5.4.2 二项式系数的性质-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

128 课堂检测 固双基 1.(x+2)8的展开式中x的系数是 C.12 D.24 A.28 B.56 4.在(a+x)3的展开式中，x的系数为12，则实数 C.112 D.224 a的值为 ( 2.(2024·北京卷)在(x-√) 的展开式中，x2 A.±1 B.±2 C.-3 D.4 5 的系数为 )5.在x+分 的展开式中，x2的系数是 A.6 B.-6 C.12 D.-12 3.x-2 展开式中的常数项为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[31] A.6 B.8 4.2 二项式系数的性质 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.掌握二项式系数的性质及其应用. 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以 推理的素养 说明， 2.借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的 3.掌握二项式定理的应用. 素养，加强文化自信 必备知识探新知 知识点1杨辉三角 (a+b)”展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式： (a+b)1.…11 (a+b)2…121 (a+b)3…1331 (a+b)4.…14641 (a+b)5.…15101051 (a+b)6.…1615201561 … 上面的二项式系数表称为 知识点2二项式系数的性质 1.对称性：在(a+b)”的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即C=C, C=C-,…,C=C 2增减性与最大值：当：<”时，二项式系数是逐渐 的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐 的，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n是 奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 C+C+C2+…+C= C+C2+C+…=C+C+C+…=」 129 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一与“杨辉三角”有关的问题 规律方法： 例如图所示.在“杨辉三角”中斜线B的上方，从】 解决与杨辉三角 有关的问题的一般 开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3， 1 2←-1 思路 6,4,10,5,….记其前n项和为Sn,求S1g的值 13-3/Λ [分析]由图知，数列中的首项是C,第2项是C, <辰聚一壁樱要垫霜食隔行 1 15i91051 规律一 遭注观察找出数和数之同的 第3项是C,第4项是C,…,第17项是C,第18项是…g <表达>一将发现的规律用数学式子表达 Co,第19项是C <结论>一由数学表达式得出结论 [规律方法] )对点训练1 在“杨辉三角”中，从第2行开始，每一个数都是它“肩上”两个数的和， 规律方法： 它开头几行如图所示.则在“杨辉三角”中第 行会出现三个相邻的 1.求二项式系数 数，其比为3：4：5. 最大的项，根据二项 第0行 式系数的性质，当n 第1行 11 第2行 121 为奇数时，中间两项 第3行 1331 的二项式系裁最大： 第4行14641 第5行15101051 当n为偶数时，中间 一项的二项式系裁 题型二二项式系数的性质及应用 最大. 例2.已知()=（派+3）”展开式中各项的系数和比各项的二项式系 2.求展开式中系 数和大992. 数最大项与求二项式 (1)求展开式中二项式系数最大的项； 系裁最大项是不同 (2)求展开式中系数最大的项. 的，需根据各项系数 [分析]求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项（或中间 的正、负变化情况， 两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x,y的系数 一般采用列不等式 组，解不等式的方法 均考虑进去，包括“+”“-”号。 求得 ●[规律方法] 130 )对点训练2 求(5x-√2y)的展开式中系数绝对值最大的项. 规律方法： 1.各项的系裁和 一般地，二项展 开式f(x)中的各项系 数和为f(1),奇数项 系最和为子(1)+ f(-1)],偶数项系 装和为 -f(1)- f(-1)]. 2.赋值法 “赋值法”是求 题型三有关二项式系数和、展开式的系数和的问题 二一项展开式系裁问题 例3.设(2-5x)m=%+ax+a:t2+…+aw,求下列各式的值 的常用方法，赋值就 是对展开式中的宇母 (1)ao; 用耳体裁值代替，注 (2)a1+a2+…+a1o0; 意赋的值要有利于问 (3)a1+a3+a5+…+9; 题的解决，赋值时可 (4)(a0+a2+…+a1m)2-(a1+a3+…+ag)2. 以取一个值或几个 [分析]用赋值法求各系数的和. 值，也可以取几组 值，解决问题时要避 免漏项等情况 ·[规律方法] )对点训练3 (1+2x)”=a0+a1x+…+anx”,其中a0+a1+…+an=729,则a0-a1+ a2-3+…+（-1)·an= ●易错警示 错用二项式系数的性质致误 例 4.