课时分层评价29 空间中的距离问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（北师大版）

学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 空间中的距离问题 对应学生 课时分层评价29 用书P257 (时间：60分钟满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) ©基础排查(1一9，每小题5分，共45分) 1.己知正方体ABCD-AB1CD1的棱长为a,则点A1与对角线BC所 在直线间的距离是() A.号 B.a C.a D.2a 答案：C 解析：如图所示，建立空间直角坐标系.则A1(a,0,a),B(a,a,O), C1(0,a,a).所以A1B=(0,a,-a),|AB|=V2a,BC1=(-a,0, a),|BC1|=V2a.所以，点A1到BC的距离d= AB-AB密=2a-牙-9a故这c B 2.如图，已知ABC-A B1C1是各条棱长均等于α的正三棱柱，D是侧 棱CC的中点，则点C1到平面ABD的距离为() B. C.a D9。 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：B 解析：因为ABBA1为正方形，所以AB⊥AB1,又BA1B1D=(BA十 BB1)(BC-BB1)=BAB元-BB1=a2-a2=0,所以AB1 BD,又AB1∩BD=B1,所以A1B⊥平面AB1D,所以A1B是平面ABD 的一个法向量，由于CD=CD,所以C1到平面ABD的距离等于C 到平面AB1D的距离，设点C到平面AB1D的距离为d,则d= AC(AA+AB ACA AACAB 0叶aXaX0s60°I 2a 2a 2a 互a.故选 B 3.正四棱柱ABCD-AB1CD1中，底面边长为22，侧棱长为4，E, F分别为棱AB,BC的中点，则三棱锥B1-EFD1的体积V等于() A.9 B.69 c.9 D.16 答案：C 解析：以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.则B1(2√2， 2√2,4)，D(0,0,4),E22,V2,0),FV2,2√2,0)所以DE= (22,V2,-4),DF=(W2,22,-4),DB1=(22,2V2,0).所 以s正，D)-部-标-格，所以snD正，D 24 =是，所以S△D,R=专|DE1·|D正|·sin(DE,DF)=支× √26×26×是=5，设平面DEF的法向量为n=(x,y,2),则 nD正=0,22x+y2y-4z=0, nDF=0,{2x+22y-4z=0,取x=1,则m=(11,2), 所以点所，到平西Dr的距高=|D点，员=铝=兽，所以= S△EFD,d=青X5X曾=9故选C, ·独家授权侵权必究◆ 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2 D B D x E B 4.如图，己知长方体ABCD-AB1CD1中，AA=5,AB=12,则直线 B1C1到平面ABCD1的距离是() A.5 B.8 c.9 D.9 答案：D 解析：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则C(0,12,0),D(0,0,5).设B (x,12,0),B1(x,12,5)x>0)B元=(-x,0,0),CD1=(0,-12, 5).设平面ABCD1的法向量为n=(a,b,c),则 mCD.-0.即12b+5c=0,所以可取=0,5,2又BB=0, 60 0,一5)，所以点B到平面ABCD1的距离为BB号=541=器 因为B1C1∥平面ABCD1,所以B1C1到平面ABCD1的距离为.故 选D B ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 5.正方体ABCD-AB1CD1的棱长为a,则平面ABD1与平面BDC的 距离为( A.2a B.V3a C.Fa D.fa 答案：D 解析：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则平面ABD1的一个法向量为 =(1,-1,1),由A(a,0,0),B(a,a,0),得BA=(0,-a,0), 则两平面间的距离d=|BA丹|=看=号a.故选D. 6.(多选题)如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1BCD1中，点P在棱 DC上运动（不与顶点重合），则点B到平面ADP的距离可以是() C D A.1 B.2 c.6 D.3 答案：BC 解析：以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、之 轴建立空间直角坐标系，如图所示.则D(0,0,0),A(3,0,0),B (3,3,0),D1(0,0,3)设P(0,t,00<tK3),所以A=(-3,t, 0),AD1=(-3,0,3),AB=(0,3,0).设=(x,y,2)为平面AD1P ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.c0m☐ 您身边的互联网+教辅专家 AP=0, -3x+ty=0, 的法向量，则有 即 nAD=0, 3x+3z=0,令y=3,可得=(t, 3,),则点B到平面ADP的距离为d=n 9 √2t249,因为0 <1<3,所以22+9∈(9,27)，所以d∈(3,3).故选BC. D C B 7.设A(2,3,1),B(4,1,2),C(6,3,7),D(-5,-4,8),则点 D到平面ABC的距离为 答案：4917 17 解析：设平面ABC的法向量=(x,y,),因为n:AB=0,n:AC=0, ag0 y=-z, 取2 =一2，则=(3,2，-2)又AD=(-7,一7,7)，所以点D到平面 3×M-7+2M-7)-2×7 4ABC的距离为=D骨|=- 49 =497 17 8.在三棱锥S-ABC中，SM=BC=2,SC=AB=V3,SB=AC=V5.