3.4.3 第2课时两个平面所成的角、空间中的距离问题-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

5.设0i=a,0i=b,0C=c,则a…b=b·c=ca=2,la= 取x=5,得平面SAD的一个法向量为m=(5,1,0) 又A正=(2,0，-1)，设平面SB的法向量为n=(a,b,c), 1b1=lcl=1, 成.㎡2a+b)(-) 则·=0即 2a-c=0, 1n·=0,1-a+56-2c=0. =20c+bc-ab-bP） 令a=5,则n=(5,5,25), cosm,n=m:= 8 s10 日+日3)-分 1m1nl2√ox25, .cos(,B)=- OE.B -2 放平面S4D与平面MB所成角的余弦值是四 2 1应1B响3xB~3 例2：以B为坐标原点，建立如图所 2×2 示的空间直角坐标系，则A1(4,0, 0E与F所成角的余弦为号 1),C1(0,3,1), 所以直线AC,的方向向量AC (-4,3,0),BC1=(0,3,1), 第2课时两个平面所成的角、空间中的距离问题 所以点B到直线AC的距离 必备知识探新知 知识点1相等互补 知识点21P.n。l线段Pp的长度1P·n。 配-导 关键能力攻重难 对点训练2：以D点为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x 例：(D证明：因为四边形AC,4和四边形BDD,B均为轴，y轴，：轴建立空间直角坐标系如图所示， 矩形，所以CC1⊥AC,DD1⊥BD, 则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1, 又CC1∥DD1∥00，所以O01⊥AC,001⊥BD, 0,2),则E7=(1,-2,1),F=(1,0, 因为AC∩BD=O,所以O1O⊥底面ABCD. -2). (2)因为四棱柱的所有棱长都相等， 1E1=P+(-2)2+1下=6， 所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD,又 A 1FA1=2+02+(-2)产=5， O10⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两B, F.EF=1×1+0×(-2)+ 垂直.如图，以0为原点，0B,0C,001所 (-2)×1=-1, 在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐 D 标系 在成上的投影为：本产1 、6 B 设棱长为2，因为∠CB4=60°， 所以点A到EF的距离 所以0B=5,0C=1,所以0(0,0,0)，B1(3,0,2),C1(0, 1,2),平面0BD的一个法向量为n=(0,1,0), d√-（高 6 设平面0C,B,的法向量为m=(x,y,2), 例3：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0), 则0B=(5,0,2),0C=(0,1,2), P(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0), 则由m10B,m10C,得3x+2z=0,y+2z=0 10,3,10吵 D成 取z=-5,则x=2,y=25,所以m=(2,25,-√5)， 所以am品浩得 (1,20亦（分1,0㎡=(0,0. 19 1). 由图形可知二面角C,-OB,-D的大小为锐角，所以二面 设DHL平面PEF,垂足为H,则 角G0A-D的余孩位 DH =x DE +y DF+z DP 对点训练1：过点D作DC的垂线交 =(+,7+y小，x+y+=） SC于E,以D为原点，以DC,DE,DA所 在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐 成=(，-(31，- 标系 所i.成=x+之+分+y）- 4x+y-2=0 ∠SDC=120°，.∠SDE=30°，又 D SD=2,.点S到y轴的距离为1，到x轴 同理，Di.p币=x+42=0, 5 的距离为5，则有D(0,0,0),S(-1,5,金C 4 0),A(0,0,2),C(2,0,0),B(2,0,1),设平面SAD的法向量为m 又x+y+z=1,所以解得x=y=172=7 =(x,y,z）, A0=(0,0,-2),A=(-1,5,-2), 所以=房(22,3)，所以13 17 2=0, l-x+5y-2z=0, 风此，点D到平面PEF的距高为护 (2)连接AC,则AC∥EF,直线AC到平面PEF的距离即为 -326 点A到平面PEF的距离， A-BD-C的大小可能为了或m-号-故选BC 平面PEF的-个法向量为n=(22,3),应-(0,70， 4.4 由已知得AP=(2,6,-2),则点P到直线1的距离为d= 所求距离为花·。1叵 5 17-17 IAp.nl1 Inl 5 对点训练3：设点A到平面A1BD的距离为h,则 5.