3.3.2 空间向量运算的坐标表示及应用-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

082 x AB+y AD+AA F分别是PC和PB的中点，试用a,b,c表示 D.存在唯一的有序实数组x,y,,使得AC= BE.BE.AE.EF. x AB+y AD AA 4.正方体ABCD-A'B'C'D'中，O1,O2,O3分别是AC, AB',AD'的中点，以{AO,AO,A0,}为空间的一组 基，AC=xAO1+yAO2+zAO3,则x,y,z的值是 ( A.1,1,1 B.111 2’2’2 c.222 D.2,2,2 2’2’2 5.如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形， 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[20] P01平面0ABC,设0i=a,0元=b,02=c,E, 3.2 空间向量运算的坐标表示及应用 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.了解空间直角坐标系，理解空间向量的坐1.对于空间向量运算的坐标表示，可类比平面向 标表示 量运算的坐标表示并加以理解，两者的实质一 2.掌握空间向量运算的坐标表示. 样，只是表达形式不同，前者可看作是后者的推 3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用. 广，培养逻辑推理的核心素养 4.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离2.关注空间向量平行与垂直的坐标表示并进行正 公式，能运用公式解决问题， 确运算. 必备知识探新知 知识点1空间向量运算的坐标表示 1.标准正交基 在空间直角坐标系0-xz中，分别沿x轴、y轴、z轴正方向作单位向量i,j,k,这三个互相垂直 的单位向量就构成空间向量的一组基i,j,k,这组基叫作标准正交基. 根据空间向量基本定理，对于任意一个向量p,都存在唯一的三元有序实数组(x,y,),使得p= xi+yj+zk. 把三元有序实数组(x,y,z)叫作向量p在标准正交基{ij,k}下的坐标，记作p=(x,y,z). 单位向量i,j,k都叫作坐标向量. 2.若点A的坐标为(1，y1,),点B的坐标为(x22,2),则A=0店-Oi(2-x1y2-y,-), 也就是说：一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去相 应的起，点的坐标 3.空间向量运算的坐标表示 设向量a=(x1少1，之)，b=(x2少2,2)，根据空间向量的运算法则，不难得到： (1)a+b=(x1+x2,y1+y2,31+32); ●083 (2)a-b=(x1-x2,y1-y2,31-a2); (3)入a=(入x1,入y1,入21)，入∈R; (4)a·b=x1x2+y1y2+212: 知识点2空间向量平行（共线）和垂直的条件 我们知道，当b≠0时，a∥b曰3入∈R,使得a=入b. x1=入x2, 如果设向量a=(x1,y,ǎ)，b=(x22,),那么当b≠0，a∥b台3入∈R,使得y=2, 21=入2 当b与三个坐标平面都不平行（即，≠0时），a/b=之-4=4 2y222 类似地，可得a⊥b台a·b=0台>x1x2+y1y2+z1名2=0， 知识点3空间向量长度与夹角的坐标表示 设向量a=(x1,少1，之)，b=(x2,y2,22),根据空间向量运算的坐标表示，可以得到以下结论： (1)lal=√a·a=√++乐. 若点A(a,b1,C),B(2,b2,c2),则1AB=1AB1=√(a2-a1)2+(b2-b1)2+(c2-c7. (2)cos(a,b)=ab x12+y1y3+3122 1a11b1 =(a≠0，b≠0) √x好+y+行·√x+y+ 关键能力攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一空间向量的坐标表示 用坐标表示空间 向量的步骤如下： 例1.在直三棱柱AB0-AB,0中，∠A0B=,A0=4,B0=2,M,=4,D 、观图形 充分观察图形特征 为A,B,的中点，建立适当的空间直角坐标系，求D0,AB的坐标。 