1.2.2 圆的一般方程(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版)

**基本信息** 聚焦圆的一般方程，通过基础巩固与综合运用，系统提炼方程转化、轨迹求解等方法，构建“概念-转化-应用”的知识逻辑链，发展运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础巩固|10题|一般方程与标准方程转化、中点坐标法求轨迹、对称问题的圆心关系分析|以方程转化为核心，连接圆心半径确定、点圆位置关系、对称与轨迹等应用| |综合运用|4题|参数讨论法、定义法与代入法解决轨迹问题、定点问题证明|深化含参圆方程、面积最值及跨知识点综合，提升数学表达与模型观念|

2.2　圆的一般方程 1.已知圆C：x2＋y2－2x－2y=0，则点P（3，1）在（　　） A．圆内　 B．圆上 C．圆外　 D．无法确定 2.圆的方程为（x－1）（x＋2）＋（y－2）（y＋4）=0，则圆心坐标为（　　） A．（1，－1）　 B． C．（－1，2）　 D． 3.圆x2＋y2－ax－2y＋1=0关于直线x－y－1=0对称的圆的方程是x2＋y2－4x＋3=0，则a的值为（　　） A．0　 B．1 C．2　 D．3 4.当点P在圆x2＋y2=1上运动时，它与定点Q（3，0）的线段PQ的中点的轨迹方程是（　　） A．（x＋3）2＋y2=4　 B．（2x－3）2＋4y2=1 C．（x－3）2＋y2=1　 D．（2x＋3）2＋4y2=1 5.〔多选〕已知圆x2＋y2－4x－1=0，则下列说法正确的有（　　） A．关于点（2，0）对称 B．关于直线y=0对称 C．关于直线x＋3y－2=0对称 D．关于直线x－y＋2=0对称 6.〔多选〕若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示以（2，－4）为圆心，4为半径的圆，则下列结论正确的是（　　） A．F=4 B．点（0，1）在圆外 C．圆的标准方程为（x＋2）2＋（y－4）2=42 D．点（2，1）与圆上任一点距离的最大值为9 7.已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3=0，AB为圆C的一条直径，点A（0，1），则点B的坐标为　　　　． 8.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a=0表示圆，则圆心坐标是　　　　，半径是　　　　． 9.当圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m=0的面积最小时，m=　　　　． 10.〔一题多解〕已知圆C经过（0，2），（1，），（，）三点． （1）求圆C的方程； （2）设定点M（－3，4），动点N在圆C上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP（O为坐标原点），求点P的轨迹． 11.（2026•淄博月考）若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4=0上所有的点均在第二象限内，则a的取值范围为（　　） A．（－∞，－2）　 B．（－∞，－1） C．（1，＋∞）　 D．（2，＋∞） 12.〔多选〕设直线l的方程为x－y＋m=0，圆C的方程为x2＋y2－4x－4y=0，圆C上存在4个点到直线l的距离为，则实数m的取值可能为（　　） A．－1　 B．－2 C.0　　 D.2 13.已知A（－2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx=0上两个不同点，P是圆上的动点，如果M，N关于直线x－y－1=0对称，则△PAB面积的最大值是　　　　． 14.已知曲线C：（1＋a）x2＋（1＋a）y2－4x＋8ay=0，a∈R． （1）当a取何值时，方程表示圆； （2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点； （3）当曲线C表示圆时，求圆的面积最小时a的值． 2.2　圆的一般方程 1.C 2.D　将圆的方程化为标准方程，得＋（y＋1）2＝，所以圆心为. 3.C　由于圆x2＋y2－ax－2y＋1＝0的圆心为M（，1），圆x2＋y2－4x＋3＝0的圆心为N（2，0），又两圆关于直线x－y－1＝0对称，故有×1＝－1，解得a＝2. 4.B　设P（x0，y0），线段PQ的中点为M（x，y），如图所示.则即因为点P（x0，y0）在圆x2＋y2＝1上运动，即＋＝1，所以（2x－3）2＋（2y）2＝1，即（2x－3）2＋4y2＝1. 