3.2 空间向量与向量运算-【成才之路·学案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（北师大版）

这四点作xOy平面的垂线交xOy平面于A,B,C,D四点，故A',课堂检测固双基 B',C,D'的x,y坐标分别与A,B,C,D相同，由此可知它们的空1.C点P(-1,2,0)在xOy平面上，故选C. 间坐标分别是A'(0,0,5),B'(4,0,5),C(4,3,5),D(0,3,5).2.B点(3,4，-5)关于z轴对称的点的坐标是(-3，-4，-5)， (2)点N是线段CC'的中点，有向线段CV的方向与z轴正故选B. 方向相同，ICW1=2.5,因此N的z坐标为2.5，C在x0y平面内3.C点M(2,5,8)关于xOy平面对称的点V的坐标为(2,5，-8). 的平面坐标为(4,3)，这就是N的x,y坐标，故N的空间坐标为4.-7或1314B1=√(-1-2)2+(2-1)2+(3-m)=√10， (4,3,2.5). 所以(3-m)2=100,3-m=±10，所以m=-7或13. 例2：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变， ;5.取BC的中点O,连接OA,过OA作OD⊥BC交B,C,于点D, 在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标 则OA⊥BC,ODL平面ABC,所以OA,OB,OD两两垂直，以点 为P(-2,-1,-4). 0为坐标原点，OA,OB,OD所在直线分别为x轴、y轴、z轴建 (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量 立空间直角坐标系，如图所示 不变，在z轴的分量变为原来的相反数， 所以对称点坐标为P2(-2,1,-4). (3)设对称点为P(x,y,z),则点M为线段PP的中点，由 中点坐标公式，可得x=2×2-(-2)=6 y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12 所以P,的坐标为(6，-3，-12). 对点训练2：(1)(-1,1，-2)点(1,1，-2)关于y0z平面 的对称点的坐标是(-1,1，-2) 由题意，得IAO1= (2)(2,0,3)M在z0x平面上的射影为M'(-2,0,-3), 5×2=厅，从而可知各顶点的坐标分别为 所以M'关于原点对称点的坐标为(2,0,3). A(5,0,0),B(0,1,0),C(0,-1,0),A1(3,0,4),B1(0,1, 例3：如图所示，分别以AB,AD,A4,所在的直线为x轴，y 4),C(0,-1,4) 轴，z轴建立空间直角坐标系。 A忆 1 §2空间向量与向量运算 必备知识探新知 知识点11.大小方向长度或模2.A正3.相同相 等相反相等 知识点21入11a1相同相反0 由题意可知C(3,3,0),D(0,3,0), 知识点4非零∠AOB(a,b〉[0，π]垂直 因为IDD,I=ICC,I=IAA,I=2, 关键能力攻重难 所以C1(3,3,2),D1(0,3,2), 例1：B①中al=Ib1,只能说明向量a,b的模相等，但方 因为N为CD的中点， 向不一定相同； 所以子3，)M是么G的三等分点且靠近4点，所以 ②两个空间向量相等，只需方向相同且模相等，与起点位置 无关； M(1,1,2).由两点间的距离公式，得IMWI= ③任意两个单位向量的模均为1，但方向不确定； √3-+(3-1)2+(1-22= 2 ④⑤正确. 对点训练3：以点C为坐标原点，CA,CB,CC,所在直线为x 对点训练1：ABC选项A中，向量的模可以比较大小，但向 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 量不能比较大小；选项B中，应为a+b=0;选项C中，单位向量 的模都是1；选项D中，由向量的线性运算可知正确。 