D.0, 4.已知x,y满足x2-4x+y2-2y+4=0,则Y的 最大值为 ( A.0 R C.1 D 二、填空题 5.圆x2+y2-4x+2y+c=0与y轴交于A、B两点， 圆心为P,若∠APB=90°，则c等于 6.过四点(0,0)，(4,0)，(-1,1)，(4,2)中的三 点的一个圆的方程为 —210则直线AB与直线CD之间的距离 C,的半径也为1，所以圆C,的方程为(x-2)+(y+2)=1. d=-4-(-21=25 5.(x+2)2+y2=2:圆过原点，圆心在x轴的负半轴上 5 5 ∴.圆心的横坐标的相反数等于圆的半径，又半径等于2，故圆 练案[6] 心坐标为(-√2,0)，所求圆的方程为(x+√2)2+y2=2 6.5圆C:x2+y2=25的圆心为C(0,0),半径r=5, A组·基础自测 因为1AC1=(8-0)2+（-6-0)2=10>5,所以点A在 1.C因为(3-2)2+(2-3)2=2<4，故点P(3,2)在圆内. 圆外， 2.D由题意知圆半径r=2,.圆的方程为(x-1)2+(y-1)2 所以IAP1的最小值为|AC1-r=10-5=5, =2.故选D. 故答案为5. 3.B由题意得(1-a)2+(1+a)2>4, 7.(1)设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=2 .a2>1,.a<-1或a>1,故选B. .圆与坐标轴相切，∴.a-b=0或a+b=0, 4.A线段AB的中点坐标为(3,0)， 又圆心在直线5x-3y=8上，∴.5a-3b=8. 圆的圆心坐标为(3,0)， 由5a-36=8得a=4, 圆的半径r=41=4-2》+,--正=万，圆的 la-b=0. 1b=4. 2 方程为(x-3)2+y2=2. 由5a36n8得a, a+b=0, b=-1. 5.A设圆心坐标为(0，b),则由题意知/(0-1)2+(b-2)2= .圆心为(4,4)时，半径r=4, 1,解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1.故选A. 圆心为(1，-1)时，半径r=1.故所求圆的方程为(x-4)2+ 6.AD,圆上的点(2,1)关于直线x+y=0的对称点仍在圆 (y-4)2=16,或(x-1)2+(y+1)2=1. 上，圆心在直线x+y=0上. (2).圆心在y轴上， 设圆心坐标为(a,-a),则由(2-a)2+(1+a)2=5,解得a= ∴.设圆的标准方程是x2+(y-b)2=2 0或a=1, 又.点A(-1,4)、B(3,2)在圆上， ·.圆的标准方程为(x-1)2+(y+1)2=5或x2+y2=5 「(-1)2+(4-b)=r,解得{，2=10. 故选AD. 32+(2-b)2=r, 7.(x-3)2+(0+1)2=1由题意知，圆的半径，=13x3-4 故所求圆的方程为x2+(y-1)2=10. √32+42 =8.设动点P(x,y),由题意可知P是△ABD的重心.由A(-1, 0),B(1,0), 多=1，所求圆的方程为(x-3+(+D2=1 令动点C(xo,y%）,则D(2x-1,2y), &x-2P+-2r-879o8{2 -1+1+2x-1 [x= 由重心坐标公式得 2yo .圆心坐标为(2,2)，半径r=√22+2=22， y=3 故所求圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=8. 9.由已知条件可得圆心坐标为C(4,6),半径为r=1PC1= 「物31 29 √(3-4)2+(8-6)产=5，所以以PP2为直径的圆的方程为 代人x2+y2=1, (x-4)2+(y-6)2=5. yo= 2(3≠0)， 因为1MC1=√(4-6)2+(6-3)7=√3>5=r: 整理得(+号+-0 1QC1=(4-8)2+(6-1)2=4T>√5=r. 故点M、Q都在圆外. 放所来钱迹方程为：+广+炉 9(y≠0) 10.因为圆心在直线x-y-2=0上，r=7, 所以设圆心为(t,t-2). 练案[7] 所以圆C的标准方程为(x-t)2+(y-t+2)2=17. !A组·基础自测 因为圆C过点(-2,1)， 1.C要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，由x2+y 所以(-2-t)2+(1-t+2)2=17. -2x-4y+4=0,得(x-1)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为 解得t=2或t=-1. ! (1,2),因为1+2-1=2≠0，所以直线x+y-1=0不过圆心， 所以圆心C的坐标是(2,0)或(-1，-3). 所以A错误；因为1+2+3=6≠0，所以直线x+y+3=0不过 所以所求圆C的标准方程是(x-2)2+y2=17或(x+1)2+ 圆心，所以B错误；因为1-2+1=0，所以直线x-y+1=0过 (y+3)2=17 圆心，所以C正确：因为1-2+3=2≠0，所以直线x-y+3= B组·素养提升 0不过圆心，所以D错误；故选C. 1.D由y=√9-x,得y≥0，两边平方得x2+y2=9, 2.A方程2x2+2y2-4x+8y+10=0可化为(x-1)2+(y+2)2 .