5.ABC　x2＋y2－4x－1＝0⇒（x－2）2＋y2＝5，所以圆心的坐标为（2，0），半径为.A项，圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点（2，0）是圆心，所以本选项正确；B项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线y＝0过圆心，所以本选项正确；C项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x＋3y－2＝0过圆心，所以本选项正确；D项，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线x－y＋2＝0不过圆心，所以本选项不正确.故选A、B、C. 6.ABD　由题知解得D＝－4，E＝8，F＝4，A正确；由A知圆的一般方程为x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，将（0，1）代入得0＋1－0＋8＋4＝13＞0，故点（0，1）在圆外，B正确；将圆的一般方程化为标准方程为（x－2）2＋（y＋4）2＝42，C错误；因为圆心（2，－4）到点（2，1）的距离为5，所以圆上动点（x，y）到定点（2，1）的距离的最大值为5＋4＝9，D正确. 7.（2，－3）　解析：由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，（x－1）2＋（y＋1）2＝5，所以圆心C（1，－1）.设B（x0，y0），又A（0，1），由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为（2，－3）. 8.（－2，－4）　5　解析：由题可得a2＝a＋2，解得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，圆心为（－2，－4），半径为5；当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即（x＋）2＋（y＋1）2＝－，不表示圆.故圆心坐标是（－2，－4），半径是5. 9.1　解析：由圆C：x2＋y2－4x－2my＋2m＝0，得圆C的标准方程为（x－2）2＋（y－m）2＝m2－2m＋4，从而对于圆C的半径r有r2＝m2－2m＋4＝（m－1）2＋3≥3，所以当m＝1时，r2取得最小值，此时圆C的面积最小. 10.解：（1）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意得解得 则圆C的方程为x2＋y2＝4. （2）法一（定义法）　设点P（x，y）.由题意知｜MP｜＝｜ON｜＝2，所以动点P在以M为圆心，半径为2的圆上，即（x＋3）2＋（y－4）2＝4.又因为四边形MONP为平行四边形，所以O，M，P三点不共线.当点P在直线OM上时有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆除去点（－，）和点（－，）. 法二（代入法）　如图所示， 设点P（x，y），N（x0，y0），则线段OP的中点坐标为（，），线段MN的中点坐标为（，）. 由于平行四边形的对角线互相平分，故从而 又点N（x＋3，y－4）在圆x2＋y2＝4上， 故（x＋3）2＋（y－4）2＝4.当点P在直线OM上时， 有或 因此所求轨迹为以（－3，4）为圆心，2为半径的圆并除去点（－，）和点（－，）. 11.D　由题意得，曲线C的标准方程为（x＋a）2＋（y－2a）2＝4，因此曲线C是圆心为（－a，2a），半径为2的圆.∵曲线C上所有的点均在第二象限内，∴解得a＞2，∴a的取值范围是（2，＋∞）. 12.AC　圆C的方程为x2＋y2－4x－4y＝0可化为（x－2）2＋（y－2）2＝8，所以圆心为C（2，2），半径为2.当圆心（2，2）到直线l：x－y＋m＝0的距离小于时，圆C上存在4个点到直线l的距离为，所以＜，解得－2＜m＜2.故选A、C. 13.3＋　解析：依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心（－，0）位于直线x－y－1＝0上，于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是（1，0），半径是1.由题意可得｜AB｜＝2，直线AB的方程是＋＝1，即x－y＋2＝0，圆心（1，0）到直线AB的距离等于＝，点P到直线AB的距离的最大值是＋1，△PAB面积的最大值为×2×＝3＋. 14.解：（1）当a＝－1时，方程为x＋2y＝0，表示一条直线； 当a≠－1时，方程为（x－）2＋（y＋）2＝， 因为＞0，所以a≠－1时方程表示圆. （2）证明：方程变形为x2＋y2－4x＋a（x2＋y2＋8y）＝0. 对于a取任何值，上式成立，则有 解得或 所以C过定点A（0，0），B（，－）. 所以不论a为何值，曲线C必过两定点. （3）由（2）知曲线C过定点A，B，在这些圆中，当以AB为直径时，圆的面积最小， 从而得以AB为直径的圆的方程为 （x－）2＋（y＋）2＝， 所以＝，＝，＝， 解得a＝. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $