5.1 基本计数原理-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

9经验检，符合题意所以线段CF的长为 第四章数学建模活动（三）（略） 例8：（1)证明：连接AC..底面ABCD为菱形，∠ABC =60°， 第五章 计数原理 .△ABC是正三角形， 又E是BC的中点，∴.AE⊥BC, §1基本计数原理 又AD∥BC,..AE⊥AD. 必备知识探新知 .PA⊥平面ABCD,AEC平面ABCD,PA⊥AE, 知识点11.m1+m2+…+ma2.相加 又PA∩AD=A,.AE⊥平面PAD, 又AEC平面AEF,平面AEF⊥平面PAD.故无论点F在关键能力攻重难 知识点21.m·m2·…·m,2.缺一不可相乘 PC上如何移动，都有平面AEFI平面PAD. 例1：解法一：按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8分 (2)由(1)知，AE,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个，7个，6个，5 AB,4D,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间个，4个，3个，2个，1个 直角坐标系，易知A(0,0,0),C(√3,1,0)，D(0,2,0),P(0,0,2), 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是8+ M(0,1,1),E(5,0,0).P元=(5,1，-2)，P元=(0,2，-2) :7+6+5+4+3+2+1=36. 设P7=AP元=(3A,A,-2A)(0≤入 ◆2 解法二：按个位上的数字分别是2,3,4,5,6,7,8,9分成八 ≤1)，又AP=(0,0,2),.AF=A2+P市= 类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个，2个，3个，4个，5 (0,0,2)+(5A,A,-2A)=(3入，A,2- 个，6个，7个，8个 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数的个数是1+2 2λ). 设平面PCD的法向量为m=(xo,y%, +3+4+5+6+7+8=36. 解法三：考虑两位数的个位数字与十位数字的大小关系，利 20）, 用对应思想解决 所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两 位数为11,22,33，…，99，共9个.个位数字与十位数字不能调换 即56+%-2。=0， 位置的两位数为10,20,30，…，90，共9个.剩余的72个两位数 2y0-2z0=0, 中，将每一个“个位数字(a)小于十位数字(b)的两位数”的个位 取。=5，则0=1，水0=5， 数字与十位数字调换位置后，都有一个“个位数字(b)大于十位 数字（α）的两位数”与其对应，故满足条件的两位数的个数是72 ∴m=(1,√5,3)为平面PCD的一个法向量. ÷2=36. 设直线AF与平面PCD所成的角为0， 对点训练1：(1)B若4本中有3本语文参考书和1本数 则sin0=lcos(A证，m1=M·m侧 学参考书，则有4种方法，若4本中有1本语文参考书和3本数 IAFIImI 学参考书，则有4种方法，若4本中有2本语文参考书和2本数 =5A+5A+25-25A1 学参考书，则有6种方法，若4本都是数学参考书，则有一种方 万·√32+2+4(1-) 法，所以不同的赠送方法共有4+4+6+1=15（种）. 25 (2)56完成这件事需要分两类完成：第一类：选1名男生， 方2(4*号 有38种选法；第二类：选1名女生，有18种选法，根据分类加法 计数原理，共有N=38+18=56(种)不同的选法. 例2：(1)Bx∈{1,2,4}，y∈{-2，-3,5}，从x中选1个 :当A=分时，s血0最大，此时P为心的中点，值，从y中选1个值，共有3X39以种)运算结果，且没有相同的 即r方小 :运算结果. (2)920根据分类加法计数原理知，从中任选1人参加 =(500-(停子小=010 学科竞赛，不同的选派方法共有4+5=9（种）：由分步乘法计数 :原理知，从中任选1名女同学和1名男同学参加学科竞赛，不同 设平面AEF的法向量为n1=(x1,,a),平面AEM的法向的选派方法共有4×5=20（种）. 量为2=(x2,y222）, 对点训练2：(1)要完成的是“4名同学每人从3个项目中选 m·A正=0,51=0， 一项报名”这件事，因为每人必报一项，4名同学都报完才算完 即 成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法 1n,·AF=0, 1 令a1=-1,则y1 [2+2y+=0 为3种，所以共有3×3×3×3=81（种）报名方法 (2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项 =2, 冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所 .n1=(0,2,-1)为平面AEF的一个法向量，同理可得 以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军是4 n2=(0,1,-1)为平面AEM的一个法向量. 名同学中的某一人，有4种可能的情况，于是共有4×4×4=64 cos(n1,2〉= 1·%=3=310 m11n=/00 (种)可能的情况 例3：(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选 :1人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种 .二面角F-AE-M的余弦值为0 ;选法.由分类加法计数原理，可知共有50+42+30=122（种） —330 选法 知识点3n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)] (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责关键能力攻重难 人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.由分步乘法 例1：(1)不是：(2)是；(3)第一问不是，第二问是；(4)是； 计数原理，可知共有50×42×30=63000（种）选法 :(5)是 (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42= 理由是：(1)(2)中由于加法运算满足交换律，所以选出的两 2100(种)选法： :个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素谁作 ②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30=1260除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是排列问 (种)选法； 题，做除法是排列问题.(3)中选座位与顺序无关，“人座”问题，与 ③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30=1500顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题(4)中每个人 (种)选法.故共有2100+1260+1500=4860（种）选法. 的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问 对点训练3：42分别用a,b,c代表3种农作物，将试验田题，属于排列问题.(5)A给B写信与B给A写信是不同的，所以 从左到右依次编号为①②③④⑤. 存在着顺序问题，属于排列问题 先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a. 对点训练1：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 再种②号田，可种植b或c,有2种种植方法，不妨设种植6.作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列 若③号田种植c,则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同问题， 的种植方法共有2×2=4（种）. (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 若③号田种植a,则④号田可种植上b或c 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题， (1)若④号田种植c,则⑤号田有2种种植方法； (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 (2)若④号田种植b,则⑤号田只能种植c,有1种种植！问题. 方法. 综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题 综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4+2+1)=42（种） 例2：(1)A15=15×14×13=2730, 例4：64由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科 A%=6×5×4×3×2×1=720. 各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都 (2)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且 能获得冠军，故完成这件事分三步 共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， 第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获 所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=A5-n 得，有4种不同的获得情况： (3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·.·(n+ 第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的m)=A 同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也 对点训练2：(1)18因为Am=11×10×9×8×…×5,所以 是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况； n=11,m=(11-5)+1=7,m+n=18. 第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得 (2)36A9=7×6×5×4×3×2,A5=6×5×4×3×2,A= 情况 5×4×3×2×1, 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 =64(种) 所以A9-A。 =7×6-6=36. A 课堂检测固双基 例3：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从 1.A从男生中选一人，有26种方法；从女生中选一人，有24种7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A=7×6×5= 方法.由分类加法计数原理，不同的选法有26+24=50（种）.210（种）不同的送法. 2.B因为P二Q,所以分两类.当x=2时，y∈3,4,5,6,7,8， (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相 9},所以点的个数为7；当x≠2时，x=y∈3,4,5,6,7,8,9，同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343（种）不同的 所以点的个数为7.则满足题意的点共有14个。 送法. 3.C第1封信投到信箱中有4种投法； 对点训练3：(1)用一颗骰子连掷三次，投掷出的互不相同 第2封信投到信箱中也有4种投法； 的数字顺次排成一个三位数，属于求排列数问题，相当于从6个 第3封信投到信箱中也有4种投法， 元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A3=6×5×4=120 只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理（个）不同的数 可得共有43种投法。 (2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，根据分步乘法计 4.A根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有数原理，共有6×6×6=216（个）不同的数 （m+n)种.故选A. (3)两个数字相同有三种可能性，即百位和十位，十位和个 5.12由题图可知，①④有3条路径，④一⑥有2条路径，⑥位，个位和百位相同，而每种情况有6×5=30（个）三位数，故共 →⑧有2条路径.根据分步乘法计数原理，可得①→⑧的路径 :有3×6×5=90（个）三位数. 共有3×2×2=12（条）， 8 列4：由A<6A,得8-x)6×710-x §2 排列问题 化简得x2-19x+84<0,解之得7<x<12, ① 第1课时 排列与排列数、排列数公式 20 .2<x≤8， ③ 必备知识探新知 由①②及x∈N"得x=8. 知识点1一定的顺序 课堂检测固双基 知识点2所有不同排列的个数 ;1.B由排列数公式可知m=4,故选B. —331●105 第五章计数原理 §1基本计数原理 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能够结合具体实例，识别和理解分类加法 1.了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其 计数原理和分步乘法计数原理及其作用 意义 2.能够运用分类加法计数原理和分步乘法 2.1 能利用基本计数原理解决简单的实际问题 计数原理解决简单的实际问题 必备知识探新知 知识点1分类加法计数原理 1.内容：完成一件事，可以有n类办法，在第1类办法中有m1种方法，在第2类办法中有m2种 方法…在第n类办法中有mn种方法，那么，完成这件事共有N= 种方法.（也称“加法 原理”) 2.特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成类，且类与类之间两两不交；②用每 类中的每一种方法都可以完成这件事：③把各类的方法数 ,就可以得到完成这件事的所 有方法数， 名师点睛（1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②怎样才算完成这件事； ③完成这件事可以有哪些办法. (2)独立性：①完成这件事的类办法是相互独立的；②每一类办法中的方法都可以单独完成 这件事，不需要用到其他的方法 (3)分类：这是利用分类加法计数原理解题的关键，分类必须明确标准，①每一种方法都必须属 于某一类，不同类的任意两种方法是不同的；②每一类中的任意两种方法也不相同. 知识点2分步乘法计数原理 1.内容：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有m,种不同的方法，做第2步有 m2种不同的方法…做第n步有m。种不同的方法，那么，完成这件事共有N= 种 方法（也称“乘法原理”）. 2.特点：①完成一件事需要经过n个步骤， ;②完成每一步有若干方法；③把各个步 骤的方法数 ,就可以得到完成这件事的所有方法数. 名师点睛(1)定性：①明确原理中所指的“完成一件事”是什么事；②要经过几步才能完成这 件事. (2)相关性：①完成这件事需要分成若干个步骤；②只有每个步骤都完成了才算完成这件事，缺 少任一步骤，这件事都不可能完成. (3)分步：这是利用分步乘法计数原理解题的关键，①准确确定分步的标准、一般地，分步的标 准不同，分成的步骤数也会不同；②要注意各步骤之间必须连续：③各步骤之间既不能重复，也不能 遗漏。 106 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一分类加法计数原理 应用分类加法计 数原理解題时要注意 例分有东所有的两位数中.个位数宁比十位数字大的有多少一 以下三点： 根据情况安排个位、十位上的数字.先确定分类标准，再求出每 (1)明确题目中 一类的个数，最后得出结论 所指的“完成一件 事”指的是什么事， 怎样才算是完成这 件事. (2)完成这件事 [规律方法] 的n类办法中的各种 方法是互不相同的， 对点训练1 无论哪类办法中的哪 (1)某教师有相同的语文参考书3本，相同的数学参考书4本，从中取出 种方法都可以单独完 4本赠送给4位学生，每位学生1本，则不同的赠送方法共有 ( 成这件事. A.20种 B.15种 (3)确立恰当的 C.10种 D.4种 分类标准，这个“标 (2)为调查今年的北京雾霾治理情况，现从高二(1)班的男生38人和女 准”女须满足：①完成 生18人中选取1名学生做代表，参加学校组织的调查团，则选取代表的方法这件事情的任何一种 有 种 方法必须属于其中的 题型二分步乘法计数原理 一类；②不同类中的 例2少已知xe12,4,ye-2,-3,5列则y可表示不同的值的个数 方法不能相同，即不 为 ( 重复，无遗漏。 A.8 B.9 C.10 D.12 (2)一个科技小组中有4名女同学和5名男同学，从中任选1人参加 学科竞赛.不同的选派方法共有 种；若从中任选1名女同学 和1名男同学参加学科竞赛，不同的选派方法共有 种 规律方法： ·[规律方法] 利用分步乘法计 对点训练2 戴原理的解题流程 (1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人必报一项，共有多少种 分少一移魔警售事的过司 报名方法？ <纤数求出每一步中的方法教 (2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军（每项冠军只允许一人获 结论一策囊最球猪鲍方法数柯 得)，共有多少种可能的结果？ 107 题型三基本计数原理的综合应用 例3，现有商学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营 规律方法： (1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法？ 利用两个计裁原 (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ 理的解题策略 (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年 用两个计裁原理 级，则有多少种选法？ 解决具体问题时，首 先，要分清是“分 [分析]要分清是“分类”还是“分步”. 类”还是“分步”， (1)是分类；(2)是分步；(3)是先分类后分步 区分分类还是分步的 关健是看这种方法能 否完成这件事情.其 次，要清楚“分类” 或“分步”的具体标 [规律方法] 准，在“分类”时要 )对点训练3 遵循“不重不漏”的 原则，在“分步”时 将3种农作物全部种植在如图所示的5块试验田里，每块试验田种植一 要正确设计“分步” 种农作物，且相邻的试验田不能种植同一种农作物，不同的种植方法共有 的程序，注意步与步 种 之间的连续性；有些 题目中“分类”与 “分步”同时进行， ●易错警示 即“先分类后分步“ 分步标准不清致错 或“先分步后分类” 例4甲、乙.丙、了4名同学争夺数学，物理，化学3门学科知识克赛的冠 军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有 种 [错解]分四步完成这件事， 第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能 获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况.同理，第二、三、四步分别由 其他3名同学去夺这3门学科的冠军，却各自有4种不同情况. 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4=256 （种) [辨析]用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象 必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据.本题中要完成的“一件事”是“争 夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能 出现某一学科冠军被2人，3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学 科没有冠军产生的情况. [正解] 108 课堂检测 固双基 1.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同 部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架 学为数学课代表，则不同选法的种数有() 侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有m架 A.50种 B.26种 侦察机，福建有n架侦察机，则不同的分派方 C.24种 D.616种 案共有 2.集合P={x,1},Q={y,1,2,其中x,y∈{1， A.(m+n)种 B.mn种 2,3,…,9},且P二Q.把满足上述条件的一对 C.m种 D.n种 有序整数对(x,y)作为一个点的坐标，则这样5.如图是某项工程的网络图（单位：天），则从开始 的点的个数是 ( 节，点①到终止节点⑧的路径共有 条 A.9 B.14 C.15 D.21 3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 A.24种 B.4种 C.43种 D.34种 4.中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏、浙 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[26 江、上海、安徽、福建、江西的武装力量.某日东 §2排列问题 第1课时 排列与排列数、排列数公式 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 列.（重点） 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运 2.会用排列数公式进行求值和证明.（难点）》 算的素养 必备知识探新知 知识点1排列的定义 般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n,且m,n∈N,)个元素，按照 排成一列， 叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 名师点睛在定义中“一定的顺序”就是说元素的排列与位置有关，在实际问题中，究竟何时 有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面将要学习 的组合的根本区别。 知识点2排列数的定义 把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,neN,)个元素的 叫作从n个不同元 素中取出m个元素的排列数，记作A.