5.4.1 二项式定理的推导-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

oooooooooloooo c(=812+1os+4++ 1班 2班 3班 对点训练4：A先给每个小朋友分三个苹果，剩余18个苹 x2 果利用“隔板法”，18个苹果有17个空，插入三个“板”，共有C =680种方法，故有30个完全相同的苹果，分给4个不同的小朋 =(81r+10s2+4r+12+D 友，每个小朋友至少分得4个苹果，有680种不同的分配方案. =81r+108x+54+2+2 ,1 例6：144由题意知，必有1个盒子内放人2个小球.从4 个小球中取出2个小球，有C种取法，此时把它看作1个小球， (2)原式=1+2C4+2C2+…+2C%=(1+2)"=3" 与另2个小球（共3个小球）分别放人4个盒子中，有A种放 例2：(1)由已知得二项展开式的通项为T 法，所以满足题意的放法有CA=144(种)或CCA=144. 课堂检测固双基 =c20(- 1.C甲选2门有C种选法，乙选3门有C种选法，丙选3门 =(-1)C626-·x3-2 有C种选法. T%=-12·x号 所以共有C·C·C=96(种)选法. .第6项的二项式系数为C哈=6， 2.C分两类：一类是2个白球有C%=15种取法，另一类是2个 第6项的系数为C·(-1)·2=-12. 黑球有C=6种取法，所以取法共有15+6=21（种）： 3.A人数分配上有1,1,3与1,2,2两种方式，若是1,1,3，则有 2)=cg(-） =（-1)C·x9-2, CCCx=60(种)，若是1,2,2，则有SCC×A龙=90 .9-2k=3. A A .k=3,即展开式中第四项含x3,其系数为(-1)3·C=-84 (种)，所以共有150种，选A. 4.B由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建公路的 对点训练2：C(W-2)5的展开式中的通项公式T+1= C5(E)5-(-2) 条数为C-nn,=28,解得n=8或n=-7(舍去).故选B. 2 =(-2c,令52-2k=1 5.10先把6本书并成一排，它们之间有5个空，在5个空中选 出3个空放上“隔板”.6本书被分成了4组，4组书的本数也 .x2的系数为-2×C;=-10. 恰好对应一种放书的方法，共有C=10(种). 例3：1)因为g=c(回(-2)=4C学。 §4二项式定理 =c-(-) 4.1二项式定理的推导 =-2Cx号，依题意得4C+2C=162, 必备知识探新知 所以2C2+C4=81, 知识点1Ca”+Ca-b+…+Ca”-b+…+C"b 所以n2=81,n=9. Cha"-b (2)设第k+1项含x2项，则 关键能力攻重难 例1：(1)原式=C9(x-1)5+C(x-1)4+C2(x-1)3+ =c(面-(2广=(-2 C(x-1)2+Cg(x-1)+C-1=[(x-1)+1]5-1=x3-1. 所以9,3张=3，k=1, 2 2)解法-：(=心(2)(+ 所以第二项为含x的项： T2=-2Cx3=-18x3 c2r(+c(2(+G2户(+ 对点训练3：(1)20 因为（是+） 的展开式的通项为 G2)'(-2是)+C2)-2)°=2-12r+10-13s 71=c(2(=3-cor=0.1,,6,令6 +405243 8x7 32x10 3)=0,可得r=3,所以常数项为3°C。=20,故答案为20. 解法=(2)=(=动(4-3= (2)①由题意，二项式(x+2√x)”的展开式的各项系数和比二 项式系数和大211，可得3”-2”=211，解得n=5. 2[C4(-3+C(4r(-3y+G4r).(-3+ ②展开式的通项为T+1=Cx-(2不) C(4x3)2(-3)3+C(4x2)(-3)4+C(4x)°·(-3)5]=32x3- =C2x5-(k=0,1,…,5), 120x2+180-135+405243 当k=0,24时5-乞是整数 8x7 32x0 故展开式中所有有理项为：T1=x,I=40x,T3=80x 对点训练1：()解法一(3左+月=6厨+ 例4：由题设，得T2=Cx-1(-2)=-2n-1,T4=Cx- c3·左+G6·(信+G(3(信+(-2于提有，-号化得-如4=0 336 解得n=4或n=-1(舍去)】 (1)由于n=5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项 因为(x-2)4的展开式的通项为T+1=(-2)Cx,令为中间两项，它们分别是 4-k=2,则k=2,所以含x2的项为(-√2)2Cx2=12x2. 1 T=C(x)3(3a2)2=90r, 课堂检测固双基 T=C(x子)2(3x2)2=270x号. 1.C由T21=Cx8-2·22=112x6,所以(x+2)°的展开式中x6 的系数是112 (2)展开式的通项公式为T+1=C3·x(5+2) 假设T+项系数最大 2.A(x-)的二项展开式通项为 rC3*≥C1·3-1, T,+1=C4x4-（-)'=C4(-1)'x4乞，(r=0,1,2,3,4) 则有 C3≥C5+1.3+1, 令4-7=3，解得r=2, 51 5-)！×3≥ 5! 6-k)!(k-1)! 故所求即为C(-1)2=6.故选A. 51 51 3D(-的展开式中通项公式=(- (5-)！