例2：(1)如图所示，00=0+P,由向量加法运算的平行 四边形法则可得PG=(P心+pi,故O币=-2P元-2Pi, o0=0+P0=0-2P元-2pi 0 A 因为1CC1=1CB1=ICAI=2, 所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),B1(0,2,2), (2)PA=PD+DA=PD+200=PD 由中点坐标公式可得，D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所+2(Pd-P0)=Pi+2Pd-2P, 以1DE1=√(1-0)2+(1-1)2+(0-2)7=5， .x=2,y=-2 1EF1=√(0-1)2+(1-0)2+(2-0)2=√6 对点训练2：-a+b-cA,B=C正-C4=C-(C+CC 例4：设点C的坐标为(0,0，z),则√32+12+(z-1)尸= =-a+b-c. 22+(-2)2+(z-3)7,即10+(z-1)2=8+(z-3)2,解得 例3：证明：设A正=a,Ad=b,AA=c a=号，所以点C的坐标为0,0，)】 因为店=2D,4广=子元，所以店=子4D,4户 -317 =号花。 因为E,F分别是AB,BC的中点，所 以EF∥AC, 所以在-子动-子6，广=子（配-=子（应+而 所以E市∥AC且方向相同，所以〈E AC)=0, -)=+-c 因为AC∥F它且方向相反，所以(A1C F2》=m (2)因为在正方形ABCD中，4B⊥BC,所以(A应，B配)=受， 又因为屈=风+Ai+店=-子b-c+a=a- 2 3 因为AB1⊥平面AADD, 又因为AD,C平面AADD, 所以成-号成 所以A,B上AD,所以4E,A0)=于 因为E与E有公共点E,所以E,F,B三点共线。 对点训练3：M,N分别是AC,BF的中点，且四边形ABCD, (3)连接CD1,则△ACD1为等边三角形，(A亡，AD)=60° ABEF都是平行四边形， 又因为E7∥A元，DA=-AD,所以(E7,D1A)=120° 对点训练5：(1)C设a与b的夹角为0，则由(2a+b)·b m=成+亦+=高++之成 =0,2lallblcos 0+Ib2=0. 又=成+正+成+成=-d+正--成， 又因为a1=1b1,所以c0s0=-,所以0=120， 2=++-2+成-亦-2 2)-号由已知得证=d+.-亦-0i: C立，即C立=2MN 10元-02， C正与M共线. 例4：(1)正四面体的棱长为1，则101=101=1. 因此10=210+0= 2 4+4+2×2x2×7 =5, △OAB为等边三角形，LA0B=60°，于是， OA.0B=10A110BICos(0A,0B)=104110BIcosLAOB= =号-√×4+4-2x2x= 1x1×es60-分 又因为0成.=(0i+0i)·(20d-0应)=子x2 (2)由于E,F分别是OA,OC的中点， 所以EFLT AC,于是.店=1aos(成，》= 2×2+4×2-2=-2, 1ci1lms(ad,a)=7x1x1×ms(ad.a商=7×1× 所以向量O正与向量B?夹角的余弦值为 O正.B -2 OE11BF15×5 1×eas120=-4 =-3 (3)(OA+0i)·(d+C=(Oi+0)·(Oi-0元+0i-0元 例6：AIa-bl=la+bl, =(0A+0B)·(0A+0B-20C) .la-b12=la+b12,.a·b=0. =0+0i.0i-20.0元+0成.0i+0B-20成.0元 又lal=1,lb1=√2，c=2a-b, =1+-2x+分+1-2×=1. ∴1cl=√(2a-b)2=41a2-4a·b+1b下=6. 设a和c的夹角为a, 对点训练4： ，如图，连接AG并延 a在c方向上的投影数量为als=, 长，与BC交于点D, :点G是△ABC的重心， 即1a1csa-a-a2a-b》21a=2=5放选 IclIcl =1cl63 0心=0i+花=0+子+Ad 对点训练6：B因为a在b方向上的投影数量与b与a方 向上的投影数量相等， =耐+}（成-耐+（成-]=}成+号心 设这两个向量的夹角为0， o 则1alos0=b1cos0,即4cas0=2cos0,解得0=， 02.