建坐标系 「根据图形特征建立 空间直角坐标系 、用运算 殿器网 将所求向量用已知 、定结果一 ·[规律方法] 对点训练1 (1)如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,C,D,中， 取D点为原点建立空间直角坐标系，O,M分别是AC,DD 的中点，写出下列向量的坐标. AM= 0B1= (2)已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分 别是AB,PC的中点，并且PA=AD=1,建立空间直角坐标 系，求向量MN的坐标. 0B4。 题型二 空间向量的坐标运算 规律方法： 例2已知a:(2,-1,3),6=(0,-1,2)求： 空间向量的坐标 (1)a+b: 运算类似于平面向量 (2)2a-3b; 的坐标运算，牢记运 (3)a·b; 算公式是应用的关 键.这些公式为我们 (4)(a+b)·(a-b). 用向量的知识解决立 体几何问题提供了有 力的工具 P[规律方法] 对点训练2 已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则： (1)a·(b+c)= (2)(a+2b)·(a-2b)= 题型三空间向量的平行与垂直 规律方法： 例3若a=（15,-1),b=(-2,3,5). 以下两个充要条 (1)若(ka+b)∥(a-3b),求k; 件在解题中经常使 (2)若(ka+b)⊥(a-3b),求. 用，要熟练掌握。 [分析]利用平行和垂直的充要条件列式求解。 若a=（x1,1, 21),b=(x2,2,32)(a, b为非零向量)， 则a∥b龙= x2 y2 =4或x1=Xx,且 =入y2且31= ·[规律方法] λ22（λ∈R) )对点训练3 其中若x1=0,则 在正方体ABCD-AB,C,D1中，M是棱DD1的中点，O为正方形ABCD的 x2=0,其余类推. 中心，用坐标法证明向量OA1⊥AM. a1b→x1x2+y1y2 +z132=0. 085 题型四空间向量夹角与模的计算 例4.在棱长为1的正方体ACD-AB,CD中，E,F分别为DD,BD的中 规律方法： 点，点G在棱CD上，且CG=子CD,H为C,G的中点，应用空间向量的方法 坐标法是解决立 体几何问题的一个强 求解下列问题： 有力的工具.对于以 (1)求证：EF⊥B,C; 正方体、长方体或其 (2)求EF与C,G所成角的余弦值； 他具备垂直关系的几 (3)求FH的长 何体为载体的立体几 何问题，可以优先考 虑坐标法，这样仅通 过计算即可证明线段 间的平行、垂直等关 系，结合向量的裁量 ·[规律方法]积又可解决有关求 》对点训练4 角、距离等问题 如图，已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M,N分别是AB,PC的中点， 且PA=AD=2. (1)求M,N两点之间的距离； (2)求证：MW⊥平面PCD: (3)求直线PA与MN所成的角. ●易错警示 例5已知a3,-2,-3),b=(-1,x-1,1),且a与b的夹角为纯角，则 x的取值范围是 A.（-2,+∞) B(-2.u(3+ C.(-0,-2) [错解]因为a与b的夹角为钝角， 所以a·b=(3,-2,-3)·(-1,x-1,1) =3×(-1)+(-2)·(x-1)+(-3)×1<0, 解得x>-2.所以x的取值范围是(-2，+∞). [辨析]错误的根本原因是忽视了a·b<0包括了(a,b〉=180°的情 况，实际上，a与b的夹角为钝角今→a·b<0且〈a,b〉≠180°. [正解] 086 课堂检测 固双基 1.已知向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c= A.-2 B.-1 C.1 D.2 (-4,-6,2),则下列结论正确的是()3.已知向量a=(1,3,0),b=(2,1,1),则向量a A.a⊥c,b⊥c 在向量b上的投影向量c= B.a∥b,a⊥c C.a∥c,a⊥b 停 B(停别 D.以上都不对 c(引 D.(2,4,4) 2.如图，棱长为1的正方体，ABCD-AB,GD4.已知a=(2,-3.0),b=(k,0,3),《a,b> 中，DA·BD的值为 ( 120°，则k= 5.