第5章 计数原理章末知识梳理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

132 章末知识梳理 知识体系构建 分类加法计数原理 基本计数原理 分步乘法计数原理 排列问题一 A:的意义及计算 排列与组合 C的意义及计算 组合问题 组合数的性质 二项式定理的推导 二项式定理 二项式系数的性质 要点专项突破 要点一两个计数原理的应用 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理很少单独命题，多与排列、组合等规律方法： 问题相结合，以选择题或填空题的形式考查，难度适中，属中档题. 用两个计裁原理 2.应用两个原理解决有关计数问题的关键是区分事件是分类完成还是 解决实际问题时，往 分步完成，而分类与分步的区别又在于任取其中某一方法是否能完成事件， 往从特殊元素入手， 能完成便是分类，否则便是分步.对于有些较复杂问题可能既要分类又要分 通过对其分析，展开 讨论，将复杂问题分 步，此时，应注意层次分明，不重不漏 例1从数字1,2,34,5中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数 解为几类简单问题加 以解决」 字之和等于6，这样的三位数的个数为 ) A.7 B.9 C.10 D.13 ·[规律方法] 要点二排列与组合的综合应用 求解排列组合综合问题的常用策略： (1)特殊元素优先安排的策略， (2)合理分类和准确分步的策略 (3)排列、组合混合问题先选后排的策略 (4)正难则反、等价转化的策略， (5)相邻问题捆绑处理的策略. (6)不相邻问题插空处理的策略. (7)定序问题除法处理的策略. (8)分排问题直排处理的策略 (9)“小集团”排列问题中先整体后局部的策略. (10)构造模型的策略. 133 例2已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必 须相邻，则满足要求的排队方法数为 ( 规律方法： A.72 B.96 C.120 D.288 解决排列组合的 例3在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞醑节日。 综合问题时，通常都 是从特殊元素、特殊 (1)当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？ 位置入手，先安排特 (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种 殊元素、特殊位置， 不同的节目安排顺序？ 再安排其他元素、其 (3)若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个节目，他位置，根据分步乘 但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？ 法计数原理解决 问题. 规律方法： 求特定项或特定 项的系数，就是根据 二项式定理写出展开 式的通项T+1,根据 需要对通项T+1中的 k进行赋值， [规律方法] 要点三二项式定理的应用 对于二项式定理的考查常出现两类问题：一类是直接运用通项公式来求 特定项；另一类需要运用转化思想化归为二项式定理来处理问题.从近几年 高考命题趋势来看，对于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主，难 度不大，但不排除与其他知识交汇，具体归纳如下： (1)考查通项公式问题， (2)考查系数问题： ①涉及项的系数、二项式系数以及系数的和； ②一般采用通项公式或赋值法解决； ③可转化为二项式定理解决问题， 例4版+司 展开式中的第7项与倒数第7项的比是1：6，则展开式中的第 7项为 [分析]先利用“第7项与倒数第7项的比是1：6”求出n的值，然后再 利用通项求第7项. ●[规律方法] 134 例5卫划江 的展开式中倒数第三项的系数为45， (1)求含有x的项： (2)求系数最大的项. 规律方法： [分析]先根据条件求出n的值，再求出特定项， 利用二项式系裁 的性质，可以把在展 开式中靠后的二项式 系裁C转化为靠前的 二项式系数C,转 化后可简化解题过程 [本例（1)的解 决]，还可以解决一 些较为简单的二项展 开式系数的最大（或 最小)问题.但应注意 区分二项式系数和展 ·[规律方法] 开式系数这两个不同 例 6.已知(x+2)(2x-1)5=a+a1x+a2x2+…+a6x,则a+a2+a4= 的概念. ( A.123 B.91 C.-152 D.-120 要点四分类与整合的思想 解决两个计数原理的综合应用问题时，很多时候都需要既分类又分步才 能完成.解题时，先根据问题分析是先分类还是先分步.对于先分类后分步的规律方法： 题目，应明确分类的标准，做到不重不漏；对于先分步后分类的题目，往往是 寻我合理的分类 一个元素的位置选择对另一个元素的位置选择有影响. 方法是解此类题目的 例7现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中 关键.对于计裁问题， 任取3张，要求这3张卡片中至多有两张红色卡片，并且其余卡片颜 分类的依据主要是特 殊元素或特殊位置 色不能相同，那么不同取法的种数为 (用数字作答) ●[规律方法] 素养等级测评 请同学们认真完成考案（四）对点训练3：1当x=1时，(1+2)”=a+a1+…+a.