(1)取CB,中点P,连接NP,MP, -4=了×ax×axa=石d, 由v是BC的中点，故P/CC,且P=cC, 1 2×(2a)2=, 由M是DD的中点，故D,M=号DD,=2CC,且D,M yV-Am=Vg-D心h=3a, //CC 则有D,M∥NP、DM=NP, 点4到平面4，m的距离为 故四边形D,MPW是平行四边形，故DN∥MP, 又MPC平面CB,M,D,N4平面CB,M, 例4：建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=2a(a>0), 故D,N∥平面CB,M: 则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1),A1(2a,0,2),E(a,a,1), (2)以A为原点建立如图所示空间直角坐标系， d号号) 有A(0,0,0)、B(2,0,0)、B1(2,0,2) M(0,1,1)、C(1,1,0)、C(1,1,2), A 从而成=（号号号）励=(0， 则有CB=(1,-1,2)、Ci= B 2a,1),D=(2a,0,-1),D2=(a,a,0) (-1,0,1)BB=(0,0,2), G1Bd,G2·Bd=0,.a=1. 设平面CB,M与平面BB,CC的法向量 设n=(x,y,z)为平面AED的法向量 分别为m=(x1,y1,1)、n=(y2,2）, 则=0即2x-0令x=L, 则有m·CB=-1+2=0 1n·Di=0,1x+y=0, 1m.Ci=-x1+a1=0, 则y=-1,z=2, [n·CB1=x2-y2+2a2=0, 可得平面AED的一个法向量n=(1,-1,2). n·BB=2z2=0, 又A41=(0,0,2), 分别取x1=2=1,则有y1=31=1y2=1,2=0, 六点4到平面A5D的距离d=·ml26 即m=(1,3,1)、n=(1,1,0), Inl 3 n·n 1+3 2/22 课堂检测固双基 则os(m,m〉=1ml:1m/个+9+·+1 m·n 1.C cos(m,n)=Imlln= ,即(m,n)=45,所以 故平面CB,M与平面BB,C,的夹角余弦值为2四 11 两平面所成二面角为45°或180°-45°=135° (3)由BB=(0,0,2),平面CBM的法向量为 2.B建立坐标系如图， m=(1,3,1), 则有BB·m1 2 2/II /1+9+1 11 即点B到平面公业的距高为2 §5数学探究活动（一）：正方体截面探究（略） 章末知识梳理 要点专项突破 则4(1,0,0)，B(1,10),D(0,0,),0(,2 例1：(1)证明：在△DCM中，DC=1,CM=2,∠DCM=60°， AB=(0,1,0),AD=(-1,0,1). 由余弦定理可得DM=√5，所以Df+DC=CM2,所以DM 设n=(x,y,z)是平面ABC,D1的一个法向量， ⊥DC. 则n=y=0. 由题意DC⊥PD且PD∩DM=D, 1AD·n=-x+z=0, 解得y=0,z=1,.n=(1,0,1) 所以DC⊥平面PDM,而PMC平面PDM, 所以DC⊥PM,又AB∥DC,所以AB⊥PM. (2)由PM⊥MD,AB⊥PM, 而AB与DM相交，所以PM⊥平面ABCD, 1 ·点0到平面A6C,D,的距离为OL_三.2 = 因为AM=√7，所以PM=22, 24 取AD中点E,连接ME,则ME,DM,PM两两垂直 3.BC二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，.二面角 以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系， 327097 课堂检测 固双基 1.若异面直线1，l2的方向向量分别是a=(0,4.已知向量m,n分别是直线1和平面α的方向 -2,-1),b=(2,0,4),则异面直线11与12的 1 夹角的余弦值等于 向量和法向量，若cos(m,n〉=2，则直线1与 人号 B. 平面所成角的大小为 5.如图，点0是正△ABC平面外一点，若OA= C.-25 D.25 OB=OC=AB=1,E、F分别是AB、OC的中点， 5 5 试求OE与BF所成角的余弦. 2.正方体ABCD-AB,C,D,中，直线BC,与平面 A,BD所成角的正弦值是 平 B号 C.6 3 D.3 2 3.已知两异面直线l和12的方向向量分别为 和若c,》=-,则与所成角 夯基提能作业 为 请同学们认真完成练案[24] 第2课时 两个平面所成的角、空间中的距离问题 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.会用向量解决二面角的计算 1.理解二面角的概念、范围，能用向量语言表述二面角，能将 问题 二面角化归为空间向量的夹角，这是利用向量方法研究二 2.理解图形与图形之间的距离的 面角的前提. 概念 2.理解空间中各类距离的概念，能将空间中的距离用向量的 3.理解并掌握两点之间、点到直 投影向量的长度表示. 