(1+2x)2”的展开式中，x的奇次项系数的和与x的偶次项系数的和之比为 [错解一]二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同， .奇次项系数的和与偶次项系数的和均为2.所求比为1：1. ●137 [错解二]由二项展开式中知x的奇次项系数的和为C0·2+C·23+C·2+…+C8 ·219 x的偶次项系数的和为C2+C3,·2+C0·24+…+C30·220. .所求比为(C0·2+C30·23+…+C8·29):(C+C30·22+…+C8·220). [辨析]错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值，其原因 在于没有把握住求系数和的根本方法.对于求系数和的问题，要注意用赋值法解决.奇、偶次项是针 对x的指数而言，奇、偶数项是针对第几项而言. [正解] 课堂检测 固双基 1。二项式(x-1的奇数项二顶式系数利是64,4.设5x》 的展开式中各项系数之和为M, 则n等于 ( A.5 B.6 二项式系数之和为N,若M-N=240,则展开 C.7 D.8 式中x的系数为 () 2.已知(1+2x)”的展开式中所有系数之和等于 A.-150 B.150 729,那么这个展开式中x3项的系数是() C.300 D.-300 A.56 B.160 5.若(1+x)9=a+a1x+a2x2+…+ax,则a1+ C.80 D.180 a2+a3+·+ag= 3.(1+x)2n+1的展开式中，二项式系数最大的项 A.1 B.513 所在项数是 ( C.512 D.511 A.n,n+1 B.n-1,n 夯基提能作业 C.n+1,n+2 D.n+2,n+3 请同学们认真完成练案[32]解得n=4或n=-1(舍去)】 (1)由于n=5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 因为(x-2)4的展开式的通项为T+1=(-2)Cx,令为中间两项，它们分别是 4-k=2,则k=2,所以含x2的项为(-√2)2Cx2=12x2. 1 T=C(x)3(3a2)2=90r, 课堂检测固双基 T=C(x子)2(3x2)2=270x号. 1.C由T21=Cx8-2·22=112x6,所以(x+2)°的展开式中x6 的系数是112 (2)展开式的通项公式为T+1=C3·x(5+2) 假设T+项系数最大 2.A(x-)的二项展开式通项为 rC3*≥C1·3-1, T,+1=C4x4-（-)'=C4(-1)'x4乞，(r=0,1,2,3,4) 则有 C3≥C5+1.3+1, 令4-7=3，解得r=2, 51 5-)！×3≥ 5! 6-k)!(k-1)! 故所求即为C(-1)2=6.故选A. 51 51 3D(-的展开式中通项公式=(- (5-)！6产(4-k)1(k+1)1×3, 3 =(-2)Cx2,当4-2k=0时，展开式为常数，此时k=2, k产6-k: 展开式的常数项为：I3=4C=24. 1.3 4.B(a+x)3的展开式的通项公式为T+1=Ca3x,k=0,1, 5-k产k+1 2,3.由已知得Ca3-1=12,得a=±2.故选B. 7 5.10 的照开式的通项公式 子≤k≤号，keN6=4 21 二项式x+) .展开式中系数最大的项为 Ge-3) T,=Cx(3x2)4=405x9 对点训练2：设第片+1项的系数的绝对值t+最大，则+ =C·2·x5-3,令5-3k=2, ≥t,且4+1≥+2，其中t1=C6(5)0-k.(2), .k=1,∴.x2的系数为2×C5=10. 4.2二项式系数的性质 :c=0c.c哈'=10-+% k+1 必备知识探新知 rC5r0t+55, 知识点1杨辉三角 5时0：5t 知识点21.等距离2.增大减小C吃C号和C学 3.2”2”-1 即211-)≥5， 关键能力攻重难 L5(k+1)≥(10-k)2. 例1：由杨辉三角可知，数列中的首项是C,第2项是C,第 [ks 11 3项是C;第4项是C,…,第17项是C,第18项是C10,第19 5+21 项是C k102-6 故Sg=(C+C3)+(Cg+C)+(C4+C)+…+(Ci0+ √5+2 Cio)+Ci 即3.261…≤k≤4.263… =(C+C+C4+…+Co)+(C+C+…+C2) …k∈N,.k=4. -2+10)x9+C2=274. 故t3=C1(5)(2)4=105000, ∴.所求的项为T,=105000xy4 对点训练1：62若第n行中含有三个连续项之比为3：4 例3：(1)由(2-3x)1展开式中的常数项为C9。·20,即 :5,则存在正整数k使得 a=20(或令x=0,则展开式可化为a。=20) 3C1 k！(n-k)I k 4=C(k-1(n-k+1)1n-k+T (2)令x=1,可得a6+a1+a2+…+a1m=(2-5)10,① .a1+a2+…+a10o=(2-5)1m-21o0. 5-C=k+1)↓（n-k-1)1=+ k!(n-k)！ n-k' (3)令x=-1, 由此得3n-76=-3, e35g之得收配 可得a-a1+a-a3+…+a1m=(2+5)1w,② 与①联立相减可得 例2：令x=1,则二项式各项系数的和为f1)=(1+3)“= 4”,又展开式中各项的二项式系数之和为2”，由题意知，4”-2“ a+a+…+a0=(2-月1m-(2+月m 2 =992. (4)原式=[(a+a2+…+a1m)+(a1+a3+…+a9)]· (2")2-2”-992=0, [(a0+a2+…+a1m)-(a1+a3+…+a)] ∴.