曲线为半圆. =0, 2.A由题意，得圆C的半径为√I+I=√2，圆心坐标为(1， ∴.x-1=0且y+2=0 2),.圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=2,故选A. .∴.x=1且y=-2, .方程2x+2y-4x+8y+10=0表示的图形是点(1，-2)， 3.D:(x-a)2+(y+b)2=0, 故选A. ∴.x-a=0且y+b=0,∴.x=a,y=-b,故选D 3.D由题意得x2+y2-2x+6y=0,即(x-1)2+(y+3)2=10, 4.B设圆C2的圆心为(a,b),则依题意有 则其圆心坐标为(1，-3)，则圆心到直线x-y+2=0的距离 ra-1_b+1-1=0, 2 2 为1=(-3》+2=32.故选D, a+i-1, b-1 解得8之2对称国的半径不变，放 12+(-1) 4.B设圆心坐标为(0，b),由题意得√(3-0)2+(1-b) 358 =Ib1, 所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5, 解得b=5,.圆的半径r=5. 即x2+y2-6x-2y+5=0. .圆的方程为x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0. B组·素养提升 5B方程+++(m-1)y+号m=0可化为x+2)+ 1.A由题意x2+y2-2x-5=0即(x-1)2+y2=6,x2+y2-4x -6y+4=0即(x-2)2+(y-3)2=9,故两圆的圆心坐标分别 y+m-13 =-(m+1)2+3 2 4 为(10).(2,3)，则连心线斜率为k=二-=3，则两圆心的连 子，此时m=-1, 线方程为y=3(x-1)即3x-y-3=0,故选A 2.D已知方程表示圆心为(-2,1)，r=3的圆.令d= ·圆的最大面积为 √x+y,则d表示(x,y)与(0,0)的距离， 6.ABCx2+y2-4x-1=0=(x-2)2+y2=5,所以圆心的坐标 .d=/(-2-0)2+(1-0)2+r=5+3, 为(2,0.因为圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点.(x2+y2)=(5+3)2=14+65. (2,0)是圆心，所以A选项正确；圆是关于直径所在直线对称3.A1过圆心C(1,3),且不过第四象限. 的轴对称图形，直线y=0过圆心，所以B选项正确：直线x+ 由数形结合法易知：0≤k≤3. 3y-2=0过圆心，所以C选项正确；直线x-y+2=0不过圆 心，所以D选项不正确， 7.在圆C外部将点P(1,-2)代入圆的方程，得1+4+m2-2 C1,3 +m2=2m2+3>0,∴.点P在圆C外部. 8.4由题意，知D=-4,E=8, ,=-4+8-4E=4, 2 ..F=4. 9.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将P、Q两点的坐标分 别代人，得 r2D-4E-F=20, 3D-E+F=-10 4.D之的几何意义是圆2-4+-2y+4=0上的点(，） ② 又令y=0,得x2+Dx+F=0. 与原点连线的斜率，圆x2-4x+y2-2y+4=0的圆心坐标为 由已知，1x1-x21=6(其中：1，x2是方程2+D+F=0的两 (2,1),半径r=1.设过原点且与圆相切的直线方程为y=kx, 根)，.D2-4F=36, 即kx-y=0,∴. 2k-11=1, ①、②、③联立组成方程组，解得 +1 rD=-2, D=-6, E=-4,或E=-8 k=0或号放士的最大值为 F=-8,F=0. 5.-3解法一：圆与y轴的交点A、B的坐标为(0，-1± .所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y √1-c),点P坐标为(2，-1)，由∠APB=90°，得kp·kg= =0. -1,c=-3. 10.解法一：（待定系数法）设圆的方程为x2+y+Dx+Ey+F= 解法二：由已知得半径r=22.5-c=8,….c=-3. 0,(D2+E-4F>0), 6.(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或 r25+4D+3E+F=0, rD=-6, ()+0-子-(+-1-器写 41 则29+5D+2E+F=0,解得{E=-2, 1+D+F=0, lF=5, 出其中一个即可)依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+ 因此其外接圆的一般方程为x2+y2-6x-2y+5=0. F=0,若过(0,0)，(4,0)，(-1,1)，则 解法二：（几何法） F=0. rF=0. 4让的垂直平分线方程y-子=-号，即y=-2: 16+4D+F=0. 