=但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 729,即3"=3，则n=6,取x=-1,则有(-1)°=a0-a1+a2- a3+…+a6,即原式的值为1. A始=品，=132（种）排法 例4：(3”-1)：(3”+1)设x的奇次项系数的和为A,x 的偶次项系数的和为B,则令x=1,得A+B=32”,令x=-1,得 B-A=1, 倒数第7项：=C（（方 28=+184 2 C(2)-6（ 即奇次爽系敏的和为”，偶次项系致的和为 由 ,.n=9 2 (( 6 6 .所求之比(320-1)：(30+1). 课堂检测固双基 放-（房-心2号曾 1 1.C二项式(a+b)"的展开式中 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 例5：(1)已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C:2= .2”-1=64,.n=7.故选C. :45,即C2=45,得n2-n=90,解得n=-9(不合题意，舍去)或 2B由条件知(1+2)”=729，n=6,展开式的通项为1n=1 =C(2x)=2*Cx,令k=3得23Cg=160. 通项T1=C(x)0-(x)产=Ci6x9,,号(0≤k≤10， 3.C该展开式共2n+2项，中间两项为第n+1项与第n+2keN),令-10-k+=3,解得k=6. 4 项，所以第n+1项与第n+2项为二项式系数最大的项. 3 4.B令x=1,得M=4“,又N=2”,故4”-2=240.解得n=4.展开式 故含有x3的项是第七项，T,=Cox3=210x3. 10 中的通项为T1=C(5x) ）=(-1)54-*C5x42,令4 2)(江+河的展开式中共有Ⅱ项， “系数最大的项是第六项， 6=1得k=2,当k=2时，展开式中x的系数为C5'= 3 T6=C(x)5(x子)5=252高 150.故选B. 例6：C(x+2)(2x-1)5=a+a1x+a2x2+ax3+a4x+ 5.D令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a+a3+…+ag= a5x3+a6x5中， 29=512, 取x=1,得a+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3, 所以a1+a2+a3+…+a=512-a=512-1=511,故选D. 取x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=-243, 章末知识梳理 所以2(a+a2+a4+a6）=-240, 即a0+a2+a4+a6=-120,又a6=32,则a+a2+a4=-152. 要点专项突破 例7：328根据题意，分3种情况讨论： 例1：C从数字1,2,3,4,5中取出3个数字（允许重复），： ①取出的3张卡片中有2张红色的，需要在其他三种颜色 组成三位数，各位数字之和等于6， 的卡片中任选1张， 可分为三类情况：(1)当三个数为1,1,4时，共有C;=3 有C·C2=72(种)不同的取法； (种)排法；(2)当三个数为1,2,3时，具有A=6(种)排法；(3) ②取出的3张卡片中有1张红色的，先在4张红色卡片中 当三个数为2,2,2时，只有1种排法.由分类加法计数原理可选出1张，在其他三种颜色中任选2种，在选出的2种颜色的卡 得，共有3+6+1=10（种）不同排法，即这样的数共有10个. 片中任选1张， 例2：A设另外两人为戊、己可以分步完成，①甲、丁捆绑后 有C4·C·C·C4=192(种)取法； 排序有A种方法，②捆绑后的甲、丁与戊己排序，有A种方法，③ ③取出的3张卡片中没有红色的，需要在其他三种颜色的 将乙、丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有A种方 卡片中各抽取1张， 法，根据分步乘法计数原理，共有2×6×6=72（种）方法. 有C4·C4·C=64(种)取法。 例3：(1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节 故共有72+192+64=328（种）取法。 目，与6个演唱节目一起排，有A7=5040(种)方法；第二步，再 第六章概率 松绑，给4个节目排序，有A=24种方法 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24=120960（种） §1 随机事件的条件概率 (2)第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的“☐”）， 一共有A:=720(种)方法. 1.1条件概率的概念 ×□×□×□×□×□×□× 必备知识探新知 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间 知识点条件概率A发生的条件下B发生的概率 (即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共 关键能力攻重难 有A=840(种). 例1：由古典概型的概率公式可知 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）. (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A号种排法， (I)PA)=号 338