5.3 第2课时组合数的应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

120 第2课时 组合数的应用 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.学会运用组合的概念分析简单的实际问题 通过组合解决实际问题，提升逻辑推理和 2.能解决无限制条件的组合问题， 数学运算的素养 必备知识 探新知 知识点组合的有关概念 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n,且m,n∈N*)个元素为一组，叫作从n个不同元素中 取出m个元素的一个组合. 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N*)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元 素中取出m(m≤n且m,n∈N*)个元素的组合数，记作Cm. 其公式为C=-n(n--2》·n-(m-11三 n！ m(m-l)(m-2)…2·1ml(n-m)（m,neN,m≤n). 特别地C0=C=1. 名师点睛(1)组合数公式C=nn二1)：…[n-m二1)1的形式特点：①分子是m个数 m(m-1)·…·2·1 相乘，且第一个因数是n,后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1;②分母 是m的阶乘. (2)组合数公式C”= 体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数卧会 用到. (3)组合数公式C州= n! 的主要作用有：①用于计算m,n较大时的组合数；②对含有 (n-m)!m! 字母的组合数的式子进行变形和证明. 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一无限制条件的组合问题 例1)有5名男医生和3名女医生现要从中选3名医生组成地震医疗小组，要求医疗小组中 男医生和女医生都要有，那么不同的组队种数为 () A.45 B.60 C.90 D.120 (2)某人决定投资8种股票和4种债券，经纪人向他推荐了12种股票和7种债券，则此人有 种不同的投资方式. (3)现有8本杂志，其中有3本是完全相同的文学杂志，另5本是互不相同的数学杂志，从这 8本里选取3本，则不同选法的种数为 [分析](1)选出的3名医生之间无顺序之分，因此是组合问题，但需要 规律方法： 对医生的组成人员分类求解；(2)选出的8种股票无顺序之分，选出的4种债 求解无限制条件 券也无顺序之分，因此是组合问题，但需要分选股票、选债券两步求解：(3)本 的组合问题的思路 小题需要注意一个问题，从3本完全相同的文学杂志中选书并不是组合问 对于无限制条件 题，只有从5本不同的数学杂志中选书才是组合问题. [规律方法] 的组合问题，首先要 分清完成一件事情是 )对点训练1 需要分类还是分步， (1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则在年一美（或每一步） 不同的放法有 (）中注意分清对象的总 A.A种 B.C种 C.58种 D.85种 数及取出对象的个 (2)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同裁，按照组合的定 的放法有 义，正确地表示出相 A.A种 B.C种 C.58种 D.85种 应的组合裁，再利用 (3)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每个盒里放球数量不限，则 分类加法计数原理或 分步乘法计数原理 不同的放法有 () 计数. A.A种 B.C种 C.58种 D.8种 题型二有限制条件的组合问题 例2)从5名男生和4名女生中选出3名学生参加某次会议，则至少有1名 女生参加的情况有 种 (2)学校邀请了4位学生的父母共8人，并请这8位家长中的4位介 规律方法： 绍其对子女的教育情况，如果这4位家长中至多有一对夫妻，那么不 常见的限制条件 同的选择方法有 种 及解题方法 [分析](1)选出的3人中至少有1名女生，有三种情况：①2名男生和 （1)特殊元素 1名女生；②1名男生和2名女生；③3名女生.也可用间接法，用总的选法数若要选取的元素中有 减去全部是男生的选法数.(2)应分类考虑，第一类，4位作介绍的家长中没特殊元素，则要以有 有任何两个人是夫妻.第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻.在每一类无特殊元素，特殊元 中应分两步：第一步，先确定家长来自哪个家庭，第二步，在选出的家庭中确素的多少作为分类 定具体的人来介绍子女的教育情况.