解得D=-4,所以圆的方程为x2+y2 1+1-D+E+F=0,E=-6, 4C的垂直平分线方程y-多=-(-多)，即y=x+4 -4x-6y=0,即(x-2)2+(y-3)2=13; rF=0, [4得国68，， 若过(0,0)，(4,0)，(4,2)，则{16+4D+F=0, L16+4+4D+2E+F=0, 半径√(4-3)2+(3-1)2=5. rF=0, 所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5, 解得{D=-4,所以圆的方程为x2+y2-4x-2y=0,即(x- 即x2+y2-6x-2y+5=0. LE=-2, 解法三：（几何法） 2)2+(y-1)2=5: 因为AB,AC的斜率，满足kw·h=3×3- rF=0, 4-54-1 =-1,所以 若过(0,0)，(4,2)，(-1,1)，则{1+1-D+E+F=0,解 AB⊥AC 16+4+4D+2E+F=0, △ABC为直角三角形. F=0. 所以BC为外接圆的直径外接圆圆心(3,1)，半径为BC1 8 得 D=- 3 =号6-1)2+(2-0=5， 14 E= 3 -359 所以圆的方程为2+-弩-兰=0，即(-号)+ 练案[8] (引- A组·基础自测 1.D圆心(1，-1)到直线3x+4y+12=0的距离d= 若过(-1,1)，(4,0)，(4,2)， 16 3x1+4x》+21-号，因为0<d<r,所以相交但不过 r1+1-D+E+F=0, IF=- 5 /32+43 则16+4D+F=0, 解得D=- 圆心.故选D. 16+4+4D+2E+F=0, 5 2.A由题意，得圆心(0，a)到直线x+y-1=0的距离大于半径 E=-2, a,即la-L>a,当a-1>0,即a>1时，不等式可化为a-1 所以圆的方程为+y白-2y-9=0,即(x-号)广+( 5 >√2a, -1-g 即a(1-2)>1,因为a>0,所以a无解： 当a-1<1,即a<1时，不等式可化为-a+1>2a, 故答案为：(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5 或(-)+(-子-g或(x-+0-10- 即(2+1)a<1,a< 1=万-1 5+1 7.设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ex+F=0,令y=0得x2+Dx 当a=1时，不等式无解， +F=0, 又a>0,a的范围为(0,2-1). .圆在x轴上的截距之和为x1+x2=-D 3.C 圆心到直线的距离d=一1a1 令x=0得y+Ey+F=0, √6+居 .圆在y轴上的截距之和为y1+y2=-E. 后+后<a2,编+后<a, 由题意知，x1+x2+y1+y2=-(D+E)=2, .D+E=-2, ① d=1>￠=a,故选C 又A(4,2),B(-1,3)在圆上， √+后a .16+4+4D+2E+F=0, ②4.B由题意得1cl =1, 1+9-D+3E+F=0, √a2+b 由①②③得D=-2,E=0,F=-12. a2+b=c2,故选B. 故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0. 5.A:点P(1,3)在圆x2+y2=10上，.过点P(1,3)的圆的切 8解法：（定义法）1MP1=10N1=2,所以动点P在以M为圆线方程为x+3y-10=0. 心，半径为2的圆上. 6.AC如图所示，圆心到直线1的距离 又因为四边形MOWP为平行四边形， 为d= 2 :=1,则直线1与圆 所以0，M,P不共线.当点P在直线0M上时有x=-3,y= 12+1 x2+y2=1相切. 由图可知，当AP,AQ均为圆x2+y2= 1的切线时，∠PAQ最大 因此所求轨迹为圆(x+3)2+(y-4)2=4, 连接OP,OQ,由于∠PAQ最大为90°，且∠AP0=∠AQ0= 除去点（号号）和点(，》 90°，10P1=1001=1, 故四边形APOQ为正方形，所以1OAI=√21OPI=√2. 解法二：（代人法）如图所示，设P(x,y),N(xoyo) ◆y 设点A的坐标为(t,-t+2), 由两点间的距离公式，得I0A1=√？+(2-t)2=√2， 整理得子-2t=0,解得t=0或t=万， 因此点A的坐标为(0，√2)或(2,0). 7.x-y-3=0因为AB是圆(x-1)2+y2=25的弦，圆心为 C(1,0),弦AB的中点P(2,-1),所以AB⊥CP,因此，直线 ; 仍的斜率k=-1x1,故直线B的方程是少+1 则线段0P的中点坐标为（乏，），线段MW的中点坐标为 =x-2,即x-y-3=0. (色2，)由于平行四边形的对角线互相平分，故受= 8.(4,-3)2√/15将直线l变形得2m(x-4)=y+3,即直线1 恒过定点P(4,-3),圆的方程可化为(x-3)2+（y+6)2= 音-，从而化又点+3-4在圆 25.显然点P在圆内.当圆心C(3,-6)到直线1的距离最大 【yo=y-4, 时，直线1被圆所截得的弦AB的长度最短. 上，故(x+3)2+(y-4)2=4. 此时PC1l,又kpc=-3（6=3. 4-3 当点P在直线0W上时，有=-号，y=号或x=- 9 5,y= 所以直线1的斜率为-号测2m=-号，所以m=石 因此所求轨迹为圆(x+3)炉+(y-4)=4,除去点 因为1PC1=√10,1AC1=5, (-号号)和点(-号) 所以1AB1=2√IAC2-IPCI2=2√15 ! 故当m=一。时，直线I被圆C截得的弦长最短，最短弦长为 -360