线、点到平面、相互平行的直线3.利用向量方法求二面角与距离都是模式化的过程，应熟练 与平面、平面与平面之间的距 掌握求二面角与距离的解题步骤 离的概念及它们之间的相互转4.通过比较向量方法与几何方法的异同，感悟向量方法在研 化，会用法向量求距离. 究几何问题中的工具作用. 必备知识探新知 知识点1两个平面所成的角 一 般地，已知n1,2分别为平面a,B的法向量，则二面角a-l-B的平面角与两法向量所成角 〈n1,n2》 (如图(1))或 (如图(2))： 图(1) 图2) 098。 知识点2点到平面的距离 如图，设点P是平面a外一点，点A是平面a内的已知点，，是平面a的单位法向量.过点P作PP ⊥平面a,垂足为，点P',则线段PP'的长度就是点P到平面α的距离，而PP∥no,所以 向量PA在法向量，方向上的投影向量的长度 就等于 点P到平面x的距离，等于点P与平面α内任意一点A连线所得向量PA,在 a 平面α的单位法向量。方向上所作投影向量的长度，即d= 知识点3点到直线的距离 如图，设点P是直线1外一点，1。是直线1的单位方向向量，过点P作直线1的垂 线，垂足为点P',则垂线段PP'的长度就是点P到直线1的距离.如何求这个距离呢？ 按照前面的思路，若能求出垂线段PP'的方向向量，则可在直线1上任取一点A,求 PA在向量PP方向上的投影向量的长度即可.事实上，在平面向量中就是这样做的， 然而在空间中，求垂线段的方向向量较为困难.但直线1的方向向量已知，所以可先求出PA在。 方向上的投影数量，然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得IPP'I即可. 在Rt△PPA中，IP'1=IPA·。I,于是点P到直线1的距离为1PP'I=PA2-IPA2 =√Pi2-1P·2. 若点P是直线1外一点，，是直线l的单位方向向量，点A是直线1上任意一点，则点P到直线 的距离为d=√P2-1PA·,12. 名师点睛相互平行的直线与平面、平面与平面之间的距离 1.相互平行的直线与平面之间的距离 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离.此 时，直线上的各点到平面所作的垂线段相等，即各点到平面的距离相等. 2.相互平行的平面与平面之间的距离 (1)当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间 的距离。 (2)与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部 分，称为这两个平面的公垂线段. (3)两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长。 3.利用空间向量求直线与平面、平面与平面之间的距离 如图所示，如果直线1与平面B平行，n是平面B的一个法向量， A,B分别是l上和B内的点，则直线1与平面B之间的距离为d= IBA·nl Inl 如图所示，如果平面a与平面B平行，是平面B的一个法向量（当然也是平面的一个法向量），A 和B分别是平面a与平面B内的点，则平面a与平面B之间的距离为d=B,n 099 关键能力 攻重难 ●题型探究 题型一利用空间向量求两个平面所成的角 规律方法： 例.如图，四棱柱BCD-4,BC,D,的所有棱长都相等，4CnBD=0A,G 利用向量方法求 ∩B,D1=O1,四边形ACC1A1和四边形BDDB,均为矩形. 二面角的大小时，多 采用求法向量的方 (1)证明：O,O⊥底面ABCD; 法，即求出两个面的 (2)若∠CBA=60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值 法向量，然后通过法 D 向量的夹角来得到二 面角的大小，但利用 这种方法求解时，要 注意结合图形观察分 析，确定二面角是锐 二面角还是钝二面 角，不能将两个法向 量的夹角与二面角的 大小完全等同起来 [规律方法] 规律方法： )对点训练1 用向量法求点到 如图所示，在几何体S-ABCD中，AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,AD= 直线的距离时需注意 DC=2,BC=1,又SD=2,∠SDC=120°，求平面SAD与平面SAB所成角的余 以下几点： 弦值， (1)不女我点在 直线上的垂足以及垂 线段 (2)在直线上可 以任意选点，但一般 选较易求得坐标的特 题型二利用空间向量求点线距 殊点： 例2已知直三棱柱ABC-AB,C中，AM=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90, (3)直线的方向 向量可以任取，但女 求点B到直线A,C1的距离. 须保证计算正确. [规律方法] 100 对点训练2 规律方法： 已知正方体ABCD-ABC,D1棱长为2，E,F分别是C1C,D1A1的中点， 1.