5.2 第1课时排列与排列数、排列数公式-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

108 课堂检测 固双基 1.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同 部战区下达命令，要求从江西或福建派出一架 学为数学课代表，则不同选法的种数有() 侦察机对台海空域进行侦查，已知江西有m架 A.50种 B.26种 侦察机，福建有n架侦察机，则不同的分派方 C.24种 D.616种 案共有 2.集合P={x,1},Q={y,1,2,其中x,y∈{1， A.(m+n)种 B.mn种 2,3,…,9},且P二Q.把满足上述条件的一对 C.m种 D.n种 有序整数对(x,y)作为一个点的坐标，则这样5.如图是某项工程的网络图（单位：天），则从开始 的点的个数是 ( 节，点①到终止节点⑧的路径共有 条 A.9 B.14 C.15 D.21 3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有 A.24种 B.4种 C.43种 D.34种 4.中国人民解放军东部战区领导和指挥江苏、浙 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[26 江、上海、安徽、福建、江西的武装力量.某日东 §2排列问题 第1课时 排列与排列数、排列数公式 素养目标 定方向 课标要求 核心素养 1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排 1.通过学习排列的概念，培养数学抽象的素养 列.（重点） 2.借助排列数公式进行计算，培养数学运 2.会用排列数公式进行求值和证明.（难点）》 算的素养 必备知识探新知 知识点1排列的定义 般地，从n个不同的元素中取出m(m≤n,且m,n∈N,)个元素，按照 排成一列， 叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 名师点睛在定义中“一定的顺序”就是说元素的排列与位置有关，在实际问题中，究竟何时 有关，何时无关，要由具体问题的性质和条件来决定，这一点要特别注意，这也是与后面将要学习 的组合的根本区别。 知识点2排列数的定义 把从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,neN,)个元素的 叫作从n个不同元 素中取出m个元素的排列数，记作A. 109 知识点3排列数公式 从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N.)个元素的排列共有n(n-1)(n-2)·…·[n-(m- 1)]种，所以A”= 上述这个公式叫作排列数公式 当m=n时A”=n(n-1)(n-2)·…·2·1,记作n!,读作n的阶乘，规定：A9=1,即0！=1. 关键能力攻重难 ●题型探究 题型一排列的概念 规律方法： 例1下列问题是排列问题吗？说明你的理由。 1.解决本题的关 (1)从1,2,3三个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可 健有两点：一是“取出 元素不重复”，二是 能？ “与顺序有关”. (2)从1,2,3,5四个数字中，任选两个做除法，其结果有多少种不同的 2.判断一个具体 可能？ 问题是不是排列问 (3)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个 题，就看取出元素后 座位安排3个客人，又有多少种方法？ 排列是有序的还是无 (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员； 序的，而检验它是否 (5)某班40名学生在假期相互通信. 有序的依据就是变换 [分析]判断是不是排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺 元素的“位置”（这里 序有关.若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题. 的“位置”应视具体 问题的性质和条件来 决定)，看其结果是 否有变化，有变化就 是排列问题，无变化 就不是排列问题 [规律方法] 对点训练1 判断下列问题是不是排列问题， (1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐 标，可得多少个不同的点的坐标？ (2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取 方法？ (3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出 来，不同的出入方式共有多少种？ 110 题型二 排列数的计算公式 规律方法： 例2（0计算和 排列数的计算 (2)用排列数表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N且n<55). 方法 (3)化简n(n+1)(n+2)(n+3)…(n+m). (1)排列数的计 [分析](1)直接用排列数公式计算；(2)(3)用排列数公式的定义解答 算主要是利用排列数 的乘积公式进行，应 即可 用时注意：连续正整裁 的积可以写成某个排 列裁，其中最大的是 排列对象的总个数， 而正整数（因式）的个 数是选取对象的个数， 这是排列数公式的 ·[规律方法] 逆用. (2)应用排列裁 )对点训练2 公式的阶乘形式时， (1)已知A=11×10×9×8×…×5,则m+n为 一般写出它们的式子 A9-A8 (2)计算：怎 后，再提取公因式， 然后计算，这样往往 题型三排列的简单应用 会减少运算量 例3.