第15期 空间向量基本定理及向量的直角坐标运算-【数理报】新教材2023-2024学年高二数学选择性必修一同步学案（北师大版2019）

书 从近几年高考看，空间向量的题目几乎都离不开空 间向量的坐标运算．运用空间向量的坐标运算可以解决 有关定量和定性的问题下面举例说明，供大家参考． 一、求长度 例１已知Ａ，Ｂ，Ｃ三点的坐标分别是（２，－１，２），（４， ５，－１），（－２，２，３），且→ＡＭ＝１２（ →ＡＢ－２→ＡＣ），求向量→ＡＭ 的模． 分析：利用向量的坐标运算求出 →ＡＢ，→ＡＣ的坐标，便 可得 →ＡＭ的坐标，再由→ＡＭ的坐标求模． 解： →ＡＢ＝（２，６，－３），→ＡＣ＝（－４，３，１）， 则 →ＡＭ ＝ １２（ →ＡＢ－２→ＡＣ） (＝ ５，０，－５ )２ ， 所以｜→ＡＭ｜＝ ５２＋０２ (＋ －５ )２槡 ２ ＝５槡５２． 点评：本题给出了确定未知向量的坐标的方法，关 键是正确地进行向量的坐标运算． 二、求角度 例２已知空间三点Ａ（１，２，３），Ｂ（２，－１，５），Ｃ（３，２， －５），设ａ＝→ＡＢ，ｂ＝→ＡＣ，若ａ与ｂ的夹角为θ，求ｃｏｓθ． 分析：要求 ｃｏｓθ，则应利用向量夹角的坐标公式进 行计算． 解：因为 →ＡＢ＝（１，－３，２），→ＡＣ＝（２，０，－８）， 所以｜ａ｜＝｜→ＡＢ｜＝ １２＋（－３）２＋２槡 ２ ＝槡１４， ｜ｂ｜＝｜→ＡＣ｜＝ ２２＋０２＋（－８）槡 ２ ＝２槡１７． 所以ｃｏｓθ＝ｃｏｓ〈ａ，ｂ〉＝ ａ·ｂ｜ａ｜·｜ｂ｜＝－ 槡２３８ ３４ ． 点评：利用向量的夹角的坐标公式，我们可以求出 空间向量的夹角，进而解决空间中的夹角问题，这也是 向量法求空间角的最重要的思路． 例３在长方体 ＯＡＢＣ－Ｏ１Ａ１Ｂ１Ｃ１ 中，ＯＡ＝２，ＡＢ＝３，ＡＡ１＝２，Ｅ为ＢＣ的 中点，求ＡＯ１与Ｂ１Ｅ所成角的余弦值． 解：建立空间直角坐标系 Ｏ－ｘｙｚ 如图１所示． 由题意得 Ａ（２，０，０），Ｏ１（０，０，２）， Ｂ１（２，３，２），Ｅ（１，３，０），所以 →ＡＯ１ ＝（－２，０，２），Ｂ１→ Ｅ＝ （－１，０，－２），所以ｃｏｓ〈→ＡＯ１，Ｂ１→ Ｅ〉＝ －２ ２槡１０ ＝－槡１０１０， 即ＡＯ１与Ｂ１Ｅ所成角的余弦值为槡 １０ １０． 点评：由夹角公式求向量 ａ，ｂ的夹角，关键是利用 向量的夹角公式．一般是把向量用坐标表示或用一组基 底表示出来，再求其他有关的向量． 三、处理平行问题 例４已知Ａ（１，５，－２），Ｂ（２，４，４），Ｃ（ａ，３，ｂ＋２），如 果Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，则ａ＋ｂ＝ ． 分析：Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，可转化为→ＡＢ∥ →ＡＣ． 解：因为 Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，所以→ＡＢ∥ →ＡＣ，而→ＡＢ＝ （１，－１，６），→ＡＣ＝（ａ－１，－２，ｂ＋４），则ａ－１１ ＝ －２ －１＝ ｂ＋４ ６ ，所以ａ＝３，ｂ＝８．所以ａ＋ｂ＝１１． 点评：三点共线问题一般可转化为两向量平行问题 来求解，而用坐标法判定两向量平行则主要依据以下定 理：若 ｂ≠０，ａ＝（ｘ１，ｙ１，ｚ１），ｂ＝（ｘ２，ｙ２，ｚ２），则 ａ∥ ｂｘ１ ＝λｘ２，ｙ１ ＝λｙ２，ｚ１ ＝λｚ２． 四、处理垂直问题 例５已知ａ＝（２，－１，３），ｂ＝（－４，２，ｘ），ｃ＝（１， －ｘ，２），若（ａ＋ｂ）⊥ｃ，则ｘ＝ ． 分析：先运用向量的坐标运算法则计算出 ａ＋ｂ的 坐标，再利用向量垂直的充要条件列方程，解之即得ｘ． 解：ａ＋ｂ＝（－２，１，ｘ＋３），ｃ＝（１，－ｘ，２）． 因为（ａ＋ｂ）⊥ｃ， 所以 －２－ｘ＋２（ｘ＋３）＝０， 解得ｘ＝－４． 点评：破解此题的主要依据是空间向量垂直的充要 条件，通过列方程即可求解． 例６在直三棱柱 ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，∠ＡＢＣ＝９０°， ｜ＢＣ｜＝２，｜ＣＣ１｜＝４，Ｄ为ＣＣ１的中点． 求证：Ｂ１Ｄ⊥平面ＡＢＤ． 证明：如图２，以Ｂ为坐标原点，建立空间直角坐标 系，则Ｂ（０，０，０），Ｄ（０，２，２），Ｂ１（０，０，４）． 设ＢＡ＝ａ，则Ａ（ａ，０，０）， 所以 →ＢＡ＝（ａ，０，０），→ＢＤ＝（０，２，２）， Ｂ１ → Ｄ＝（０，２，－２）． 因为Ｂ１ → Ｄ·→ＢＡ＝０，Ｂ１→ Ｄ·→ＢＤ＝０， 所以Ｂ１Ｄ⊥ＢＡ，Ｂ１Ｄ⊥ＢＤ． 又ＢＡ∩ＢＤ＝Ｂ， 因此Ｂ１Ｄ⊥平面ＡＢＤ． 点评：运用空间向量的坐标运算，把证明问题化为 计算问题，简捷方便． 五、巧解探究性问题 例７已知矩形ＡＢＣＤ，ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ，Ｍ，Ｎ分别是 ＡＢ，ＰＣ的中点，∠ＰＤＡ＝θ，能否确定θ，使直线ＭＮ是直 线ＡＢ与ＰＣ的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确 定，请说明理由． 解：如图３，以点 Ａ为坐标原点建 立空间直角坐标系，设 Ａ（０，０，０）， Ｄ（２ａ，０，０），Ｂ（０，２ｂ，０），Ｃ（２ａ，２ｂ，０）， 那么Ｐ（０，０，２ａｔａｎθ），Ｍ（０，ｂ，０）， Ｎ（ａ，ｂ