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7, 7,入)，若a,b,c共面，则实数入= 夯基提能作亚 请同学们认真完成练案[21] §4 向量在立体几何中的应用 4.1直线的方向向量与平面的法向量 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.能用向量语言描述直线和平面、理解直线 理解直线的方向向量与平面的法向量是确定空间 的方向向量与平面的法向量 中直线、平面位置的重要量，会求直线的方向向量 2.会用直线的方向向量与平面的法向量 与平面的法向量，培养学生逻辑推理，直观想象的 解题 核心素养 必备知识探新知 知识点1直线的方向向量与直线的向量表示 1.直线的方向向量 如图，设点A,B是直线1上不重合的任意两点，称AB为直线1的方向向量，显a, 然，一条直线有无数个方向向量，根据平行向量的定义可知：这些方向向量都平行， 因此与AB平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量. 2.直线1的向量表示 已知点M是直线1上的一点，非零向量a是直线l的一个方向向量，那么对于直线1上的任意 一点P,一定存在实数t,使得MP=ta. 反之，由几何知识不难确定，满足上式的点P一定在直线1上.因此，我们把这个式子称为直线 的向量表示。 知识点2平面的法向量与平面的向量表示 1.平面法向量的定义 我们已经知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线.类似地，空间中给定一点和一条则M03)3)-(30,) MB 又AC=xAO+yAO,+zAO,所以根据空间向量基本定理的唯一 D C 性得x=y=z=1 例2：(1)a+b=(2,-1,3)+(0,-1,2) 5连接80，则8-励-2(8d+0耐 =(2+0,-1-1,3+2)=(2,-2,5). (e-b-m)-a-e (2)2a-3b=(4,-2,6)-(0,-3,6)=(4,1,0). (3)a·b=(2,-1,3)·(0,-1,2) 成=+成=-a+本 =2×0+(-1)×(-1)+3×2=7. (4)(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+1+9-0-1-4=9. =-a+2(ad+0ò 对点训练2：(1)9b+c=(2,0,5),a·(b+c) =(2,-3,1)·(2,0,5)=9. =-a-2+2c (2)-381al=√14，b1=√3， (a+2b)·(a-2b) 正=+P元-0+0+(P而+o心) =1a12-41b12=-38 =-a+c+(-c+)=-a+2b+c 例3：(1)ha+b=(k-2,5k+3,-k+5) a-3b=(1+3×2,5-3×3,-1-3×5)=(7,-4,-16). -2i-2i-2a :(ha+b)∥(a-3b), 号弘号诺解得=行 3.2空间向量运算的坐标表示及应用 (2).(ka+b)⊥(a-3b), 关键能力攻重难 ∴.(k-2)×7+(5k+3)×(-4)+(-k+5)×(-16)=0. 例1：由已知A010B,0,010A,0,010B,从而建立以OA, 0店，00方向上的单位向量i,j,k为正交基的空间直角坐标系 解得6=195 0-xyz,如图， 对点训练3：证明：如图所示，建立空间 直角坐标系，设正方体的棱长为1个单位， 则A(1,0,0),A1(1,0,1), B 0.0,)o30 m=-成-（分3 -成-i=(-1,0,2) d=×(-)+(-2)x0+1x=0， 则0A=4i,02=2j,00=4k; .OA⊥A立 例4：(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系，则有 Dd=-0成=-(00+0=-[o0+2(o+0成)】 0.0）20.c0.1,0.B11,D =-00-}0-)0成 =-2i-j-4k, 故D0的坐标为(-2，-1，-4). A,B=02-0A=0i-(01+AA)=0i-0-AA=-4i +2j-4k, 故A1B的坐标为(-4,2，-4). 即D0=（-2,-1,-4),A1B=(-4,2,-4). 