也可以采用间接法，用总的选法数减去4依据。 位家长有2对夫妻的选法数， ·[规律方法] (2）含有“至 多、至少“等限制语 )对点训练2 句：要分清限制语句 某校有男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名，选派5人外 中所包含的情况，可 出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ 以此作为分类依据」 (1)男运动员3名，女运动员2名； 或采用间接法求解。 (2)恰有1名女运动员； (3)分类讨论思 (3)至少有1名女运动员； 想：解题的过程中要 (4)队长中至少有1人参加； 善于利用分类讨论思 (5)既要有队长，又要有女运动员. 想，将复杂问题分类 表达，逐类求解 122 题型三几何中的组合问题 规律方法： 例3，Y面内有12个点，其中有4个点共线，此外再无任何3点共线，以这 要注意从不同类 些点为顶点，可得多少个不同的三角形？ 型的几何问题中抽象 [分析]该问题显然可看作一个组合问题，但应注意有4个点共线这一 出组合问题，寻我一 限制条件 个组合的摸型加以 处理 处理几何中的计 数问题时要抓住“对 应关系”，如不共线 三点对应一个三角 形，不共面四点可以 ·[规律方法] 确定一个四面体等. 》对点训练3 可借助于图形思考问 (1)四面体的一个顶点为A,从其他顶点和各棱的中点中取3个点，使它 题，要善于利用几何 们和点A在同一平面上，不同的取法有 的有关性质或特征解 题.避免重复或遗漏。 A.30种 B.33种 C.36种 D.39种 (2)四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不 同的取法有 () A.150种 B.147种 C.144种 D.141种 题型四组合应用中分组分配问题 角度1不同对象分配问题 例4.9本不同的书，在下列条件下各有多少种不同的分配方法？ (1)分给甲、乙、丙三人，每人3本； (2)分为三组，每组3本； (3)分为三组，一组2本，一组3本，一组4本； (4)分给甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本； (5)分为三组，一组5本，另外两组每组2本； (6)分给甲、乙、丙三人，其中甲2本，乙3本，丙4本； (7)分给甲、乙、丙三人，其中甲4本，另外两人中有一人2本，一人 3本； (8)分给甲、乙、丙三人，其中甲得5本，另外两人每人得2本； (9)分给甲、乙、丙三人，其中一人得5本，另外两人每人得2本 123 角度2相同对象分配问题 规律方法： 例5，有10个运动员名额，分给班号分别为12,3的3个班 1.分组、分配问 (1)每班至少1个名额，有多少种分配方案？ 题的求解策略 (2)每班至少2个名额，有多少种分配方案？ (1)分组问题属 (3)可以允许某些班级没有名额，有多少种分配方案？ 于“组合”问题，常 [分析](1)直接使用隔板法计数；(2)(3)先将问题进行等价转化，再 见的分组问题有 三种 使用隔板法计数 ①完全均匀分 组，每组的元素个数 均相等： [规律方法] ②部分均匀分 对点训练4 组，应注意不要重 有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋友，每个小朋友至少分得 复，若有n组均匀， 4个苹果，问有多少种不同的分配方案 ( 最后必须除以n!: A.680 B.816 ③完全非均匀分 C.1360 组，这种分组不考虑 D.1456 重复现象 ●易错警示 (2)分配问题属 计数时重复或遗漏致错 于“排列”问题. 例6，将4个不同的小球放入编号为12,34的4个盒子中，则恰好有1个 分配问题可以按 空盒子的放法有 种（用数字作答）. 要求逐个分配，也可以 [错解一]从4个小球中任取3个小球，有C种取法，从4个盒子中任 分组后再分配 取3个盒子，有C种取法， 2.相同元素分配 问题的建模思想 将3个小球放入取出的3个盒子中，有A种放法，再把余下的1个小球 （1)隔板法：如 放入3个盒子中的1个，有3种放法. 果将放有小球的盒子 所以满足题意的放法有C·C·A·3=288(种). 紧挨着成一行放置， [错解二]将3个球放入4个盒子中，有A种放法，再把余下的1个球便可看作排成一行的 放入3个盒子中的1个，有3种放法， 小球的空隙中插入了 所以满足题意的放法有A·3=72(种) 岩千隔板，相邱两块 [辨析]导致错解的原因：错解一是重复计数：错解二是遗漏计数，分析高板形成一个“盒· 如下 每一种插入隔板的方 设4个不同的小球为a,b,c,d,从4个小球中取出3个， 法对应小球放入盒子 若取出的是a,b,c,则d与a,b,c搭配，有a,d;b,d;c,d. 