(o+0成+0心)=（号0成+号0心+30i)·(o 所以1a-b1=√(a-b)7=√-2a·b+b=25.故选B 例7：②如图，2B·AC=21BA1·1AC A +0B+0C) ·c0s120°=2a·acos120°=-a2; 亦++=x2+ ×32+ ×12 2Ad.Bd=21AD11Bi1cos60°=2a· acos60°=a2; 2G.A元=21G1IAd1cos180°=2·g 例5：(1)如图，连接AC, ac0s180°=-a2; -318一 2E成.d-2111店1cms120°=2·号·s120a+b+7c --2 对点训练2：C如图，A正=AA+A,龙= 故结果为a2的式子的序号是② +G=+分硒+， B 课堂检测固双基 1.D由正四面体每个面都是正三角形可知，(B元，C⑦)=180° 放=子y=分 1 D (CB,Ci)=180°-60°=120°，故选D. 例3：设BC边中点为D,则G=Oi 2D因为A正=D元，所以四边形ABCD为平行四边形 -0c. 所以D0=0,Ai=B元，OA=Cd 3.A因为2Ad+C2=0,所以C2=-2A元=2C,则0元+0= 0i子励-子×分成d=g6+e0. 20A,故0元=20A-0i. 0心=0i+a花=0i+号d 4.Aa·a=la2,.√a·a=lal,故①正确. m(Aa)·b=(ma)·b=mAa·b=(mA)a·b(m,AeR),故② =0i+号(0-0i 正确.a·(b+c)=a·b+a·c=b·a+c·a=(b+c)·a,故③ 正确a2b=la2b,b2a=1b12a,又a,b不共线，故④不正确. =号0i+子x分a成+od) 5.Ba-b与a垂直，(a-b)·a=0.a·a-a·b=la2- =a++字， a1lb1csa,b)=1-1x2×as(a.b)=0,ms(a,b)=号 .0°≤(a,b〉≤180°，.∴.〈a,b〉=45° 3, §3空间向量基本定理及向量的直角 i=34 坐标运算的坐标表示 对点训练3：A正=A应+B元+C立 =0i-0i+0心-0i-)0d 3.1空间向量基本定理 必备知识探新知 =-ai+o成=-a+2o成+Dd 知识点p=xa+yb+zc =-0i+)(0币+) 关键能力攻重难 例1：(1)C如图所示，令a=AB,b=AA,c=AD,则x=AB,y =-i+20i+2(0成-0i =AD,z=AC,a+b+c=AC. 由于A,B,C,D四点不共面，可知向量x,y,2也不共面，同理 名a+2市+应， b,c,z和x,y,a+b+c也不共面，故选C 1 D =宁=子 C B 例4：6g号 M为01中点，0i=)O B :-20试证=子城 (2)设0A=x02+y0元，则e,+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e)+ 0心=0成+心-o成+子=}oi+子o y(e1+e2-e), 即e1+2e-e=(y-3x)e:+(x+y)e+(2x-y)e, ry-3x=1, =分i+号成+动 ·{x+y=2,此方程组无解.即不存在实数x,y,使得OA=x0 =。i+成+d, 2x-y=-1. +y0C, 的值分将为石分号 所以0,0,0心不共面 课堂检测固双基 所以0A,0B,0心能作为空间的一组基 1.B当非零向量a,b,c不共面时，a,b,c}可以作为空间的一组 对点训练1：B 基，否则不能作为基.当{a,b,c}为基时，一定有a,b,c为非零向 例2：连接A'W 量.因此p是q的必要不充分条件 应=店+2B配=A店+2(Bd+C=店+28配+2元2B+0+=A花+=C :3.A若选项A中命题为真，则可得到AC,AB,AD共面.而由图可知 =+乃（配-商）+分=+乃花+=之(a++配，破不共面 c), 4.A如图所示，C=应+d+=之（店+动）+(+ 成=+=A+(4E+AC=+(店+A花)= )+(+)=0+a0+40, 一319—072 课堂检测 固双基 1.点P(-1,2,0)位于 ( )4.