有7本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多 少种不同的送法？ (2)有7种不同的书（每种不少于3本），要买3本送给3名同学，每人 各1本，共有多少种不同的送法？ [分析](1)从7本不同的书中选出3本送给3名同学，每人得到的书 规律方法： 不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从7种不同的书中任选1 1.没有限制的排 列问题，即对所排列 本，每个人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算. 的元素或所排列的位 置没有特别的限制， 这一类问题相对简 单，分清元素和位置 即可. 2.典型的排列问 ·[规律方法] 题，用排列数计算其 排列方法数；排列指 》对点训练3 从n个不同的元素中 用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺次排成一个三位数，此时： 取出m(m≤n)个元 (1)各位数字互不相同的三位数有多少个？ 素，按照一定的顺序 (2)可以排出多少个不同的数？ 排成一列，由排列的 (3)恰好有两个相同数字的三位数共有多少个？ 概念可知排列问题中 元素不能重复选取 111 ●易错警示 忽视排列数公式的隐含条件致误 例 .解不等式A<6A2 错解] (8-)1<6x8! 由排列数公式得8！ 5×(10-刀，化简得r-19x+84<0,解之得7<<12 xeN*,.x=8,9,10,11 [辨析] 在排列数公式Am中，隐含条件m≤n,m∈N*,n∈N*,错解没有考虑到x-2>0,8≥x,导 致错误 [正解] 课堂检测 固双基 1.A?=9×10×11×12,则m等于 ( 种运算可以看作排列问题 A.3B.4 C.5 D.6 A.1 B.2 C.3 D.4 2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站4.不等式A?-1-n<7的解集为 法为 A.{nl-1<n<5}B.{1,2,3,4 A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲 C.{3,4} D.4 B.甲乙丙，乙丙甲 5.计算 A+A C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙 A9-A图 D.甲乙，甲丙，乙丙 3.从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、 夯基提能作亚业 除运算，分别计算它们的结果，在这些问题中，有 请同学们认真完成练案[27] 第2课时 排列数的应用 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常 1.通过排列知识解决实际问题，提升逻辑 推理的素养 用解题方法， 2.能应用排列知识解决简单的实际问题 2.借助排列数公式计算，提升数学运算的 素养。 必备知识 探新知 知识点1解排列应用题的基本思想 实际问题 化归 排列问题 求数学模型的解 得实际问题的解 (建模) 求排列数 实际问题 知识点2 求解排列问题的主要方法 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置选法 知识点3n(n-1)(n-2)·…·[n-(m-1)] (2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责关键能力攻重难 人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.由分步乘法 例1：(1)不是：(2)是；(3)第一问不是，第二问是；(4)是； 计数原理，可知共有50×42×30=63000（种）选法 :(5)是 (3)①高一和高二各选1人作为中心发言人，有50×42= 理由是：(1)(2)中由于加法运算满足交换律，所以选出的两 2100(种)选法： :个元素做加法时，与两元素的顺序无关，但做除法时，两元素谁作 ②高二和高三各选1人作为中心发言人，有42×30=1260除数，谁作被除数不一样，此时与顺序有关，故做加法不是排列问 (种)选法； 题，做除法是排列问题.(3)中选座位与顺序无关，“人座”问题，与 ③高一和高三各选1人作为中心发言人，有50×30=1500顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题(4)中每个人 (种)选法.故共有2100+1260+1500=4860（种）选法. 的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问 对点训练3：42分别用a,b,c代表3种农作物，将试验田题，属于排列问题.(5)A给B写信与B给A写信是不同的，所以 从左到右依次编号为①②③④⑤. 存在着顺序问题，属于排列问题 先种①号田，有3种种植方法，不妨设种植a. 对点训练1：(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数 再种②号田，可种植b或c,有2种种植方法，不妨设种植6.