(2"+31)(2"-32)=0， =(a0+a1+a2+…+a1w)(a0-a1+a2-a3+…+ag-a9 2”=-31(舍去)或2”=32， +a100) .n=5. : =(2-5)0×(2+3)1w=1. 337 对点训练3：1当x=1时，(1+2)”=a+a1+…+a.=但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有 729,即3"=3，则n=6,取x=-1,则有(-1)°=a0-a1+a2- a3+…+a6,即原式的值为1. A始=品，=132（种）排法 例4：(3”-1)：(3”+1)设x的奇次项系数的和为A,x 的偶次项系数的和为B,则令x=1,得A+B=32”,令x=-1,得 B-A=1, 倒数第7项：=C（（方 28=+184 2 C(2)-6（ 即奇次爽系敏的和为”，偶次项系致的和为 由 ,.n=9 2 (( 6 6 .所求之比(320-1)：(30+1). 课堂检测固双基 放-（房-心2号曾 1 1.C二项式(a+b)"的展开式中 奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和， 例5：(1)已知展开式中倒数第三项的系数为45，则C:2= .2”-1=64,.n=7.故选C. :45,即C2=45,得n2-n=90,解得n=-9(不合题意，舍去)或 2B由条件知(1+2)”=729，n=6,展开式的通项为1n=1 =C(2x)=2*Cx,令k=3得23Cg=160. 通项T1=C(x)0-(x)产=Ci6x9,,号(0≤k≤10， 3.C该展开式共2n+2项，中间两项为第n+1项与第n+2keN),令-10-k+=3,解得k=6. 4 项，所以第n+1项与第n+2项为二项式系数最大的项. 3 4.B令x=1,得M=4“,又N=2”,故4”-2=240.解得n=4.展开式 故含有x3的项是第七项，T,=Cox3=210x3. 10 中的通项为T1=C(5x) ）=(-1)54-*C5x42,令4 2)(江+河的展开式中共有Ⅱ项， “系数最大的项是第六项， 6=1得k=2,当k=2时，展开式中x的系数为C5'= 3 T6=C(x)5(x子)5=252高 150.故选B. 例6：C(x+2)(2x-1)5=a+a1x+a2x2+ax3+a4x+ 5.D令x=0,得a0=1,令x=1,得a0+a1+a+a3+…+ag= a5x3+a6x5中， 29=512, 取x=1,得a+a1+a2+a3+a4+a5+a6=3, 所以a1+a2+a3+…+a=512-a=512-1=511,故选D. 取x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=-243, 章末知识梳理 所以2(a+a2+a4+a6）=-240, 即a0+a2+a4+a6=-120,又a6=32,则a+a2+a4=-152. 要点专项突破 例7：328根据题意，分3种情况讨论： 例1：C从数字1,2,3,4,5中取出3个数字（允许重复），： ①取出的3张卡片中有2张红色的，需要在其他三种颜色 组成三位数，各位数字之和等于6， 的卡片中任选1张， 可分为三类情况：(1)当三个数为1,1,4时，共有C;=3 有C·C2=72(种)不同的取法； (种)排法；(2)当三个数为1,2,3时，具有A=6(种)排法；(3) ②取出的3张卡片中有1张红色的，先在4张红色卡片中 当三个数为2,2,2时，只有1种排法.由分类加法计数原理可选出1张，在其他三种颜色中任选2种，在选出的2种颜色的卡 得，共有3+6+1=10（种）不同排法，即这样的数共有10个. 片中任选1张， 例2：A设另外两人为戊、己可以分步完成，①甲、丁捆绑后 有C4·C·C·C4=192(种)取法； 排序有A种方法，②捆绑后的甲、丁与戊己排序，有A种方法，③ ③取出的3张卡片中没有红色的，需要在其他三种颜色的 将乙、丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有A种方 卡片中各抽取1张， 法，根据分步乘法计数原理，共有2×6×6=72（种）方法. 有C4·C4·C=64(种)取法。 例3：(1)第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节 故共有72+192+64=328（种）取法。 目，与6个演唱节目一起排，有A7=5040(种)方法；第二步，再 第六章概率 松绑，给4个节目排序，有A=24种方法 根据分步乘法计数原理，一共有5040×24=120960（种） §1 随机事件的条件概率 (2)第一步，将6个演唱节目排成一列（如下图中的“☐”）， 一共有A:=720(种)方法. 1.1条件概率的概念 ×□×□×□×□×□×□× 必备知识探新知 第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间 知识点条件概率A发生的条件下B发生的概率 (即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共 关键能力攻重难 有A=840(种). 例1：由古典概型的概率公式可知 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800（种）. (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A号种排法， (I)PA)=号 338