第27期 随机变量及其分布-【数理报】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册同步学案（北师大版）

书 随机变量的分布列是高中数学的重要内容，分布列 的计算是概率部分计算的延伸，求解分布列问题的关键 是掌握基本概念和概率的计算．下面举例说明随机变量 的分布列在解题中的应用． 一、利用分布列求参数 例１设随机变量Ｘ的分布列如下： Ｘ １ ２ ３ … ｎ Ｐ ｋ ２ｋ ４ｋ … ２ｎ－１ｋ 则常数ｋ＝ ． 解析：由离散型随机变量的分布列的性质，得 ｋ＋２ｋ＋４ｋ＋… ＋２ｎ－１ｋ＝１， 即（１＋２＋４＋… ＋２ｎ－１）ｋ＝１． 所以 １－２ｎ １－２ｋ＝１，解得ｋ＝ １ ２ｎ－１ ． 例２设随机变量 Ｘ的概率分布为 Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ ｃ ２ｋ（ｋ＋１），ｋ＝１，２，３，ｃ为常数，则ｃ＝ ． 解析：因为Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝２）＋Ｐ（Ｘ＝３）＝１， 所以 ｃ ２× １ １×２＋ １ ２×３＋ １ ３×( )４ ＝１， 即 ３ ８ｃ＝１，故ｃ＝ ８ ３． 二、利用分布列求概率 例３已知随机变量Ｘ的分布列如下： Ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ Ｐ ４５ ４ ５２ ４ ５３ ４ ５４ ４ ５５ ４ ５６ ４ ５７ ４ ５８ ４ ５９ ｍ 则Ｐ（Ｘ＝１０）＝ ． 解析：Ｐ（Ｘ＝１０）＝１－［Ｐ（Ｘ＝１）＋Ｐ（Ｘ＝２）＋ … ＋Ｐ（Ｘ＝９）］＝１－ ４ ５＋ ４ ５２ ＋… ＋４ ５[ ]９ ＝１－ ４ ５ １－ １( )５[ ] ９ １－１５ ＝ １ ５９ ． 例４已知随机变量Ｘ的概率分布为Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ ｃ ３ｋ ， ｋ＝１，２，…，ｎ，ｃ为常数，则Ｐ（２＜Ｘ≤４）＝ ． 解析：Ｐ（２＜Ｘ≤４）＝Ｐ（Ｘ＝３）＋Ｐ（Ｘ＝４）＝ ｃ ３３ ＋ｃ ３４ ＝４ｃ８１． 三、利用分布列求均值与方差 例５已知随机变量 Ｘ的概率分布为 Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝ １ ３，ｋ＝１，２，３，则Ｅ（３Ｘ＋５）＝ ． 解析：因为Ｐ（Ｘ＝１）＝１３，Ｐ（Ｘ＝２）＝ １ ３，Ｐ（Ｘ＝３） ＝ １３，所以Ｅ（Ｘ）＝１× １ ３＋２× １ ３＋３× １ ３ ＝２． 所以Ｅ（３Ｘ＋５）＝３Ｅ（Ｘ）＋５＝３×２＋５＝１１． 例６设随机变量Ｘ的分布列如下： Ｘ ０ １ ２ Ｐ ａ ｂ ｃ 其中ａ，ｂ，ｃ成等差数列，若Ｅ（Ｘ）＝４３，则Ｄ（Ｘ）的 值是 ． 解析：由ａ，ｂ，ｃ成等差数列，得２ｂ＝ａ＋ｃ， ① 又ａ＋ｂ＋ｃ＝１， ② Ｅ（Ｘ）＝０·ａ＋１·ｂ＋２·ｃ＝ｂ＋２ｃ＝ ４３． ③ 联立①②③，解得ａ＝ １６，ｂ＝ １ ３，ｃ＝ １ ２． 所以Ｄ（Ｘ）＝ ０－４( )３ ２ ×１６＋ １－ ４( )３ ２ ×１３＋ ２－４( )３ ２ ×１２ ＝ ５ ９． 书 一、条件概率与全概率公式 例１有专家指出，与新冠病毒感染者密切接触过的 人，被感染的概率是９％．王某被确诊为新冠病毒感染者 后，当地准备对王某的密切接触者共７８人逐一进行核酸 检测． （１）设Ｘ为这７８名密切接触者中被感染的人数，求 Ｘ的数学期望； （２）核酸检测并不是１００％ 准确，有可能出现假阴 性（新冠病毒感染者的检测结果为阴性，即漏诊）或假 阳性（非新冠病毒感染者的检测结果为阳性，即误诊）． 假设当地核酸检测的灵敏度为 ９８％（即假阴性率为 ２％），特异度为９９％（即假阳性率为１％）．已知王某的 一个密切接触者赵某的核酸检测结果为阳性，求他被感 染的概率（结果保留３位有效数字）． 解析：（１）Ｘ为这７８名密切接触者中被感染的人数， Ｘ可取０，１，２，…，７８，Ｘ～Ｂ（７８，９％）， 所以Ｅ（Ｘ）＝７８×９％ ＝７０２． （２）设事件Ａ为“核酸检测结果为阳性”，事件Ｂ为 “密切接触者被感染”， 由题意Ｐ（Ｂ）＝００９，Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝０９８，Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝ ００１，所以 Ｐ（Ａ） ＝Ｐ（ＡＢ∪ ＡＢ） ＝Ｐ（ＡＢ）＋Ｐ（ＡＢ） ＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）＋Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ）＝００９×０９８＋０９１ ×００１＝００９７３， Ｐ（Ｂ ｜ Ａ） ＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ） ＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ｜Ｂ） Ｐ（Ａ） ＝ ００９×０９８ ００９７３ ≈０９０６， 所以王某的一个密切接触者赵某的核酸检测结果 为阳性，他被感染的概率为０９０６． 二、离散型随机变量的分布列及数字特征 例２甲、乙两人进行围棋比赛，约定每局胜者得１ 分，负者得０分（无平局），比赛进行到有一人比对方多２ 分或打满６局时停止．设甲在每局获胜的概率为 ２３，且 各局胜负相互独立．设 Ｘ表示比赛停止时已比赛的局 数，求随机变量Ｘ的分布列及数学期望． 解析：设每两局比赛为一轮，根据题意得 Ｘ的所有 可能取值为２，４，６．设前两局比赛为第一轮，则该轮比赛 结束时比赛停止的概率为 ２ ３× ２ ３＋ １ ３× １ ３ ＝ ５ ９． 若第一轮结束时比赛还在继续，则甲、乙在该轮中 必各得１分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止 没有影响．