作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列 若③号田种植c,则④⑤号田分别有2种种植方法，则不同问题， 的种植方法共有2×2=4（种）. (2)因为从10名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不 若③号田种植a,则④号田可种植上b或c 用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题， (1)若④号田种植c,则⑤号田有2种种植方法； (3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列 (2)若④号田种植b,则⑤号田只能种植c,有1种种植！问题. 方法. 综上，(1)(3)是排列问题，(2)不是排列问题 综上所述，不同的种植方法共有3×2×(4+2+1)=42（种） 例2：(1)A15=15×14×13=2730, 例4：64由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科 A%=6×5×4×3×2×1=720. 各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都 (2)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n,且 能获得冠军，故完成这件事分三步 共有(69-n)-(55-n)+1=15(个)数， 第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获 所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=A5-n 得，有4种不同的获得情况： (3)由排列数公式可知n(n+1)(n+2)(n+3)·.·(n+ 第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的m)=A 同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也 对点训练2：(1)18因为Am=11×10×9×8×…×5,所以 是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况； n=11,m=(11-5)+1=7,m+n=18. 第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得 (2)36A9=7×6×5×4×3×2,A5=6×5×4×3×2,A= 情况 5×4×3×2×1, 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 =64(种) 所以A9-A。 =7×6-6=36. A 课堂检测固双基 例3：(1)从7本不同的书中选3本送给3名同学，相当于从 1.A从男生中选一人，有26种方法；从女生中选一人，有24种7个元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A=7×6×5= 方法.由分类加法计数原理，不同的选法有26+24=50（种）.210（种）不同的送法. 2.B因为P二Q,所以分两类.当x=2时，y∈3,4,5,6,7,8， (2)从7种不同的书中买3本书，这3本书并不要求都不相 9},所以点的个数为7；当x≠2时，x=y∈3,4,5,6,7,8,9，同，根据分步乘法计数原理，共有7×7×7=343（种）不同的 所以点的个数为7.则满足题意的点共有14个。 送法. 3.C第1封信投到信箱中有4种投法； 对点训练3：(1)用一颗骰子连掷三次，投掷出的互不相同 第2封信投到信箱中也有4种投法； 的数字顺次排成一个三位数，属于求排列数问题，相当于从6个 第3封信投到信箱中也有4种投法， 元素中任取3个元素的一个排列，所以共有A3=6×5×4=120 只要把这3封信投完，就做完了这件事，由分步乘法计数原理（个）不同的数 可得共有43种投法。 (2)每掷一次，出现的数字均有6种可能性，根据分步乘法计 4.A根据题意，由分类加法计数原理，不同的分派方案共有数原理，共有6×6×6=216（个）不同的数 （m+n)种.故选A. (3)两个数字相同有三种可能性，即百位和十位，十位和个 5.12由题图可知，①④有3条路径，④一⑥有2条路径，⑥位，个位和百位相同，而每种情况有6×5=30（个）三位数，故共 →⑧有2条路径.根据分步乘法计数原理，可得①→⑧的路径 :有3×6×5=90（个）三位数. 共有3×2×2=12（条）， 8 列4：由A<6A,得8-x)6×710-x §2 排列问题 化简得x2-19x+84<0,解之得7<x<12, ① 第1课时 排列与排列数、排列数公式 20 .2<x≤8， ③ 必备知识探新知 由①②及x∈N"得x=8. 知识点1一定的顺序 课堂检测固双基 知识点2所有不同排列的个数 ;1.B由排列数公式可知m=4,故选B. —331 2.C这是一个排列问题，与顺序有关，任意两人对应的是两种其余5人全排，故N=A好·A;=240(种) 站法，故C正确. (3)解法一（特殊元素优先法）：按甲是否在最右端分两类： 3.B因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘： 第一类：甲在最右端时有N1=A(种)， 法时，结果与两个数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除 第二类：甲不在最右端时，甲有A个位置可选，而乙也有 法与两个数字的位置有关，故是排列问题 A;个位置，而其余全排A, 4C由A-1-n<7,得(n-1)(n-2)-n<7,即-1<n<5,又 有N2=A;A;A(种)， 因为n∈N*且n-1≥2，所以n=3,4.