在空间直角坐标系中，A(-1,2,3),B(2,1, A.y轴上 B.z轴上 m),若1AB1=√110，则m的值为 C.xOy平面上 D.xOz平面上 5.如图所示，在正三棱柱ABC-AB,C1中，底边 2.在空间直角坐标系0-yz中，点(3,4，-5)关 长为2，高为4，试建立适当的空间直角坐标 于：轴对称的点的坐标是 () 系，并写出各顶点的坐标 A.(-3,-4,5) B.(-3,-4,-5) C.(-3,4,5) D.(3,4,5) 3.空间直角坐标系中，点M(2,5,8)关于xOy平 面对称的点N的坐标为 A.（-2,5,8) B.(2,-5,8) C.(2,5,-8) D.(-2,-5,8) 夯基提能作业 请同学们认真完成练案[18】 §2空间向量与向量运算 素养目标定方向 课标要求 核心素养 1.了解空间向量的概念 1.本节内容是在平面向量的基础上，把平面向量的概念及 2.经历由平面向量的运算及其法则推广 线性运算、数量积推广到空间，因此要学会运用类比的 到空间向量的过程 方法，把有关概念、运算等由平面推广到空间. 3.掌握空间向量线性运算的法则和运 2.重点理解向量共线、向量共面、向量与向量垂直的条 算律 件，它们是将几何问题转化为向量问题，并使用代数 4.理解空间两个向量夹角的定义. 的方法解决立体几何问题的基础. 5.掌握空间向量数量积的定义、性质、运 3.经历用向量的数量积解决某些简单几何问题的过 算律，会求空间向量的数量积， 程，继续体会向量在处理几何问题中的工具性作用. 必备知识探新知 知识点1空间向量的定义及相关概念 1.定义 在空间中，我们把具有 和 的量叫作空间向量，向量的大小叫作向量的 2.空间向量及其模的表示方法 空间向量用字母a,b,c,…表示.若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作向量 ,其模用Ia|或IAB1表示. ●073 3.空间向量的相关概念 名称 概念 零向量 模为0的向量 相等向量 方向 且模 的向量 相反向量 方向 且模 的向量 共线向量 当表示向量的两条有向线段所在的直线平行或重合时，称这两个向量互为共线向量（或平行向量） 共面向量 把平行于同一平面的向量叫作共面向量 知识点2空间向量的运算 a+b=AB+BC=A元 Bb C a ab A 空间向量的加法 向量求和的三角形法则a+b=0A+OB=0元 a a+b 0b B 向量求和的平行四边形法测 a-b=0A-0B=0i+B0=B0+0A=B4 空间向量的减法 实数入与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作Aa.求实数与空间向量的乘积的 运算称为空间向量的数乘运算，向量入a的长度和方向满足. 空间向量的数乘运算 (1)1Aal=; (2)当入>0时，向量入a与向量a方向 ;当入<0时，向量a与向量a方向 当入=0时，入a=一 (1)交换律：a+b=b+a 运算律 (2)结合律：(a+b)+c=a+(b+c)入(ua)=()a (3)分配律：（入+）a=Aa+ua入(a+b)=Aa+Ab 其中入∈R,h∈R 知识点3 共线向量基本定理 定理：空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数入，使得α=入b.通常把这个 定理称为共线向量基本定理.（也称“一维向量基本定理”) 074 知识点4两个向量的夹角 已知两个向量a,b,在空间任取一点0，作 0A=a,0B=b,则 称为向量a与b的夹角 定义 记法（空间向量的夹角范围 图示 A 0b→B 当(a,b)=受时，称向量a与b 记作a⊥b. 知识点5两个向量的数量积 已知两个空间向量a,b,把lallb1cos〈a,b〉叫作a与b的数量积，记作a·b,即a·b= lallblcos(a,b). 与平面向量类似，空间向量的数量积也是一个实数，容易得到以下结论： ）sa.6-8合a≠0b0 (2)lal=√a·a; (3)a⊥b→a·b=0. 与平面向量类似，空间向量的数量积运算也满足如下运算律： (1)交换律：a·b=b·a; (2)分配律：a·(b+c)=a·b+a·c; (3)(λa)·b=λ(a·b)(入∈R). 