的一种方法，此法称 之为隔板法.隔板法 若取出的是b,c,d,则a与b,c,d搭配，有b,a;c,a;d,a.其中a,d与d,a 专门解决相同元素的 是同一种情况.这就是错解一中出错的地方. 分配问题. 取3个小球，若取出的是a,b,c,则d与a,b,c搭配有a,d;b,d;c,d3种 (2)将n个相同 情况.遗漏了a,b;b,c;a,c这3种情况.这就是错解二中出错的地方. 的元素分给m个不同 [正解] 的对象(n≥m),有 C种方法.可描迷 为n-1个空中插入m -1块板. 124 课堂检测 固双基 1.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中， C.200种 D.280种 甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修4.某新农村社区共包括个自然村，且这些村庄 方案共有 分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上， A.36种 B.48种 现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公 C.96种 D.192种 路的条数为28，则n= () 2.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个 A.6 B.8 C.9 D.10 黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同5.6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子 取法有 至少放一本书，有不同分配方法 种 A.27种B.24种C.21种D.18种 夯基提能作业 3.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去 请同学们认真完成练案[30]- 一名志愿者，则不同的分派方法共有（ A.150种 B.180种 §4二项式定理 4.1 二项式定理的推导 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理 1.能用计数原理证明二项式定理 的素养 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解 3.能解决与二项式定理有关的简单问题 题，提升数学运算的素养 必备知识探新知 知识点1 二项式定理 二项式定理 (a+b)= (nEN') 二项展开式 公式右边的式子 二项式系数 C(k=0,1,2,…,n) 二项展开式的通项公式 Tk+1= 知识点2二项展开式的特点 (1)展开式共有n+1项. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母α的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.第1类，选出的2名是男教师有C种方法： 第二步：根据经纪人的推荐在7种债券中选4种，共有C 第2类，选出的2名是女教师有C种方法。 种选法。 根据分类加法计数原理，共有C+C4=15+6=21(种)不 根据分步乘法计数原理，此人有C82·C=17325(种)不同 同选法 的投资方式 (3)90从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名女教师 (3)26在这8本杂志中，3本文学杂志是完全相同的，因 中选2名的选法有C种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法 此从中选取并不是组合问题 C×C-6x5xX3=90(种). 从这8本杂志里选取3本，可分四类完成 2×12×1 第一类：文学杂志选取0本，数学杂志选取3本，有C种不 对点训练4：(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 同的选法 取法种数是C:=8×7×6」 3x2x7=56 第二类：文学杂志选取1本，数学杂志选取2本，有C种不 1 同的选法. (2)从口袋内先取出1个黑球，再从7个白球中取出2个， 第三类：文学杂志选取2本，数学杂志选取1本，有C种不 取法种数是C资2L 同的选法 第四类：文学杂志选取3本，教学杂志选取0本，有1种不 (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中 同的选法。 取出3个球取法种数是G=名=35 根据分类加法计数原理，不同选法的种数为C+C+C:+ 1=26. 