故选C. 故N=N1+N2=A+A5A5A;=3720(种). A7+A3A号+A71 4 解法一：9-24A-8A4 解法二（间接法）： 无限制条件的排列数共有A7,而甲在左端或乙在右端的排法 7！7 A号+A号_21+313×71+7！4×71 4×71 都有A%,且甲在左端且乙在右端的排法有A?, 解法二： A8-A =8181=3x81-81 =2×81=2×8x7 故N=A7-2A+A?=3720(种). 2131 解法三（特殊位置优先法）：按最左端优先安排分步。 对于左端除甲外有A6种排法，余下六个位置全排有A:,但 4 减去乙在最右端的排法A;A种， 第2课时排列数的应用 故N=A5A8-AA=3720(种) 对点训练3：(1)解法一（把元素作为研究对象）：第一类：不 关键能力攻重难 含甲，此时只需从甲以外的其他6个元素中取出5个放在5个 例1：(1)第一步排个位上的数，因为组成的四位数必须是位置上，有A种排法 偶数，个位数字只能是2,4,6之一，所以有A种排法；第二步排 第二类：含有甲，甲不在首位，先从4个位置中选出1个放 千、百、十这三个数位上的数字，有A种排法.根据分步乘法计甲，再从甲以外的6个元素中选4个排在没有甲的位置上，有A。 数原理，符合条件的四位数的个数是A:A=3×6×5×4=360. 种排法.根据分步乘法计数原理，含有甲时共有4×A。种排法. 故这样的四位数有360个 由分类加法计数原理，共有A。+4×A4=2160(种)排法. 2)因为组成的四位数要大于6500，所以千位上的数字只 解法二（把位置作为研究对象）：第一步：从甲以外的6个元 能取7或6.排法可以分两类.第一类：千位上排7，有A种不同 素中选1个排在首位，有A种排法： 的排法；第二类：若千位上排6，则百位上可排7或5，十位和个 第二步：从占据首位以外的6个元素中选4个排在除首位 位可以从余下的数字中取2个来排，共有A2A种不同的排法. 以外的其他4个位置上，有A。种排法 根据分类加法计数原理，符合条件的四位数的个数是A+AA号 由分步乘法计数原理，可得共有A·A。=2160(种)排法. =160 解法三（间接法）：即先不考虑限制条件，从7人中选出5人进 故这样的四位数有160个. 行排列，然后把不满足条件的排列去掉 对点训练1：15由已知得千位为3的“北斗数”的后三位 不考虑甲在首位的要求，总的可能情况有A种，甲在首位 之和为4，有以下四种可能：0,0,4；0,1,3：0,2,2；1,1,2；各种组 的情况有A。种，所以符合要求的排法有A)-A4=2160(种). 合对应的排列个数分别为3,6,3,3，合计15个. 例2：(1)（相邻问题捆绑法）男生必须站在一起，即把3名 (2)(把位置作为研究对象，先满足特殊位置)第一步：从甲 男生进行全排列，有A:种排法，女生必须站在一起，即把4名女 以外的6个元素中选2个排在首末两个位置上，有A后种方法； :第二步：从未排上的5个元素中选3个排在中间3个位置上，有 生进行全排列，有A4种排法，全体男生、女生各看作一个对象全 :A种排法； 排列有A好种排法，由分步乘法计数原理知共有AAA=288种 根据分步乘法计数原理，有A?·A?=1800(种)排法 排法. (2)(捆绑法)把所有男生看作一个对象，与4名女生组成5 (3)(把位置作为研究对象)第一步：从甲、乙以外的5个元素 中选2个排在首末两个位置，有A种排法； 个对象全排列，故有AA=720种不同的排法 第二步：从未排上的5个元素中选出3个排在中间3个位 (3)(不相邻问题插空法)先排女生有A种排法，把3名男 置上，有A种排法 生安排在4名女生隔成的5个空中，有A种排法，故有AA= 根据分步乘法计数原理，共有A·A=1200(种)排法 1440种不同的排法. (4)先排男生有A种排法.让女生插空，有AA=144种 (4)(间接法)总的可能情况有A;种，减去甲在首位的A 不同的排法 种，再减去乙在末位的A。种.注意到甲在首位同时乙在末位的情况 对点训练2：(1)C因甲、乙两人要排在一起，故将甲，乙两被减去了两次，所以还需补回一次A种，所以共有A-2A+A= 人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A种排法，但甲、1860（种）排法。 乙两人之间有A种排法，由分步乘法计数原理可知： 例4：(1)2101,3,5,7的排列顺序有A=24(种)，故1,3， 共有A:·A2=240种不同的排法，选C 5,7的顺序一定的排法数只占总排法数的 4 (2)先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A。种，这6个歌： 唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A种排 枚符合条件的七位数有2A=210(个)。 法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法 (2)40解法一（整体法）：5个字母无限制条件的排列有 为A号·A6=604800(种). A种，由于字母A,B,C的排列顺序有A种，因此，满足条件的 例3：(1)（特殊元素优先法）先考虑甲有A种方案，再考虑其 余六人全排，故N=AA6=2160(种). 排列有 ×2=40（个）。 (2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A好种方案，再安排 解法二（插空法）：若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”, 332