定义法，先过 求点A到EF的距离 点作已知平面的垂 面，再过点作两平面 交线的垂线段，则该 垂线段垂直于已知平 面，求出垂线段的长 即得点到平面的 距离 2.等体积法，把 点到平面的距离视为 一个棱维的高，利用 体积相等求得点到平 题型三利用空间向量求点面距 面的距离。 例3如图，已正方形BCD的边长为1，PD1平面4BCD,且 3.向量法，这是 PD=1,E,F分别为AB,BC的中点 我们常用的方法，利 (1)求点D到平面PEF的距离； 用向量求点到平面的 (2)求直线AC到平面PEF的距离. 距离的一般步骤 如下： 电华标。的合哈 求向量 求法向量 得米 代人公试h西H打 ·[规律方法] 》对点训练3 如图，已知正方体ABCD-AB,C,D1的棱长为a,求点A到平面ABD的 距离。 101 ●易错警示 错把法向量的长度当成点到平面的距离 例4，如图所示，在直三棱柱ABC-4,BC,中，底面是等腰直角三角形，∠ACB 90°，侧棱AA1=2,D,E分别是CC1,AB的中点，点E在平面ABD上的射影是 A △ABD的重心G,求点A,到平面AED的距离， [错解]建立如图所示的空间直角坐标系，设AC=2a(a>0),∴.A(2a,0,0), 80,2a,0).D0.0,).4(2a0,2),(aa,,d3号}. 成=（号号）m=0.-2,1).=(2a.0,-10.n成=(a,a.0). G21Bd,.G.Bd=0.a=1. 设n=(x,y,z)为平面AED的法向量， n·Di=0,2x-z=0,.「3=2x, m0呢=0，即x+y=0,“y=-x 令x=1,∴.y=-1,8=2,∴.n=(1,-1,2) ∴.点A1到平面AED的距离d=√12+(-1)2+22=√6. [辨析]本题易错的地方是误认为法向量的长度就是点到平面的距离，得到点A,到平面4ED的距 离d=nl=√6. [正解] 课堂检测 固双基 1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n= (0,1,1),则两平面所成的二面角为（) A. C. 2 D. A.45 B.1359 3.(多选题)三棱锥A-BCD中，平面ABD与平 C.45°或135° D.90° 面BCD的法向量分别为n1,n2,若〈n1,n2〉= 2.已知棱长为1的正方体ABCD-AB,C1,D1中， 号，则二面角A-BD-C的大小可能为() O是上底面AB,C,D的中心，则O到平面 ABC1D1的距离是 () A君 B号 c D. 6 4.已知向量n=(-3,0,4)和直线1垂直，点 A(1,-1,2)在直线1上，P(3,5,0),且AP,n 及1的方向向量共面，则点P到直线1的距离 为 102 5.（2024·天津卷)已知四棱柱ABCD- (3)求，点B到平面CB,M的距离 AB,C,D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD,A1A ⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD =DC=1.N是B,C1的中点，M是DD1的 中点 (1)求证D,N∥平面CB,M; (2)求平面CB,M与平面BB,CC1的夹角余 弦值； 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[25] §5数学探究活动（一）：正方体截面探究（略） 章末知识梳理 知识体系构建 直线的方向向量与平面的法向量 用空间向量证平行问题 明位置关系 垂直问题 共线向量基本定理 空间向量 共面向量定理 空间向量的加减运算 异面直线所成角 空间向量基本定理 空间向量的数乘运算 立体几何 求空间角线面角 空间向量 立体几何中 平行与垂直的条件 及其运算 两个平面所成的角 的向量方法 夹角与距离 空间向量的数量积运算 点点距离 空间向量的坐标运算 求空间距离点线距离平行线距离 点面距离一面面距离 要点专项突破 要点一用向量法求空间角、距离 :出)相关点的坐标：求出相关向量的坐标：代入对 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角的 应的距离公式计算.所有的距离最后都可以归结 范围为0°<0≤90°，需找到两异面直线的方向向 为空间两点的距离和点到面的距离 量，借助方向向量所成角求解。 例L.图，在四棱锥P-ABCD中，底面BCD (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面 是平行四边形，∠ABC=120°，AB=1,BC a所成的角O,先求这个平面ax的法向量n与直线a =4,PA=√15，M,N分别为BC,PC的中 的方向向量a夹角的余弦cos〈n,a),易知0=〈n, 点，PD⊥DC,PM⊥MD. a-5或者号-(n.a (3)二面角：如图， 有两个平面a与B,分别作 这两个平面的法向量n1与n2, 则平面与B所成的角跟法向 量n1与n2所成的角相等或互 补，所以首先应判断二面角是锐角还是钝角。 (4)建立恰当的空间直角坐标系；写出（求