知识点6投影向量与投影数量 1.投影向量 在平面向量中已经学习过一个向量在另一个向量方向上的投影向量及投影数量，因为任意两 个空间向量一定是共面向量，所以可以把上述概念直接推广到空间向量， 如图，已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,过点B作直线OA的垂线， 垂足为点B1,称向量OB为向量b在向量a方向上的投影向量，其长度等于Ib1cos〈a,b)1. 2.投影数量 若用a表示与向量a(a≠0)同方向的单位向量，则向量b在向量a方向上的投影向量为OB,= Iblcos(a,b〉ao 因此，称Ib1cos(a,b)为投影向量OB的数量，简称为向 b 量b在向量a方向上的投影数量. 结合空间向量数量积的定义可知：向量b在向量α方向 上的投影数量为1b1msa,B。-4众 B O 0B)→A 当(a,b)为锐角时，Iblcos(a,b〉>0（如图(1）)； 图(1) 图2) 图3) 当(a,b〉为钝角时，Ib1cos〈a,b〉<0（如图(2）)； 当(a,b〉=时，b1cos(a,b〉=0（如图(3）). .075 关键能力 攻重难 ●题型探究 规律方法： 题型一空间向量的有关概念 1.判断有关向量 例给出下列命题： 的命题时，要抓住向 量的两个主要元素： ①若空间向量a,b满足Ial=1b1,则a=b; 模和方向，两者欲一 ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； 不可. ③空间中任意两个单位向量必相等； 2.零向量、单位 ④若空间向量a,b,c满足a=b,b=c,则a=c; 向量都是从向量模的 ⑤在正方体ABCD-AB,C,D,中，必有AC=A,C 角度定义的 其中真命题的个数为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 [规律方法] 对点训练1 (多选题)下列说法不正确的是 A.若Ial<1b1,则a<b B.若a与b互为相反向量，则a+b=0 规律方法： C.单位向量的模不一定相等 1.对于这类题 D.在空间四边形ABCD中，一定有AC=A店+BC 目，应结合图形，充分 题型二空间向量的线性运算 利用向量的平移来处理 例2已知正方形MBCD.P是正方形ABCD所在平面外的一点，点P在平面 向量的加减运算和数乘 ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O,Q是CD的中点，求下列 运算 各式中x,y的值： 2.化简向量表达 (1)0Q=PQ+x PC+y PA; 式主要运用三角形法 则或平行四边形法 (2)PA=x PO+y PQ+PD. 则，在化简过程中遇 到减法时可灵活运用 相反向量转化成加 法，也可按减法法则 进行运算，加减法之 间可相互转化. 3.运用三角形法 则或平行四边形法则将 [规律方法] 目标向量转化为已和向 量，再根据对应向量的 )对点训练2 系数相等，求出x,y 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，若CA=a,CB=b, CC=c,则A,B= ·(用a,b,c表示) 076 题型三共线向量基本定理及其应用 例3.如图所示，在正方体ABCD-A,BCD,中，点E在4，D上，且，正= 规律方法： 2D,点F在对角线AC上，且A下=号F元求证：E,F,B三点共线 空间向量运算的 方法与步骤 [分析]可通过证明EF与EB共线来证明E,F,B三点共线 利用a·b= E a11b1 B 安 cos (a,b) 并结合运算 规律进行计 向量运算 方法与步聚 充分利用儿 何体的性 》对点训练3 质，把特求 向量用已知 如图所示，已知四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面，M,N分 向分解法 夹角和模的 别是AC,BF的中点，判断CE与MN是否共线. 