例5：2520正解一：先从10人中选出2人参加会议甲，再 从余下8人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的7人中选出1 对点训练1：(1)A由于球不相同，盒子不同，每个盒里至多 放一个球，所以取出5个盒子放不同的球，共有A种不同的放法. 人参加会议丙. 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有 (2)B由于球都相同，盒子不同，每个盒里至多放一个球， CCgC=2520(种). 所以只要选出5个不同的盒子即可.故共有C种不同的放法. 正解二：先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下8人 (3)D由于每个盒里放球数量不限，所以第1个球有8种 中选出2人分别参加会议乙、丙。 放法，第2个球有8种放法，…，第5个球也有8种放法.故不同 根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C。A?=2520 的放法共有8×8×8×8×8=8（种）. 例2：(1)74解法一（直接法），第一类，从5名男生中选出 (种) 2名男生，从4名女生中选出1名女生，有CC=40(种)选法： 课堂检测固双基 1.C①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组 :第二类，从5名男生中选出1名男生，从4名女生中选出2名女 合问题，故选C. 生，有CC=30(种)选法；第三类，从4名女生中选出3名女 2C根据题意，C=C3-121×10-20. 生，有C=4(种)选法. 3×2×1 根据分类加法计数原理知，共有74种选法. 3.C因为A=6C4， 解法二（间接法）：从所有的9名学生中选出3名，有C。种 所以m(m-1)(m-2) 选法，其中全为男生的有C种选法 =6×m(m-1)(m-2)(m-3) 所以选出3名学生，至少有1名女生的选法有C。-C=74(种). 4×3×2×1 (2)64解法一（直接法）：4位作介绍的家长可分两类. 即1=解得m=7 第一类，4位作介绍的家长中任何两个人都不是夫妻，即4 位作介绍的家长来自4个家庭，每个家庭是父亲作介绍还是母 4.n=3,4,5,6,7由题意知3≤n≤12，且neN°， 亲作介绍都有两种情况，所以其选择方法有24=16（种）； 10 10 由题意得m-3)1（3-n厅<(n-2)!2-m刃 第二类，4位作介绍的家长中仅有一对夫妻，即4位作介绍 的家长中有2位为一个家庭的父亲和母亲，其选法有C4种，另2 解得n<7.5,所以n=3,4,5,6,7. 位家长从另三个家庭中的两个家庭中选，其选法有C种，并且 5.12分两类：(1)A小区安排2人（同学甲及另一名同学）： CA3=6. 被选中的家庭是父亲作介绍还是母亲作介绍都有两种情况，其 选法有2种.根据分步乘法计数原理知，作介绍的家长的选法 (2)A小区只安排同学甲1人：CA2=6, 有C·C×22=48(种). 根据分类加法计数原理可得6+6=12（种）. 根据分类加法计数原理知，满足题意的选法有16+48=64（种）， 第2课时组合数的应用 解法二（间接法）：从8位家长中选出4位家长有C⑧种选 关键能力攻重难 法，其中这四位家长仅来自2个家庭不符合条件，其选法有C 例1：(1)A根据题意，需分两类讨论. 种，所以满足题意的选法有C:-C=64(种) 第一类：选出的3名医生中有2名男医生1名女医生，有日 对点训练2：(1)需分两步完成： CC=30(种)不同的组队方式 第一步选3名男运动员，有C。种选法： 第二类：选出的3名医生中有1名男医生2名女医生，有 第二步选2名女运动员，有C种选法. C;C?=15(种)不同的组队方式 故选法共有C。C=120(种). 根据分类加法计数原理，一共有30+15=45（种）组队方式 (2)需分两步完成： (2)17325需分两步 第一步选1名女运动员，有C种选法： 第一步：根据经纪人的推荐在12种股票中选8种，共有C, 第二步选4名男运动员，有C4种选法 种选法. 故选法共有C4C6=60(种). 334 (3)解法一（直接法）至少有1名女运动员包括以下四种序，应除以箱子的全排列数，即CC6C÷A=280. 情况： 故共有280种不同的分配方法. 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男.由分类加法计数原 (3)这是非均匀不编号分组问题， 理知选法共有C4Cg+CC。+CC+C4C6=246(种). 同(2)中思路，第一步共CCC4种放法. 解法二（间接法）不考虑条件，从10人中任选5人，有C。 由于这次不是平均分配，每个箱子里装的书都不同，因此不 种选法，其中全是男运动员的选法有C种.故至少有1名女运会出现重复的分法，因此共有1260种不同的分配方法. 