对点训练1：(1)(-2,0,1)（1,1,2)A(2,0,0),M(0, 0,1),0(1,1,0),B(2,2,2), 则脉=（分3-(0,0，）=（分3，）t .A7=(0,0,1)-(2,0,0)=(-2,0,1),0B=(1,1,2). 2)以D8,4P所在直线分别为x轴了轴、轴建立空间(0.1,0-（11,1)=(-1,0，-1)， 直角坐标系如图所示， 一320 成d=分×(-)+3×0+(-)x(-)=0, 2.B以点D为原点，DA,DC,DD1所在 直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图 ELB,C,即EF⊥BC. 所示空间直角坐标系，则A(1,0,0), (2)在(1)建立的空间直角坐标系中，C(0,1,1), D(0,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),故 c0,0cc=(0,,0-(0,1,1)=(0,-4,- DA=(1,0,0),BD=(-1,-1,1),则D ·BD=-1,故选B. Gi= 4 3.B向量a=(1,3,0),b=(2,1,1),x 成.G衣=2×0+3×(-4)+()×(-1)=冬， a·b=1×2+3×1+0×1=5,1b1=√22+12+17=6，所以 向量a在向最b上的投影向量c:a6·合=名0 =, (停名名)散选以 3 .'cos(EF,C C)= E㎡.Ct 8 ⑦ 4.-√39a·b=2k,lal=13,1b1=√2+9， G方x -17 .c0s120°= k=-√3阿 4 13×√+9 即异面直线EF与C,G所成角的余弦值为 5.9若a,b,c共面，c=xa+yb, 17 : 2x-y=7, 3)33,o,g) -x+4y=7,∴.入=9. l3x-2y=入， 扇（分》 §4向量在立体几何中的应用 m==√+(+(： 4.1 直线的方向向量与平面的法向量 对点训练4：(1)建立空间直角坐标系，如图所示. 关键能力攻重难 例1：(1)-146由41∥2可知，向量(-7,3,4)和(x,y, 8)共线， 所以7=子=景解得=-14，y=6 (2)(0,6,2) （2 AB=(0,6,2)是直线AB的一 由题意得A(0,0,0),B(0,2,0),D(-2,0,0),C(-2,2,0),个方向向量 P(0,0,2),所以M(0,1,0),N(-1,1,1), 所以M=（-1,0,1),故M,N两点之间的距离1M1= 由AP:PB=32,得心=多应 √(-1)2+02+1下=2. (2)证明：由题易得P7=(-2,0,-2),C⑦=(0，-2,0). 设P,则(x-2,-1)=(0,62 因为M·P元=0，所以MLPi,即MW1PD 即x-2=0,-1-号，解得=2y8号 因为M.C⑦=0，所以M丞⊥C⑦，即MN⊥CD, 所以直线AB的一个方向向量是(0,6,2)，点P的坐标 又PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD,所以MN⊥平面PCD. (3)由题易得AP=(0,0,2),因为M=(-1,0,1), 号》 以=哥 对点训练1：(1)B因为11⊥l2, 所以a⊥b,则a·b=(1,2,-2)·(-2,3,m)=-2+6- 2 2m=0,解得m=2.故选B. 2√-1)2+1平2 所以(AP,M)=45°，故直线PA与MW所成的角为45°. ,直线1的方向向量为v=(2,1,3),且直 例5：Ba与b的夹角为钝角 线过A(0,y,3),B(-1,-2,z)两点， .a·b<0且(a,b〉≠180°， .AB=y,AB=（-1,-2-y,2-3)=A(2,1,3), a·b=(3,-2,-3)·(-1,x-1,1) 则=-分2-y=-3=-解得y== 1 3 3 =3×(-1)+(-2)·(x-1)+(-3)×1<0. .x>-2, 例2：如图所示建立空间直角坐 a,6)180即x亭>-2且x≠号放选B 标系. 依题意可得D(0,0,0),P(0,0,1), 课堂检测固双基 1.Ca·b=(-2,-3,1)·(2,0,4)=-4+4=0,所以a⊥b, 0,7）B1.10n. D%- a=(-2,-3,1),c=(-4,-6,2),c=2a,所以a∥c, b·c=(2,0,4)·（-4,-6,2)=-8+8=0,所以b1c,故选C 于是成-(0，)成=1,1， 321