向量表示后 再进行运算 题型四求空间向量的数量积 例4.如图所示，已知正四面体01BC的棱长为1，点E,F分别是01，OC的 中点.求下列向量的数量积， (1)0A·0B: (2)E.CB; (3)(OA+OB)·(CA+CB). [规律方法] ●077 )对点训练4 如图，在三棱锥0-ABC中，棱OA,0B,0C两两垂直，且1OA1=1,1OB1=2,规律方法： 10C1=3,点G为△4BC的重心，则0元.(0A+02+0C)=一 求两个非零向量 夹角的两个途径 (1)转化求角： C-------- 把向量夹角转化为平 面几何中的对应角， 利用解三角形的知识 题型五利用数量积求夹角 求解 例5在正方体AGD-AB,CD中，E,F分别是AB,BC的中点，求： (2)利用数量积 (1)<EF,A C,<AC,FE); 求夹角：运用公式 (2)(AB,BC),〈AB1,AD1〉； cos(a,b〉=a:b lallbl (3)(EF,D,A) 进行求解 [分析]求两个向量的夹角，可以把其中一个向量平移，与另一个向量 的起点重合，从而转化为求平面角的大小；也可以用两个向量的数量积定义 ab=a1es(a,b,求出esa,b=日论的直，然后痛定(a,b的 大小 [规律方法] 】对点训练5 (1)若非零空间向量a,b满足|a|=1b1,(2a+b)·b=0,则a与b的夹 角为 () A.30° B.60° C.120° D.150° (2)已知正四面体OABC的棱长等于2，E,F分别为AB,OC的中点，则向 量OE与向量BF夹角的余弦值为 题型六投影数量与投影向量 例6.已知啡零向量a,b满足1a-b1=a+b1,且1a1=l,b1=2,c=2a-b, 则a在c方向上的投影数量为 () 虫 C、 1 3 3 0.3 078 〉对点训练6 已知非零向量a,b满足|al=4,1b1=2,且a在b方向上的投影数量与b在a方向上的投影数 量相等，则1a-b1等于 () A.1 B.25 C.5 D.3 ●易错警示 混淆向量夹角与异面直线所成角的取值范围致错 例7.已知空间四边形BCD的四条边和对角线长都为a,点E,P,G分别是AB,AD,DC的中点，则 下列四个数量积中结果为2的序号有 ①2BA·AC;②2AD·Bd:③2G.AC:④2EF.CB. [错解]如图，2BA·AC=21Bi1AC·cos60°=2a·acos60°=a2; 2AD·BD=21AD11BD1·c0s60°=2a·acos60°=a2; 2G示.4元=21G11AC1cos0°=2.g·acos0°=a2; 2脉.0成=21成01es60=2,号·as60- 2 故结果为a2的式子的序号有①②③. [辨析]本题错误的原因在于对两个向量夹角的概念理解不清，两个向量必须是首首相连或 尾尾相连时，所成的角才是它们的夹角.对于平行向量要看它们的方向是相同的还是相反的，若是 相同的，则夹角为0°；若是相反的，则夹角为180°.而上述解答没有考虑向量的方向，把异面直线所 成角当作向量夹角，显然是错误的， [正解] 课堂检测 固双基 1.在正四面体ABCD中，BC与CD的夹角等于 A.20A-0B B.-04+20B A.30° B.60° c.o-08 D.-+号0i C.150° D.120° 4.下列各命题中，假命题的个数为 2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，AB=DC ①√a·a=lal; 则下列向量相等的是 () ②m(λa)·b=(m入)a·b(m,入∈R); D ③a·(b+c)=(b+c)·a; ④ab=b2a(a,b不共线). D A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知al=1,1b1=√2，且a-b与a垂直，则a B 与b的夹角为 A.AD与CB B.OA与0C A.30° B.45° C.135° D.60° C.AC与DB D.D0与0B 3.已知O,A,B是平面上的三个点，直线AB上有 夯基提能作业 一点C,满足2A元+C2=0,则0C等于() 请同学们认真完成练案[19]