动员的选法有C。-C=246(种). (4)这是非均匀编号问题.在(3)的基础上再进行全排列，所以 (4)需分三类完成； 不同的分配方法共有C号CC·A?=7560(种) 第一类“只有男队长”的选法为C种； (5)这是部分均匀不编号分组问题， 第二类“只有女队长”的选法为C种： 同(2)中思路，第一步共CCC3种放法 第三类“男、女队长都入选”的选法为C种； 这次同样不是平均分配，但恰有2个箱子装的书本数一样 故队长中至少有1人参加的选法共有2C+C=196(种). 因此是“局部平均”，也会出现重复的分法，重复的是同样装着2 (5)当有女队长时，其他人的选法任意，共有CG种选法：当本书的？个箱子的排列顺序，因此应除以这2个箱子的全排列 数，即CC2C÷A3=378. 不选女队长时，必选男队长，共有C母种选法，其中不含女运 故共有378种不同的分配方法 动员的选法有C种，故不选女队长时共有(C⑧-C)种选法. (6)这是直接分配问题 所以既有队长又有女运动员的选法共有C。+C-C:=191· 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法，再给乙选 (种). 书，有C种选法，剩下的4本给丙 例3：我们把从共线的4个点取点的多少作为分类的标准. 故不同的分配方法共有CC2=1260(种) 第1类：共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点，共有： (7)这是直接分配问题 C·C8=48个不同的三角形： 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C。种选法 第2类：共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点，共有 C4·C?=112个不同的三角形； 再把剩下的5本书分成本数分别为2,3的两份，有CC种 第3类：共线的4个点中没有点作为三角形的顶点，共有C: 分法，把分好后的两份书分给乙、丙两个人，有A号种分法 根据分步乘法计数原理，可得不同的分配方法共有 =56个不同的三角形 C4C2CA2=2520(种) 由分类加法计数原理，不同的三角形共有 48+112+56=216(个). (8)这是直接分配问题 对点训练3：(1)B如图，含顶点A的四面 由于甲的书本数已知，先给甲选书，有C种选法。 再把剩下的4本书平均分给乙、丙，有C2C2种方法， 体的3个面上，除点A外都有5个点，从中取出 3点必与点A共面，共有3C种取法：含顶点A 故不同的分配方法共有CCC=756(种). 的三条棱上都各有3个点，它们与对棱的中点 (9)这是部分均匀编号分组问题 共面，此时共有3种取法 在(5)的基础上再分配给甲、乙、丙三人， 故与顶点A共面的3个点的取法共有3C 不同的分配方法共有SCC.A=2268(种). +3=33(种) A (2)D从10个点中取出4个点的取法有C。种，除去四点 例5：(1)因为10个名额没有差别，把它们排成一排，相邻 共面的取法种数可以得到结果。 名额之间形成9个空，在9个空中选2个位置插入“隔板”，可把 ①从四面体同一个面上的6个点取4个点必定共面，有4C。 名额分成3份，对应地分给3个班级，每一种插入隔板的方法对 =60(种)； 应一种分法，共有C=36(种)分法. ②四面体的每一条棱上的3个点与对棱的中点共面，共有6 如图是其中一种分法，表示分给1班，2班，3班的名额分别 种共面情况； 是2个，5个，3个 ③从6条棱的中点中取4个点时，有3种共面情况， ooloooooooo 故4点不共面的取法有C。-(60+6+3)=141(种). 1班 2班 3班 例4：(1)这是均匀编号分组问题 (2)要求每班至少2个名额，可以先从10个名额中拿出3 第一步：从9本书中选3本给甲，有C。种选法 个，分别给各班1个名额，还剩下7个名额，此时题目转化为将7 第二步：再从其余的6本书中选3本给乙，有C种选法 个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额，按照解第(1)小问 第三步：从余下的3本书中选3本给丙，有C种选法 的方法，可得有C2=15(种)分法 根据分步乘法计数原理得，不同的分配方法共有CC。C= 如图是其中一种分法，表示分给1班，2班，3班的名额分别 1680(种) 是3+1=4（个），2+1=3（个），2+1=3（个） (2)这是均匀不编号分组问题 先将9本书平均放人1号箱，2号箱，3号箱. ooolooloo 先放1号箱，有C。种放法； 1班2班3班 再放2号箱，有C6种放法； (3)增加3个名额，使得每个班级至少有1个名额，此时问 最后把剩下的3本放入3号箱，有C种放法. 题转化为将13个名额分给3个班级且每个班级至少1个名额， 因此共有C。