记 BC的中点为M,SA的中点为N,则异面直线AM与CN的距离为 答案： 解析：三棱锥SABC的三组对棱分别相等，将三棱锥S-ABC放在长 方体中，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c,且 +b2=SA2, a+b2=4, (a=5, b2+c2=SC2,即b2+c2=3,解得b=1, 因此以点B为原点，建 +c2=SB2,（+c2=5, (c=2, 立空间直角坐标系，如图所示则S0,3,√2)，A(1,0,√2)，B 独家授权侵权必究 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 0,0,0,C1,5,0,M(3,9,0),N(,9N2)A= (-,点，-V2),C=(-,-9,2)设n=,,)垂直于 园时0可0E& 2=9,x=0,所以n=(0,V2,9)又M=00,2),所以异面 直线MM与CN的距离d=|M片1=房= 9.(新情境)在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角 三角形的三棱锥称为鳖嚅.如图，己知在鳖膈PABC中，PA⊥平面 ABC,PA=AB=BC=2,M为PC的中点，则点P到平面MAB的距 离为 答案：√2 解析：以点B为原点，BA,BC所在直线分别为x轴、y轴建立空间 直角坐标系，如图所示.则B(0,0,0),A(2,0,0),P(2,0,2),C (0,2,0),由M为PC的中点可得M(1,1,1)BM=(1,1,1),BA =(2,0,0),B=(2,0,2)设=(x,y,2)为平面MAB的一个法 ·独家授权侵权必究· 色学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 BA=0 向量，则 即/2x=0, nBM=0, x+y+z=0,令z=-1,可得=(0,1，一 1),点P到平面MAB的距离为d=B萨骨=√2 M 10.(13分)如图，在长方体ABCD-AB1CD1中，AD=AA1=1,AB= 2.求： (I)点A1到直线BD的距离； (2)点A1到平面BDC1的距离； (3)异面直线BD,CD1之间的距离 解：(I)以点D为原，点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、 之轴建立空间直角坐标系，如图所示 因为AD=AA1=1,AB=2,则B(1,2,0),D0,0,0),A1(1,0,1), C1(0,2,1),C(0,2,0),D1(0,0,1) 所以BD=(-1,一2,0)，A1B=(0,2,-1), 所以AB在BD上的投影向量的长度为A 1上1x0H-2x2+0X-1 励T=-1-2240 =45 又a=V02+2+(-12=5, 独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 身边的互联网+教辅专家 所以，点A1到直线BD的距离d=V5-号 =3 5 (2)由(1)知BD=(-1,-2,0),DC1=(0,2,1),AB=(0,2,- 1). 设平面BDC1的法向量为n=(c,y,z),则 nBD=0, -x-2y=0, 所以 nDC=0, 2y+z=0, 取y=1,可得x=-2,x=一2，所以n=(-2,1,一2)是平面BDC1 的一个法向量， 向量A1B=(0,2,一1)在法向量n=(-2,1,一2)上的投影向量的长 度为4 n -2×0叶1X2+(-2×-1) -23+1-22 所以点A1到平面BDC的距离为寺 (3)由(1)CD1=(0,-2,1),BA1=(0,-2,1), 所以CD1∥BA1,所以CD1∥BA1, 又CD1t平面ABD,BAC平面ABD, 所以CD1∥平面ABD, 所以异面直线BD,CD1之间的距离与点C到平面ABD的距离相等， 设平面ABD的法向量为=(：1，y1,21), 因为B=(-1,一2,0)， m历-0.所仁2：0 则mBA1=0, -2y1+z1=0, 取y1=1,可得=一2，②1=2，所以m=(-2,1,2)是平面ABD 的一个法向量， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 5.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 向量CD=(0,-2,0)在法向量n=(-2,1,2)上的投影向量的长度 为 -2x0叶1-2)+2×0 -2)3+1+22 所以点C到平面ABD的距离为号，故异面直线BD,CD之间的距离 为号 可综合运用(11一13，每小题5分，共15分) 11.如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD-AB1CD1, 点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值是() D A.a C.Fa D.a 答案：B 解析：设M0,m,m)0≤m≤a),AD1=(-a,0,a),直线AD1的 一个单位方向向量0=(-号，0，号)，由MD1=(0,-m,Q-m), 故点M到直线AD1的距离d=yMD1P-MD1SP= Vm2+(a-m-(a-m}=V(m-号)+守a2,当m=号时，d取最小 值得a,故选B. 12.棱长为1的正方体ABCD-A1BCD1中，M,N分别是线段BB1, B1C1的中点，则直线N到平面ACD1的距离为 答案： 解析：如图所示，以点D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x 轴、y轴、之轴建立空间直角坐标系. ·独家授权侵权必究· 色学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 D D 则D0,0,0),C0,1,0),D(0,0,1),M(1,1,克)，A(1,0,0) 所以4=（0,1，克)，AC=(-1,1,0),AD1=(-1,0,1).设平面 nAC-0. ACD1的法向量为=，办则nAD,=0,即 8令 =1,则y=z=1,所以n=(1,1,1).所以点M到平面ACD1的距离 d=AM引=音=夏.又MN/AD,所以MN∥平面4CD,所以直 线MN到平面ACD,的距离为 13.己知A(0,0,2),B(0,2,1),C(2,1,0),D2,0,1),则点D 到平面ABC的距离为 答案：罗 解析：由题意，AB=(0,2,-1),AC=(2,1,-2),AD=(2,0, 一1)设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则有 「nAB=2y-z=0, AC=2x+y-2z=0,令y=2,则2=4，x=3,所以n=(3,2,4), 则，点D到平面BC的距离为腰-房=要 29 14.(15分)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AABB为正方形AB =BC=2,E,F分别为AC和CC的中点，BF LA B1 ·独家授权侵权必究·