6产(4-k)1(k+1)1×3, 3 =(-2)Cx2,当4-2k=0时，展开式为常数，此时k=2, k产6-k: 展开式的常数项为：I3=4C=24. 1.3 4.B(a+x)3的展开式的通项公式为T+1=Ca3x,k=0,1, 5-k产k+1 2,3.由已知得Ca3-1=12,得a=±2.故选B. 7 5.10 的照开式的通项公式 子≤k≤号，keN6=4 21 二项式x+) .展开式中系数最大的项为 Ge-3) T,=Cx(3x2)4=405x9 对点训练2：设第片+1项的系数的绝对值t+最大，则+ =C·2·x5-3,令5-3k=2, ≥t,且4+1≥+2，其中t1=C6(5)0-k.(2), .k=1,∴.x2的系数为2×C5=10. 4.2二项式系数的性质 :c=0c.c哈'=10-+% k+1 必备知识探新知 rC5r0t+55, 知识点1杨辉三角 5时0：5t 知识点21.等距离2.增大减小C吃C号和C学 3.2”2”-1 即211-)≥5， 关键能力攻重难 L5(k+1)≥(10-k)2. 例1：由杨辉三角可知，数列中的首项是C,第2项是C,第 [ks 11 3项是C;第4项是C,…,第17项是C,第18项是C10,第19 5+21 项是C k102-6 故Sg=(C+C3)+(Cg+C)+(C4+C)+…+(Ci0+ √5+2 Cio)+Ci 即3.261…≤k≤4.263… =(C+C+C4+…+Co)+(C+C+…+C2) …k∈N,.k=4. -2+10)x9+C2=274. 故t3=C1(5)(2)4=105000, ∴.所求的项为T,=105000xy4 对点训练1：62若第n行中含有三个连续项之比为3：4 例3：(1)由(2-3x)1展开式中的常数项为C9。·20,即 :5,则存在正整数k使得 a=20(或令x=0,则展开式可化为a。=20) 3C1 k！(n-k)I k 4=C(k-1(n-k+1)1n-k+T (2)令x=1,可得a6+a1+a2+…+a1m=(2-5)10,① .a1+a2+…+a10o=(2-5)1m-21o0. 5-C=k+1)↓（n-k-1)1=+ k!(n-k)！ n-k' (3)令x=-1, 由此得3n-76=-3, e35g之得收配 可得a-a1+a-a3+…+a1m=(2+5)1w,② 与①联立相减可得 例2：令x=1,则二项式各项系数的和为f1)=(1+3)“= 4”,又展开式中各项的二项式系数之和为2”，由题意知，4”-2“ a+a+…+a0=(2-月1m-(2+月m 2 =992. (4)原式=[(a+a2+…+a1m)+(a1+a3+…+a9)]· (2")2-2”-992=0, [(a0+a2+…+a1m)-(a1+a3+…+a)] ∴.(2"+31)(2"-32)=0， =(a0+a1+a2+…+a1w)(a0-a1+a2-a3+…+ag-a9 2”=-31(舍去)或2”=32， +a100) .n=5. : =(2-5)0×(2+3)1w=1. 337124 课堂检测 固双基 1.甲、乙、丙三位同学选修课程，从4门课程中， C.200种 D.280种 甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修4.某新农村社区共包括个自然村，且这些村庄 方案共有 分布零散，没有任何三个村庄在一条直线上， A.36种 B.48种 现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公 C.96种 D.192种 路的条数为28，则n= () 2.一个口袋中装有大小相同的6个白球和4个 A.6 B.8 C.9 D.10 黑球，从中取2个球，则这两个球同色的不同5.6本相同的书放到4个不同的盒子中，每个盒子 取法有 至少放一本书，有不同分配方法 种 A.27种B.24种C.21种D.18种 夯基提能作业 3.5名志愿者分到3所学校支教，每个学校至少去 请同学们认真完成练案[30]- 一名志愿者，则不同的分派方法共有（ A.150种 B.180种 §4二项式定理 4.1 二项式定理的推导 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.通过二项式定理的学习，培养逻辑推理 1.能用计数原理证明二项式定理 的素养 2.掌握二项式定理及二项展开式的通项公式 2.借助二项式定理及展开式的通项公式解 3.能解决与二项式定理有关的简单问题 题，提升数学运算的素养 必备知识探新知 知识点1 二项式定理 二项式定理 (a+b)= (nEN') 二项展开式 公式右边的式子 二项式系数 C(k=0,1,2,…,n) 二项展开式的通项公式 Tk+1= 知识点2二项展开式的特点 (1)展开式共有n+1项. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. (3)字母α的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n. 125 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一二项式定理的正确运用 1.展开二项式可 例1.D化简：(x-1)#5(x-1)+10(x-1)3+10(x-1)+5x-1): 以按照二项式定理进 行.展开时注意二项 2)写出(2x 2x2 的展开式并化简. 式定理的结构特征， 准确理解二项式的特 把x-1看 逆用二项 [分析](1) 点是展开二项式的前 作一个整体 式定理 提条件. (2)直接利用二项式定理展开即可. 