CC种放法， :按照解第(1)小问的方法，可得有C2=66(种)分法 由于这3个箱子现在是有序的，而装的书本数是一样的，因： 如图是其中一种分法，表示分给1班，2班，3班的名额分别 此会出现重复的分法，应用缩倍法，重复的是3个箱子的排列顺：是3-1=2（个），6-1=5（个），4-1=3（个） 335 oooooooooloooo c(=812+1os+4++ 1班 2班 3班 对点训练4：A先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹 x2 果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个“板”，共有C =680种方法，故有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋 =(81r+10s2+4r+12+D 友，每个小朋友至少分得4个苹果，有680种不同的分配方案. =81r+108x+54+2+2 ,1 例6：144由题意知，必有1个盒子内放人2个小球.从4 个小球中取出2个小球，有C种取法，此时把它看作1个小球， (2)原式=1+2C4+2C2+…+2C%=(1+2)"=3" 与另2个小球（共3个小球）分别放人4个盒子中，有A种放 例2：(1)由已知得二项展开式的通项为T 法，所以满足题意的放法有CA=144(种)或CCA=144. 课堂检测固双基 =c20(- 1.C甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门 =(-1)C626-·x3-2 有C种选法. T%=-12·x号 所以共有C·C·C=96(种)选法. .第6项的二项式系数为C哈=6， 2.C分两类：一类是2个白球有C%=15种取法，另一类是2个 第6项的系数为C·(-1)·2=-12. 黑球有C=6种取法，所以取法共有15+6=21（种）： 3.A人数分配上有1,1,3与1,2,2两种方式，若是1,1,3，则有 2)=cg(-） =（-1)C·x9-2, CCCx=60(种)，若是1,2,2，则有SCC×A龙=90 .9-2k=3. A A .k=3,即展开式中第四项含x3,其系数为(-1)3·C=-84 (种)，所以共有150种，选A. 4.B由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建公路的 对点训练2：C(W-2)5的展开式中的通项公式T+1= C5(E)5-(-2) 条数为C-nn,=28,解得n=8或n=-7(舍去).故选B. 2 =(-2c,令52-2k=1 5.10先把6本书并成一排，它们之间有5个空，在5个空中选 出3个空放上“隔板”.6本书被分成了4组，4组书的本数也 .x2的系数为-2×C;=-10. 恰好对应一种放书的方法，共有C=10(种). 例3：1)因为g=c(回(-2)=4C学。 §4二项式定理 =c-(-) 4.1二项式定理的推导 =-2Cx号，依题意得4C+2C=162, 必备知识探新知 所以2C2+C4=81, 知识点1Ca”+Ca-b+…+Ca”-b+…+C"b 所以n2=81,n=9. Cha"-b (2)设第k+1项含x2项，则 关键能力攻重难 例1：(1)原式=C9(x-1)5+C(x-1)4+C2(x-1)3+ =c(面-(2广=(-2 C(x-1)2+Cg(x-1)+C-1=[(x-1)+1]5-1=x3-1. 所以9,3张=3，k=1, 2 2)解法-：(=心(2)(+ 所以第二项为含x的项： T2=-2Cx3=-18x3 c2r(+c(2(+G2户(+ 对点训练3：(1)20 因为（是+） 的展开式的通项为 G2)'(-2是)+C2)-2)°=2-12r+10-13s 71=c(2(=3-cor=0.1,,6,令6 +405243 8x7 32x10 3)=0,可得r=3,所以常数项为3°C。=20,故答案为20. 解法=(2)=(=动(4-3= (2)①由题意，二项式(x+2√x)”的展开式的各项系数和比二 项式系数和大211，可得3”-2”=211，解得n=5. 2[C4(-3+C(4r(-3y+G4r).(-3+ ②展开式的通项为T+1=Cx-(2不) C(4x3)2(-3)3+C(4x2)(-3)4+C(4x)°·(-3)5]=32x3- =C2x5-(k=0,1,…,5), 120x2+180-135+405243 当k=0,24时5-乞是整数 8x7 32x0 故展开式中所有有理项为：T1=x,I=40x,T3=80x 对点训练1：()解法一(3左+月=6厨+ 例4：由题设，得T2=Cx-1(-2)=-2n-1,T4=Cx- c3·左+G6·(信+G(3(信+(-2于提有，-号化得-如4=0 336