2.对较复杂的二 项式，有时先化简再 展开会更简便 3.对于化简多个 式子的和时，可以考 虑二项式定理的逆 用.对于这类问题的 求解，要熟悉公式的 特点、项裁、各项幂 指裁的规律以及各项 的系裁 [规律方法] )对点训练1 1)求36+园 的展开式： (2)化简：1+2C1+4C2+…+2"C” 题型二二项式系数与项的系数问题 例2.(1)求二项式2G-) 的展开式中第6项的二项式系数和第6项 的系数； (2)求x-) 的展开式中x3的系数 1269 [分析]利用二项式定理求展开式中的某一项，可以通过二项展开式的规律方法： 通项公式进行求解. 1.二项式系裁都 是组合数C(k∈{0， 1,2,…,n}),它与二 项展开式中某一项的 系裁不一定相等，要 注意区分“二项式系 裁”与二项式展开式 中“项的系数”这两 个概念. 2.第k+1项的系 数是此项字母前的裁 连同符号，而此项的 二项式系裁为C.例 如，在(1+2x)7的展 开式中，第四项是T4 P[规律方法] =C17-3(2x)3,其二 对点训练2 项式系数是C=35, 在（√-2）3的展开式中，x2的系数为 而第四项的系数是 C323=280. A.-5 B.5 C.-10 D.10 题型三展开式中的特定项 例3.已知，G-)展r式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： 规律方法： 1.求二项展开式 (1)n的值； 的特定项的常见题型 (1)求第k项，T (2)展开式中含x的项. =C-la”-k+lb-1 (2)求含x的项. (3)求常数项， (4)求有理项， 2.求二项展开式 的特定项的常用方法 (1)对于常数 项，隐含条件是宇母 的指数为0（即0次 项) (2)对于有理 项，一般是光写出通 项公式，其所有的宇 母的指戴恰好都是整 裁的项.解这类问题 必须合并通项公式中 同一宇母的指数，根 据具体要求，令其属 于整数，再根据数的 整除性来求解 (3)对于二项展开 式中的整式项，其通项 公式中同一字母的指裁 应是非负整数，求解方 式与求有理项一致 >[规律方法] ●127 )对点训练3 1)224·天淋爸)利2+到 的展开式中，常数项为 (2)已知(x+2√x)”的展开式的各项系数和比二项式系数和大211. ①求n的值； ②求展开式中所有有理项， ●易错警示 混淆项的系数与二项式系数 例4设(x-2)”(n∈N)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1：2，求含的项 [错解](x-√2)”的展开式中第二项与第四项的系数分别为C,C,则C：C=1：2,化简得 n2-3n-10=0.又neN“,所以n=5.因为(x-2)5展开式的通项为Tk+1=(-2)Cx-,令5-k=2,则 k=3,所以含x2的项为(-√2)3Cx2=-20√2x2. [辨析]①错解将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一 谈，从而导致错误 ②(a+b)"的展开式中的第k+1项的二项式系数是C(k=0,1,2,…,n),仅与n,k有关；第k +1项的系数不是二项式系数C,但有时这个系数与二项式系数相等.注意二项式系数C一定为 正，而对应项的系数可能为负 [正解] 128 课堂检测 固双基 1.(x+2)8的展开式中x的系数是 C.12 D.24 A.28 B.56 4.在(a+x)3的展开式中，x的系数为12，则实数 C.112 D.224 a的值为 ( 2.(2024·北京卷)在(x-√) 的展开式中，x2 A.±1 B.±2 C.-3 D.4 5 的系数为 )5.在x+分 的展开式中，x2的系数是 A.6 B.-6 C.12 D.-12 3.x-2 展开式中的常数项为 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[31] A.6 B.8 4.2 二项式系数的性质 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.掌握二项式系数的性质及其应用. 1.通过学习二项式系数的性质，培养逻辑 2.了解杨辉三角，并结合二项式系数的性质加以 推理的素养 说明， 2.借助杨辉三角的学习，提升数学抽象的 3.掌握二项式定理的应用. 素养，加强文化自信 必备知识探新知 知识点1杨辉三角 (a+b)”展开式的二项式系数在当n取正整数时可以表示成如下形式： (a+b)1.…11 (a+b)2…121 (a+b)3…1331 (a+b)4.…14641 (a+b)5.…15101051 (a+b)6.…1615201561 … 上面的二项式系数表称为 知识点2二项式系数的性质 1.对称性：在(a+b)”的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等，即C=C, C=C-,…,C=C 2增减性与最大值：当：<”时，二项式系数是逐渐 的，由对称性可知它的后半部分是逐 渐 的，且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值；当n是 奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 C+C+C2+…+C= C+C2+C+…=C+C+C+…=」